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2023-2024学年浙江省杭州市临平五中九年级（上）月考数学试卷(含解析)
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市临平五中九年级（上）月考数学试卷(含解析)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣5C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
2．下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
B．a是实数，|a|≥0
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．两数相加，和是正数
3．二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2B．y＝（x+2）2C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
4．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．图象与y轴的交点坐标是（0，2）
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3
8．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
9．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2B．y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝﹣x2﹣（a+3）x+（）D．y＝ax2﹣bx+b﹣a
10．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣3）2+5的最小值是 ．
12．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 ．
13．一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
14．抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），则c的值是 ．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 ．
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）的对称轴为直线x＝n，则n，m满足的关系式是 ，若把该函数向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，则k的取值范围是 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
18．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象过点（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．≠
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
23．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
24．已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象．
（1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点．
①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣5C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
【分析】由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
解：∵y＝（x﹣3）（x+5），
∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．
2．下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
B．a是实数，|a|≥0
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．两数相加，和是正数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
B、a是实数，|a|⩾0，是必然事件，符合题意；
C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，不符合题意；
D、两数相加，和是正数，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2B．y＝（x+2）2C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解：二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2，即y＝（x+2）2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
4．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及其和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，分别为：3，4，5，6，3，5，6，7，4，5，7，8，5，6，7，9，6，7，8，9，
其中和为奇数的结果有12种，
∴和为奇数的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别分析当k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．
解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；
∴C不正确，不符合题意．
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．
6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．图象与y轴的交点坐标是（0，2）
【分析】根据函数性质可判定A、B不符合题意．在y＝（x﹣1）2+2中，令x＝0得y＝3，可判定C符合题意；根据当x＝0时，y＝3；可判定D不符合题意．
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值2，故A不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
当x＝0时，y＝3，当x＝2时y＝3，
∴当x取0和2时，所得到的y的值相同，故C符合题意；
令x＝0，则y＝（0﹣1）2+2＝3，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与y轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3
【分析】把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，求得抛物线与y轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y＞﹣3时x的取值范围．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3），
∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．
解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．
9．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2B．y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝﹣x2﹣（a+3）x+（）D．y＝ax2﹣bx+b﹣a
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
解：抛物线y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2顶点为（m，﹣m2﹣2），而﹣m2﹣2＜0，顶点在x轴下方，故A不符合题意；
在y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）中，令y＝0得x1＝﹣a，x2＝a﹣1，则抛物线对称轴为直线x＝＝﹣，故B不符合题意；
图中抛物线可能是y＝﹣x2﹣（a+3）x+（），故C符合题意；
在y＝ax2﹣bx+b﹣a＝（ax﹣b+a）（x﹣1）中，令y＝0得x1＝，x2＝1，故抛物线与x轴有一个交点横坐标为1，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点、对称轴、与x轴（y轴）交点等．
10．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
【分析】将两点坐标分别代入并联立，从而得到k＝a（7﹣m﹣n），再根据有理数的乘法判断符号
解：抛物线与直线交于点（1，y1），（6，y2），
..a（1﹣m）（1﹣n）＝k+b，①
a（6﹣m）（6﹣n）＝6k+b，②
②﹣①得5k＝a（35﹣5m﹣5n），即k＝a（7﹣m﹣n），
则当a＞0，m+n＜7或a＜0，m+n＞7时，k＞0；
当a＜0，m+n＜7或a＞0，m+n＜7时，k＜0．
故D正确，B、C、A错误，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于a，k，m，n的等式
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣3）2+5的最小值是 5 ．
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
解：∵y＝（x﹣3）2+5，
∴当x＝3时，函数值y有最小值，最小值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．
12．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3 ．
【分析】由题意，抛物线的形状与y＝x2相同，它的顶点坐标是（﹣2，3），即可得抛物线的解析式．
解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），
∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3．
当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．
13．一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
【分析】根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
解：∵在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
14．抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），则c的值是 2 ．
【分析】把点（c，c2+c）代入解析式即可求得c＝2．
解：∵抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），
∴c2+c＝c2+2，
∴c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 1≤t＜5 ．
【分析】由a＝﹣1＜0可得抛物线开口向下，进而当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，再由t＜x＜5时，y随x的增大而减小可得t的范围．
解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
因为t＜x＜5时，y随x的增大而减小，
所以1≤t＜5．
故答案为：1≤t＜5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）的对称轴为直线x＝n，则n，m满足的关系式是 n＝m+ ，若把该函数向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，则k的取值范围是 k＞ ．
【分析】把函数解析式化为一般式，再求出对称轴即可；求出平移后的解析，再根据对于任意的x都有y＞0可得Δ＜0，求出k的取值范围．
解：∵y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣2mx+m2﹣x+m＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∴对称轴直线为x＝﹣＝m+，
∴n＝m+；
若把函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）向上平移k个单位，则平移后的函数解析式为y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m+k，
∵对于任意的x都有y＞0，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+k）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m﹣4k＜0，
解得k＞．
故答案为：n＝m+；k＞．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键掌握判别式Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点；Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
【分析】根据图象平移的规律，可得答案．
解：答案如图
．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减．
18．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象过点（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y＝0，解方程即可．
解：（1）把（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k得：
3＝﹣（﹣1）2+k，
解得k＝4，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是求出二次函数解析式．
19．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．≠
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，再由概率公式求解即可．
解：（1）从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“3”的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，
∴两次记录的数字之和为3的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．
所以当x＝时，S的值最大，最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y＝4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2，
∵（﹣1，0）的对称点为（2，0），
∴n＝0，
设y＝ax2+bx﹣2，
将（﹣1，0）和（1，﹣2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y＝4代入y＝x2﹣x﹣2，得x2﹣x﹣2＝4．
解得x＝3或x＝﹣2
∴m的值是3或﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．
解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝6，即B（4，6），
∵A（，）和B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式y＝2x2﹣8x+6；
（2）存在．
设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）＝﹣2n2+9n﹣4＝﹣2（n﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴开口向下，有最大值，
∴当n＝时，线段PC有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式．
23．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可．
解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象．
（1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点．
①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围．
【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①利用题意，由﹣＝（x1+x2）＝2，求解a；
②由已知当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣3时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴﹣＝（x1+x2）＝2，
∴a＝﹣；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，﹣≤﹣3时，0＜a≤；
∴0＜a≤；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣5C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
2．下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
B．a是实数，|a|≥0
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．两数相加，和是正数
3．二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2B．y＝（x+2）2C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
4．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．图象与y轴的交点坐标是（0，2）
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3
8．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
9．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2B．y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝﹣x2﹣（a+3）x+（）D．y＝ax2﹣bx+b﹣a
10．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣3）2+5的最小值是 ．
12．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 ．
13．一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
14．抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），则c的值是 ．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 ．
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）的对称轴为直线x＝n，则n，m满足的关系式是 ，若把该函数向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，则k的取值范围是 ．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
18．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象过点（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．≠
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
23．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
24．已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象．
（1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点．
①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只
1．二次函数y＝（x﹣3）（x+5）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝3B．直线x＝﹣5C．直线x＝﹣1D．直线x＝1
【分析】由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
解：∵y＝（x﹣3）（x+5），
∴函数图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣5，0），
∴函数图象的对称轴为直线x＝＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．
2．下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ）
A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球
B．a是实数，|a|≥0
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．两数相加，和是正数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
B、a是实数，|a|⩾0，是必然事件，符合题意；
C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，不符合题意；
D、两数相加，和是正数，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后的函数为（ ）
A．y＝（x﹣4）2B．y＝（x+2）2C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x﹣1）2﹣3
【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解：二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移3个单位后，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2，即y＝（x+2）2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
4．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及其和为奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，分别为：3，4，5，6，3，5，6，7，4，5，7，8，5，6，7，9，6，7，8，9，
其中和为奇数的结果有12种，
∴和为奇数的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别分析当k＞0和k＜0时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．
解：①当k＞0时：
函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下；
∴B不正确，不符合题意．
②当k＜0时：
函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上；
∴C不正确，不符合题意．
∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，
∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．
6．已知二次函数y＝（x﹣1）2+2，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）
A．当x＝1时，y有最大值2
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x取0和2时，所得到的y的值相同
D．图象与y轴的交点坐标是（0，2）
【分析】根据函数性质可判定A、B不符合题意．在y＝（x﹣1）2+2中，令x＝0得y＝3，可判定C符合题意；根据当x＝0时，y＝3；可判定D不符合题意．
解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＝1时，y有最小值2，故A不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴为x＝1，开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
当x＝0时，y＝3，当x＝2时y＝3，
∴当x取0和2时，所得到的y的值相同，故C符合题意；
令x＝0，则y＝（0﹣1）2+2＝3，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握抛物线与y轴交点、抛物线增减性及函数的最值等知识．
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2B．x＜1或x＞3C．0＜x＜2D．1＜x＜3
【分析】把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，求得抛物线与y轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y＞﹣3时x的取值范围．
解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3），
∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．小球滑行6秒停止B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点
【分析】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．
解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．
9．已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（ ）
A．y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2B．y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）
C．y＝﹣x2﹣（a+3）x+（）D．y＝ax2﹣bx+b﹣a
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．
解：抛物线y＝﹣4（x﹣m）2﹣m2﹣2顶点为（m，﹣m2﹣2），而﹣m2﹣2＜0，顶点在x轴下方，故A不符合题意；
在y＝﹣（x+a）（x﹣a+1）中，令y＝0得x1＝﹣a，x2＝a﹣1，则抛物线对称轴为直线x＝＝﹣，故B不符合题意；
图中抛物线可能是y＝﹣x2﹣（a+3）x+（），故C符合题意；
在y＝ax2﹣bx+b﹣a＝（ax﹣b+a）（x﹣1）中，令y＝0得x1＝，x2＝1，故抛物线与x轴有一个交点横坐标为1，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点、对称轴、与x轴（y轴）交点等．
10．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a，m，n是实数，a≠0）与直线y＝kx+b交于（1，y1），（6，y2），则下面判断正确的是（ ）
A．若m+n＞7，a＞0，则k＞0B．若m+n＞7，a＜0，则k＜0
C．若m+n＜7，a＞0，则k＜0D．若m+n＜7，a＜0，则k＜0
【分析】将两点坐标分别代入并联立，从而得到k＝a（7﹣m﹣n），再根据有理数的乘法判断符号
解：抛物线与直线交于点（1，y1），（6，y2），
..a（1﹣m）（1﹣n）＝k+b，①
a（6﹣m）（6﹣n）＝6k+b，②
②﹣①得5k＝a（35﹣5m﹣5n），即k＝a（7﹣m﹣n），
则当a＞0，m+n＜7或a＜0，m+n＞7时，k＞0；
当a＜0，m+n＜7或a＞0，m+n＜7时，k＜0．
故D正确，B、C、A错误，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于a，k，m，n的等式
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．二次函数y＝（x﹣3）2+5的最小值是 5 ．
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
解：∵y＝（x﹣3）2+5，
∴当x＝3时，函数值y有最小值，最小值为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．
12．抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），该抛物线解析式为 y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3 ．
【分析】由题意，抛物线的形状与y＝x2相同，它的顶点坐标是（﹣2，3），即可得抛物线的解析式．
解：∵抛物线的形状与y＝x2相同，顶点是（﹣2，3），
∴当开口向下时，这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3．
当开口向上时，这条抛物线的解析式是：y＝（x+2）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+2）2+3或y＝（x+2）2+3．
【点评】此题考查二次函数图象的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．
13．一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是 ．
【分析】根据概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．
解：∵在一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除了颜色外其余都相同，
∴从布袋中任意摸出一个球是黑球的概率为：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．
14．抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），则c的值是 2 ．
【分析】把点（c，c2+c）代入解析式即可求得c＝2．
解：∵抛物线y＝x2+2经过点（c，c2+c），
∴c2+c＝c2+2，
∴c＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，当t＜x＜5时，y随x的增大而减小，则t的范围是 1≤t＜5 ．
【分析】由a＝﹣1＜0可得抛物线开口向下，进而当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，再由t＜x＜5时，y随x的增大而减小可得t的范围．
解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
因为a＝﹣1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
因为t＜x＜5时，y随x的增大而减小，
所以1≤t＜5．
故答案为：1≤t＜5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）的对称轴为直线x＝n，则n，m满足的关系式是 n＝m+ ，若把该函数向上平移k个单位，使得对于任意的x都有y＞0，则k的取值范围是 k＞ ．
【分析】把函数解析式化为一般式，再求出对称轴即可；求出平移后的解析，再根据对于任意的x都有y＞0可得Δ＜0，求出k的取值范围．
解：∵y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣2mx+m2﹣x+m＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∴对称轴直线为x＝﹣＝m+，
∴n＝m+；
若把函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）向上平移k个单位，则平移后的函数解析式为y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m+k，
∵对于任意的x都有y＞0，
∴Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+k）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m﹣4k＜0，
解得k＞．
故答案为：n＝m+；k＞．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键掌握判别式Δ＞0时，抛物线与x轴有两个交点；Δ＝0时，抛物线与x轴有一个交点；Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题：本题有7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
【分析】根据图象平移的规律，可得答案．
解：答案如图
．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减．
18．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k的图象过点（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）求该二次函数图象与x轴的交点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y＝0，解方程即可．
解：（1）把（0，3）代入y＝﹣（x﹣1）2+k得：
3＝﹣（﹣1）2+k，
解得k＝4，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是求出二次函数解析式．
19．一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．
（1）从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率．≠
（2）从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率．（要求列表或画树状图说明）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，再由概率公式求解即可．
解：（1）从布袋里任意摸出一个小球，上面的数字恰好是“3”的概率为；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为3的结果有2个，
∴两次记录的数字之和为3的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．
（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．
解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．
所以当x＝时，S的值最大，最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关键．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
（1）直接写出n的值，并求该二次函数的解析式；
（2）点Q（m，4）能否在该函数图象上？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可求得c的值，根据抛物线的对称性即可求得n的值，利用待定系数法求出二次函数解析式即可．
（2）先根据二次函数的性质判断，然后把y＝4代入解析式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可求得m的值．
解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2，
∵（﹣1，0）的对称点为（2，0），
∴n＝0，
设y＝ax2+bx﹣2，
将（﹣1，0）和（1，﹣2）代入得，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）点Q能在该函数图象上，
把y＝4代入y＝x2﹣x﹣2，得x2﹣x﹣2＝4．
解得x＝3或x＝﹣2
∴m的值是3或﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．
解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝6，即B（4，6），
∵A（，）和B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式y＝2x2﹣8x+6；
（2）存在．
设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）＝﹣2n2+9n﹣4＝﹣2（n﹣）2+，
∵﹣2＜0，
∴开口向下，有最大值，
∴当n＝时，线段PC有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式．
23．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可．
解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
24．已知，在平面直角坐标系中，有二次函数y＝ax2+（a+1）x（a≠0）的图象．
（1）若该图象过点（1，﹣3），求这个二次函数的表达式；
（2）（x1，y1），（x2，y2）是该函数图象上的两个不同点．
①若x1+x2＝4时，有y1＝y2，求a的值；
②当x1＞x2≥﹣3时，恒有y1＞y2，试求a的取值范围．
【分析】（1）直接将点（1，﹣3）代入即可；
（2）①利用题意，由﹣＝（x1+x2）＝2，求解a；
②由已知当x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，则在x1＞x2≥﹣3时，二次函数是递增的，结合图象即可求解．
解：（1）∵函数图象过点（1，﹣3），
∴将点代入y＝ax2+（a+1）x，
解得a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣x；
（2）①函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝4，则y1＝y2，
∴﹣＝（x1+x2）＝2，
∴a＝﹣；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是直线x＝﹣，
∵x1＞x2≥﹣3，对任意的x1，x2都有y1＞y2，
当a＞0，﹣≤﹣3时，0＜a≤；
∴0＜a≤；
当a＜0时，不符合题意舍去；
∴0＜a≤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的特征．能够结合函数图象进行求解是解决本题的关键．
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣2
﹣2
n
…
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