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新高考数学二轮复习三角函数提升练习第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习三角函数提升练习第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）（含解析），共21页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
的取值范围
余弦函数图象的应用
根据函数零点的个数求参数范围
2022年全国甲卷理数，第11题,5分
由正弦(型)函数的值域(最值)
求参数
利用正弦函数的对称性求参数
正弦函数图象的应用
2022年全国甲卷文数，第5题,5分
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
求图象变化前 (后)的解析式
2022年全国乙卷理数，第15题,5分
利用cosx(型)函数的对称性求参数
求余弦(型)函数的最小正周期
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为5分
【备考策略】1理解ω在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2能结合三角函数基本知识求解ω的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
1. ω在三角函数图象与性质中的基本知识
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
的周期公式为：
2. ω在伸缩平移变换中的基本知识（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
考点一、由三角函数的周期求ω的值或取值范围
1．（2023春·安徽六安·高三毛坦厂中学校考）函数的最小正周期为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.
故选：C
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，再利用函数的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】对任意的，，则为函数的最大值或最小值，
故函数的图象关于直线对称，故，解得，
又因为且函数的最小正周期满足，即，
解得，故.
故选：D.
1．（2023春·高三单元测试）函数的周期﹐那么正常数等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】化简函数，由三角函数的周期公式即可求出答案.
【详解】，
因为函数的周期﹐所以，
所以.
故选：C.
考点二、由三角函数的单调性求ω的值或取值范围
1．（2022秋·高三校考课时练习）若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到.
【详解】由题意得，故，，
解得，，
又因为函数在区间单调递增，所以，解得，
因为，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故选：C
2．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.
【详解】由题意得.
令，由，得.
因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，
解得，所以.
故选：A
3．（2023·陕西延安·校考一模）函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间,上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．10 B．18 C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据单调性可得函数在时，取得最大值，即可代入求解，结合函数周期的关系即可求解.
【详解】由函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得当时，取得最大值，
即，解得，由函数单调区间知，所以，
所以当时，得．
故选：C
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
1．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.
【详解】向左平移，
得，
时，，在上单调递减，
即，故.
故选：C
2．（2023春·河南·高三校联考）已知函数，若，，且在区间上单调，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，求出周期，再利用周期公式可求出的值，然后由结合可求出的值.
【详解】因为，，且在区间上单调，
所以，得，
所以，得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
因为，所以，
故选：A
3．（2023春·陕西汉中·高三统考）已知函数在上单调递减，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数在上单调递减，结合正弦型函数的单调性可求得的取值范围，由已知可得出，可得出的表达式，即可得出的值.
【详解】因为函数，
当时，，
因为函数在上单调递减，
则，其中，
所以，，其中，解得，
所以，，解得，
又因为且，则，所以，，
因为，，即，
所以，，解得，因此，.
故选：D.
4．（2023春·浙江丽水·高三统考）函数，已知点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在区间上单调递减，则满足条件的所有的值的和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性，结合正弦函数的性质，即可得出.根据函数的单调性，推得，进而得出或或，解出相对应的值，检验即可得出答案.
【详解】因为在区间上单调递减，所以，所以.
又为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且.
因为，所以.
又根据正弦函数的图象可知，，
所以或或.
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以，满足题意；
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以无解，舍去；
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以，满足题意.
综上所述，或.
所以，满足条件的所有的值的和为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据已知条件，结合正弦函数的图象及其性质，推出周期满足的方程，即可得出答案.
考点三、由三角函数的奇偶性求ω的值或取值范围
1．（2023春·陕西安康·高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.
【详解】的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
则，，即，.
又，故的最小值为1.
故选：B
1．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
考点四、由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
2．（2023春·浙江衢州·高三统考）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：D.
3．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出的表达式，然后判断．
【详解】由题意得，，
即，，
因为，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故选：ABC．
1．（2023春·湖北武汉·高三校联考）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，故，
解得.
故选：D
2．（2023春·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为，分析可知，函数的最小正周期满足，求出的取值范围，求出函数图象对称中心的横坐标，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围.
【详解】因为，
因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，函数的最小正周期满足，即，则，
由可得，
因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
则，可得，
又因为且存在，则，解得，
因为，则，所以，，
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由可得函数的图象关于对称，由正弦型函数的对称性列方程求的最小值.
【详解】由已知可得，
即，
所以关于对称，
故，，
所以，又，
所以时，取最小值为．
故选：A．
考点五、由三角函数的值域求ω的值或取值范围
1．（2023春·山东日照·高三统考）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得.
【详解】由于函数在上单调递增，
，，
且，
解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上知，的取值范围是．
故选：B．
1．（2023春·江西上饶·高三统考）已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断.
【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时，
，得，
则
由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，
因此只需考虑存在，使得，
则取非负整数，且，，
所以的取值区间是，选项中只有适合.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出的范围，从而得到，根据正弦函数的周期性及最大值，从而求出的取值范围.
考点六、由三角函数的零点求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
3．（2023春·浙江丽水·高三统考）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件，可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可.
【详解】依题意，，函数周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，
由对称性知，是以为底边的等腰三角形，，
由，整理得，
又，解得，
于是点，的纵坐标有，即，
要使为锐角三角形，当且仅当，
即，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
2．（2023·广东茂名·统考二模）已知函数，若，且在上恰有1个零点，则的最小值为（ ）
A．11 B．29 C．35 D．47
【答案】B
【分析】利用图象分析在区间内只有一个零点的条件，结合可解.
【详解】因为，且在上恰有1个零点，
所以，所以，
所以，
又，所以，即
所以，解得，
当时，有最小值29.
故选：B
3．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的规律得的解析式，结合的范围，根据正弦函数的性质列出不等式即可得结果.
【详解】，则，
∵，∴，
若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B．
4．（2023春·江苏南通·高三校考）已知函数在内恰有个最值点和个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简得出，由求出的取值范围，根据函数在内恰有个最值点和个零点，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，
且当时，，
因为函数在内恰有个最值点和个零点，
所以，，解得，
故选：B.
考点七、由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
1．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.
【详解】由已知可得，.
因为，，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以，所以，又，所以，
所以的值可能为，
故选：A
2．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
1．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考阶段练习）（多选）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.
【详解】将函数的图像向左平移个单位，
可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，
可得，求得，令，可得；令，求得.
故选：BC.
【基础过关】
1．（2023春·河北张家口·高三统考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据周期范围，求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为T，由题意得，即，
又，所以，解得,
又，所以，所以，
要使函数在上单调递减，则，解得.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，，，在上单调，则的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，逐一验证当取到最大值11,9,7时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】，∴直线为图象的对称轴，
，的对称中心为，
，
，
．
又在上单调，．
，，
又，
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上单调.
则的最大值为7．
故选：D
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，若存在唯一的实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得，结合题意结合正弦函数性质分析运算.
【详解】由题意可得：，且，
①因为，可得，
若存在唯一的实数，使得，
则，解得；
②又因为，且，
可得，
若函数在区间上单调递增，
注意到，则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：B.
4．（2023秋·高三单元测试）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由题意可得时取得最大值，可得.根据单调性可得，即，根据可求的值.
【详解】因为恒有，所以当时取得最大值，
所以，得.
因为在上单调递增，所以,即，得.
因为，所以.
因为在上单调递增，
所以,得.
所以，且，，解得，.
故.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函数得到，再由在上单调可得可得答案.
【详解】因为，所以，
则①.，因为是偶函数，
所以直线是图象的对称轴，所以②.
由①②可得，，又，所以，
则，
因为在上单调，的最小正周期为，
所以，解得，故的最大值为5，经检验，在上单调.
故选：C.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.
【详解】依题意，，
函数的递减区间是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，无解；
或，，解得，由，得，则或，
当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足.
故选：C
7．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得，又极值情况列不等式可得，分情况得的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，根据由题意知在上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.
【详解】,
因为曲线关于直线对称，
所以，得，.
因为存在唯一的实数,使得曲线关于直线对称,所以只有唯一的值落在中,
故有.
故选:C.
9．（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得函数周期，从而得到，然后由正弦型函数的单调增区间列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题知.
因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，
所以，得.所以.
易知当时，单调递增，
即在上单调递增.
又在区间上单调递增，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：A.
10．（2023秋·高三单元测试）记函数的最小正周期为T.若不等式对恒成立，且的图像关于对称，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题知，结合已知可得，然后利用正弦函数的对称性可解.
【详解】由已知得且，则，
又，故，得，
的图像关于对称，
，，
则，，
∴当时，的最小值为2.
故选：B.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
2．（2022春·全国·高三专题练习）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正弦函数的最值，对称性求的值，再结合单调性确定的最大值.
【详解】∵ ，，
∴ ，，
又对于任意的都有，
∴ ，，
∴ ，又，
∴ 或，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，C错误，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，A错误，
当时，，
若，则，
∴在上单调，D正确，
故选：D.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.
3．（2023·河南信阳·高三统考）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是
故选：B
4．（2022秋·吉林·高三校考）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.
【详解】当时，，
又，，
函数()在区间上单调递减，
，即，解得；
令，则，即，
由，可得当且仅当时，，
又函数()在区间上存在零点，
，解得；
综上，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
5．（2022秋·四川乐山·高三校考）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式可得，由函数在上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，，并且在的前提下，对进行赋值解不等式求出的取值范围即可.
【详解】因为，
所以若，则，
即，
则，又，解得，
又解得，
当时，；
当时，因为，所以可得．
所以．
故选：B
【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】根据，可知是的奇数倍，由在上单调递减可知，求出的取值个数即可得到的取值个数.
【详解】，,
,
在上单调递减,
,
,
即,
，
，
即周期T有5个不同取值，
所以的取值共有5个，
故选：D
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，正弦函数的周期，单调性，属于中档题.
7．（2022春·山东济南·济南市历城第二中学校考开学考试）已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.
【详解】因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；
又，且，解得，
当时，不满足，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足，故C正确，D不正确，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.
8．（2022·江苏·专题练习）已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
9．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.
【详解】由于函数的图象关于对称，
则：，①，
由于，所以②，
得：，
所以，
故为奇数，
且在上单调递增，
所以，解得．
当，
故的取值为：1，3，5，7，
当时，可以求得，
时，，满足条件；
当时，因为，所以不满足条件；
当时，，
时，，满足条件；
当时，，，既有增区间，又有减区间，
所以不满足条件；
所以满足条件的的所有取值的个数是2，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.
10．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·广东广州·校联考三模）已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AC
【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
【详解】函数，,
则①,
又 ，则是函数的一个对称中心，
故②,
两式相减得： ，
在上单调递增， 则 ,则 ，
故的取值在1,3,5,7,9,11之中；
当时， ，，故 ，
此时若，在单调递增，符合题意；
当时， ，，不符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，因为，则 ，
若，在单调递增，符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，，
故在上不单调，不符合题意；
故选：AC
12．（2022·山东泰安·统考模拟预测）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【答案】15
【分析】由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得•，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可
【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是恒成立，得是y＝f（x）图像的对称轴，再结合为的零点，可得•，n∈Z，考查分析问题的能力，属于较难题
14．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考）函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
所以，所以，而，
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，舍去；
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，所以，函数在单调，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023春·江西赣州·赣州市第四中学校考）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ．
【答案】4或10/10或4
【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
16．（2022·课时练习）已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据已知条件，易得，再结合在上单调，可知，进而可得的最大值.
【详解】由为的零点，得，
即，，①
又因为图像的对称轴，
得，，②
联立①②得：，故为奇函数，
又因在上单调，
所以，即，故，
因为奇函数，故，且检验满足在上单调.
故答案为：5.
【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于在上单调，可转化为，但需验证结果是否满足题意即可.
第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第15题,5分
的取值范围
余弦函数图象的应用
根据函数零点的个数求参数范围
2022年全国甲卷理数，第11题,5分
由正弦(型)函数的值域(最值)
求参数
利用正弦函数的对称性求参数
正弦函数图象的应用
2022年全国甲卷文数，第5题,5分
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
求图象变化前 (后)的解析式
2022年全国乙卷理数，第15题,5分
利用cosx(型)函数的对称性求参数
求余弦(型)函数的最小正周期
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为5分
【备考策略】1理解ω在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2能结合三角函数基本知识求解ω的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
1. ω在三角函数图象与性质中的基本知识
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
的周期公式为：
2. ω在伸缩平移变换中的基本知识（，是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为；
若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比
考点一、由三角函数的周期求ω的值或取值范围
1．（2023春·安徽六安·高三毛坦厂中学校考）函数的最小正周期为，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，解得.
故选：C
2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）记函数的最小正周期为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，再利用函数的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值.
【详解】对任意的，，则为函数的最大值或最小值，
故函数的图象关于直线对称，故，解得，
又因为且函数的最小正周期满足，即，
解得，故.
故选：D.
1．（2023春·高三单元测试）函数的周期﹐那么正常数等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】化简函数，由三角函数的周期公式即可求出答案.
【详解】，
因为函数的周期﹐所以，
所以.
故选：C.
考点二、由三角函数的单调性求ω的值或取值范围
1．（2022秋·高三校考课时练习）若函数在区间单调递增，在区间上单调递减，则＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先根据求出，，再根据函数在区间单调递增，得到，求出，从而得到.
【详解】由题意得，故，，
解得，，
又因为函数在区间单调递增，所以，解得，
因为，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故选：C
2．（2023春·全国·高三专题练习）已知函数，在区间上，若为增函数，为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简两函数，再利用整体代换法结合三角函数的性质求范围即可.
【详解】由题意得.
令，由，得.
因为在区间上，为增函数，为减函数，所以，
解得，所以.
故选：A
3．（2023·陕西延安·校考一模）函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，并且函数在区间,上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．10 B．18 C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据单调性可得函数在时，取得最大值，即可代入求解，结合函数周期的关系即可求解.
【详解】由函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得当时，取得最大值，
即，解得，由函数单调区间知，所以，
所以当时，得．
故选：C
4．（2023·山西吕梁·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
1．（2023·山东青岛·统考三模）将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图像变换及单调性计算即可.
【详解】向左平移，
得，
时，，在上单调递减，
即，故.
故选：C
2．（2023春·河南·高三校联考）已知函数，若，，且在区间上单调，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，求出周期，再利用周期公式可求出的值，然后由结合可求出的值.
【详解】因为，，且在区间上单调，
所以，得，
所以，得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
因为，所以，
故选：A
3．（2023春·陕西汉中·高三统考）已知函数在上单调递减，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数在上单调递减，结合正弦型函数的单调性可求得的取值范围，由已知可得出，可得出的表达式，即可得出的值.
【详解】因为函数，
当时，，
因为函数在上单调递减，
则，其中，
所以，，其中，解得，
所以，，解得，
又因为且，则，所以，，
因为，，即，
所以，，解得，因此，.
故选：D.
4．（2023春·浙江丽水·高三统考）函数，已知点为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在区间上单调递减，则满足条件的所有的值的和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性，结合正弦函数的性质，即可得出.根据函数的单调性，推得，进而得出或或，解出相对应的值，检验即可得出答案.
【详解】因为在区间上单调递减，所以，所以.
又为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且.
因为，所以.
又根据正弦函数的图象可知，，
所以或或.
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以，满足题意；
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以无解，舍去；
当时，有，此时有，.
由已知可得，在处取得最大值，
所以有，解得.
又，所以，满足题意.
综上所述，或.
所以，满足条件的所有的值的和为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据已知条件，结合正弦函数的图象及其性质，推出周期满足的方程，即可得出答案.
考点三、由三角函数的奇偶性求ω的值或取值范围
1．（2023春·陕西安康·高三统考）将函数（）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得的图象平移后的解析式，再列出关于的方程，进而求得的最小值.
【详解】的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数的图象，
则，，即，.
又，故的最小值为1.
故选：B
1．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
，因为为奇函数，
所以，
则，因为时，；
时，，所以A、C正确．
故选：AC.
考点四、由三角函数的对称性求ω的值或取值范围
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
【详解】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，
因此，解得，而，
所以当时，取得最小值4.
故选：C
2．（2023春·浙江衢州·高三统考）函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】，
令，，则，，
函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：D.
3．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）函数的图象关于直线对称，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出的表达式，然后判断．
【详解】由题意得，，
即，，
因为，，，
所以的值不可能是，可能是、、.
故选：ABC．
1．（2023春·湖北武汉·高三校联考）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到，再求出，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.
【详解】，
因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，故，
解得.
故选：D
2．（2023春·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为，分析可知，函数的最小正周期满足，求出的取值范围，求出函数图象对称中心的横坐标，可得出所满足的不等式，即可得出的取值范围.
【详解】因为，
因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，函数的最小正周期满足，即，则，
由可得，
因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
则，可得，
又因为且存在，则，解得，
因为，则，所以，，
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由可得函数的图象关于对称，由正弦型函数的对称性列方程求的最小值.
【详解】由已知可得，
即，
所以关于对称，
故，，
所以，又，
所以时，取最小值为．
故选：A．
考点五、由三角函数的值域求ω的值或取值范围
1．（2023春·山东日照·高三统考）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得.
【详解】由于函数在上单调递增，
，，
且，
解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上知，的取值范围是．
故选：B．
1．（2023春·江西上饶·高三统考）已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断.
【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时，
，得，
则
由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化，
因此只需考虑存在，使得，
则取非负整数，且，，
所以的取值区间是，选项中只有适合.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出的范围，从而得到，根据正弦函数的周期性及最大值，从而求出的取值范围.
考点六、由三角函数的零点求ω的值或取值范围
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
3．（2023春·浙江丽水·高三统考）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件，可得，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出不等式求解即可.
【详解】依题意，，函数周期，
在同一坐标系内作出函数的图象，如图，
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，
由对称性知，是以为底边的等腰三角形，，
由，整理得，
又，解得，
于是点，的纵坐标有，即，
要使为锐角三角形，当且仅当，
即，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于的不等式.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
2．（2023·广东茂名·统考二模）已知函数，若，且在上恰有1个零点，则的最小值为（ ）
A．11 B．29 C．35 D．47
【答案】B
【分析】利用图象分析在区间内只有一个零点的条件，结合可解.
【详解】因为，且在上恰有1个零点，
所以，所以，
所以，
又，所以，即
所以，解得，
当时，有最小值29.
故选：B
3．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的规律得的解析式，结合的范围，根据正弦函数的性质列出不等式即可得结果.
【详解】，则，
∵，∴，
若关于的方程在上有且仅有三个不相等的实根，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B．
4．（2023春·江苏南通·高三校考）已知函数在内恰有个最值点和个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简得出，由求出的取值范围，根据函数在内恰有个最值点和个零点，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，
且当时，，
因为函数在内恰有个最值点和个零点，
所以，，解得，
故选：B.
考点七、由三角函数的伸缩平移变换求ω的值或取值范围
1．（2023春·海南海口·高三海口一中校考）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先利用平移变换得到，再根据函数在区间上单调递增，利用正弦函数的性质求解.
【详解】由已知可得，.
因为，，所以.
因为函数在区间上单调递增，
所以，所以，又，所以，
所以的值可能为，
故选：A
2．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
1．（2023春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考阶段练习）（多选）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由定义运算结合辅助角公式，得函数解析式，再求平移后的函数解析式，由此函数为偶函数，求出ω的值，对照选项进行判断.
【详解】将函数的图像向左平移个单位，
可得的图像，再根据所得图像对应的函数为偶函数，
可得，求得，令，可得；令，求得.
故选：BC.
【基础过关】
1．（2023春·河北张家口·高三统考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据周期范围，求出的大致范围，再根据的取值范围，求出的取值范围，根据的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，求解即可.
【详解】设函数的最小正周期为T，由题意得，即，
又，所以，解得,
又，所以，所以，
要使函数在上单调递减，则，解得.
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，，，在上单调，则的最大值为（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据可知直线为图象的对称轴，根据可得的对称中心为，结合三角函数的周期性可得，再根据在上单调，可得，逐一验证当取到最大值11,9,7时，求解，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】，∴直线为图象的对称轴，
，的对称中心为，
，
，
．
又在上单调，．
，，
又，
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上不单调，舍去；
∴当时，，因为直线为图象的对称轴，
所以，，
解得，，又，所以，则，
当时，，则在上单调.
则的最大值为7．
故选：D
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，若存在唯一的实数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得，结合题意结合正弦函数性质分析运算.
【详解】由题意可得：，且，
①因为，可得，
若存在唯一的实数，使得，
则，解得；
②又因为，且，
可得，
若函数在区间上单调递增，
注意到，则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：B.
4．（2023秋·高三单元测试）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由题意可得时取得最大值，可得.根据单调性可得，即，根据可求的值.
【详解】因为恒有，所以当时取得最大值，
所以，得.
因为在上单调递增，所以,即，得.
因为，所以.
因为在上单调递增，
所以,得.
所以，且，，解得，.
故.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】C
【分析】由、是偶函数得到，再由在上单调可得可得答案.
【详解】因为，所以，
则①.，因为是偶函数，
所以直线是图象的对称轴，所以②.
由①②可得，，又，所以，
则，
因为在上单调，的最小正周期为，
所以，解得，故的最大值为5，经检验，在上单调.
故选：C.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义设函数，可以使在上单调递减的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.
【详解】依题意，，
函数的递减区间是，，，
于是或，，
即，，解得，由，得，无解；
或，，解得，由，得，则或，
当时，，当时，，选项C满足，ABD不满足.
故选：C
7．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数，若，在内有极小值，无极大值，则可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得，又极值情况列不等式可得，分情况得的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数，若，
所以，则①，
又在内有极小值，无极大值，则，所以，
又，则当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，由①式可得；
当得，，所以，不符合①式，故舍；
当得，，无解，故舍；
易知，当时，都无解，故不讨论；
综上，或，则可能的取值个数为.
故选：C.
8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得，根据由题意知在上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解的取值范围.
【详解】,
因为曲线关于直线对称，
所以，得，.
因为存在唯一的实数,使得曲线关于直线对称,所以只有唯一的值落在中,
故有.
故选:C.
9．（2023·河北·模拟预测）已知函数的零点是以为公差的等差数列.若在区间上单调递增，则α的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得函数周期，从而得到，然后由正弦型函数的单调增区间列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题知.
因为函数的零点是以为公差的等差数列，所以，即，
所以，得.所以.
易知当时，单调递增，
即在上单调递增.
又在区间上单调递增，所以，
所以，即的取值范围为.
故选：A.
10．（2023秋·高三单元测试）记函数的最小正周期为T.若不等式对恒成立，且的图像关于对称，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题知，结合已知可得，然后利用正弦函数的对称性可解.
【详解】由已知得且，则，
又，故，得，
的图像关于对称，
，，
则，，
∴当时，的最小值为2.
故选：B.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·四川泸州·高三泸县五中校考开学考试）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
2．（2022春·全国·高三专题练习）函数（，），已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正弦函数的最值，对称性求的值，再结合单调性确定的最大值.
【详解】∵ ，，
∴ ，，
又对于任意的都有，
∴ ，，
∴ ，又，
∴ 或，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，C错误，
当时， ，且，
当时，，
若，则，
∴在上不单调，A错误，
当时，，
若，则，
∴在上单调，D正确，
故选：D.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求函数解析式的关键在于转化为正弦函数的问题.
3．（2023·河南信阳·高三统考）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是
故选：B
4．（2022秋·吉林·高三校考）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.
【详解】当时，，
又，，
函数()在区间上单调递减，
，即，解得；
令，则，即，
由，可得当且仅当时，，
又函数()在区间上存在零点，
，解得；
综上，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
5．（2022秋·四川乐山·高三校考）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式可得，由函数在上无零点，结合正弦型函数图象与性质可知，，并且在的前提下，对进行赋值解不等式求出的取值范围即可.
【详解】因为，
所以若，则，
即，
则，又，解得，
又解得，
当时，；
当时，因为，所以可得．
所以．
故选：B
【点睛】本题考查利用辅助角公式和正弦型函数的图象与性质求参数的取值范围；考查知识的综合运用能力；属于难度较大型试题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，在上单调递减，那么的取值共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】根据，可知是的奇数倍，由在上单调递减可知，求出的取值个数即可得到的取值个数.
【详解】，,
,
在上单调递减,
,
,
即,
，
，
即周期T有5个不同取值，
所以的取值共有5个，
故选：D
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，正弦函数的周期，单调性，属于中档题.
7．（2022春·山东济南·济南市历城第二中学校考开学考试）已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.
【详解】因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；
又，且，解得，
当时，不满足，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足，故C正确，D不正确，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.
8．（2022·江苏·专题练习）已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，
，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.
故选：C
【点睛】解决三角函数中已知单调区间求参数范围时，首先要有已知的单调区间是函数单调区间的子集的意识，然后明确正弦、余弦函数的单调区间长度不会超过半个周期（正切函数的单调区间长度不会超过一个周期）这一事实最终准确求得参数范围，数形结合能给解题带来比较清晰地思路.
9．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）已知函数的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
【答案】D
【分析】直接利用正弦型函数的性质对称性和单调性的应用求出结果.
【详解】由于函数的图象关于对称，
则：，①，
由于，所以②，
得：，
所以，
故为奇数，
且在上单调递增，
所以，解得．
当，
故的取值为：1，3，5，7，
当时，可以求得，
时，，满足条件；
当时，因为，所以不满足条件；
当时，，
时，，满足条件；
当时，，，既有增区间，又有减区间，
所以不满足条件；
所以满足条件的的所有取值的个数是2，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关正弦型函数的性质，正确解题的关键是要明确正弦型函数的对称性与单调性.
10．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
二、多选题
11．（2022·广东广州·校联考三模）已知函数，，，在上单调递增，则的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AC
【分析】根据，可确定，即可确定的取值情况，然后结合在上单调递增，进行验证即可确定答案.
【详解】函数，,
则①,
又 ，则是函数的一个对称中心，
故②,
两式相减得： ，
在上单调递增， 则 ,则 ，
故的取值在1,3,5,7,9,11之中；
当时， ，，故 ，
此时若，在单调递增，符合题意；
当时， ，，不符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，因为，则 ，
若，在单调递增，符合题意；
当时， ，，故 ，
此时，，
故在上不单调，不符合题意；
故选：AC
12．（2022·山东泰安·统考模拟预测）已知函数在上单调，且，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的周期性、对称性以及函数值相等与周期之间的关系可求得的值.
【详解】本题考查三角函数的图象及其性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.
设的最小正周期为T，则由题意可得，即.由在上单调，且，得的一个零点为.因为，所以有以下三种情况：①，则；②，则；③，则.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是
【答案】15
【分析】由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得•，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可
【详解】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是恒成立，得是y＝f（x）图像的对称轴，再结合为的零点，可得•，n∈Z，考查分析问题的能力，属于较难题
14．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考）函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用和建立起关于的等量关系，然后根据在上单调，卡出的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.
【详解】因为函数，，
所以，
所以，,
因为于任意的都有，所以，
所以，
所以，
所以
或，
所以或，
即（舍去），所以，
因为，所以，即，
令，所以，在上单调，
所以，所以，而，
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，舍去；
当，，所以，函数在不单调，舍去；
当，，所以，函数在单调，
所以的最大值为5.
故答案为：5.
15．（2023春·江西赣州·赣州市第四中学校考）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ．
【答案】4或10/10或4
【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
16．（2022·课时练习）已知函数（，），为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为 .
【答案】5
【分析】根据已知条件，易得，再结合在上单调，可知，进而可得的最大值.
【详解】由为的零点，得，
即，，①
又因为图像的对称轴，
得，，②
联立①②得：，故为奇函数，
又因在上单调，
所以，即，故，
因为奇函数，故，且检验满足在上单调.
故答案为：5.
【点睛】本题考查的正弦函数图像性质的综合应用，解决本题的关键在于在上单调，可转化为，但需验证结果是否满足题意即可.
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第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）： 这是一份第05讲 ω的取值范围及最值问题（高阶拓展）（7类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考），共60页。试卷主要包含了 4年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。
