【期中真题】江西省临川第一中学2023届高三上学期期中考试数学（文）试题.zip

临川一中2022-2023学年度上学期期中考试

高三年级文科数学试卷

1. 若集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由偶次根式有意义的要求可解不等式求得集合，根据交集定义可得结果.

【详解】由得：，即，又，.

故选：B.

2. 已知复数（i是虚数单位），则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算求出z，进而求出，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】，得，

则．

故选:A

3. 已知函数的图象经过点，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】将点代入函数解析式中求出的值，从而可求出函数解析式，进而可求出的值.

【详解】因为函数的图象经过点，

所以，，得，

所以，

所以，

故选：A

4. （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.

【详解】

，

故选：C

5. 在长方体中，与所成的角为30°，则

A.  B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】分析：连接，由可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.

详解：如图所示，连接，

，

是异面直线与所成的角，即，

在中，，

在中，有，即.

故选D.

点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．

6. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解对数不等式和一元二次不等式可确定命题对应的区间，根据必要不充分条件的定义可得包含关系，由此可构造不等式组求得结果.

【详解】由得：，解得：，即；

由得：，即；

是的必要不充分条件，，

，解得：，即实数的取值范围为.

故选：C.

7. 在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）

A. 2021 B. -2021 C. -2022 D. 2022

【答案】C

【解析】

【分析】由等差数列前n项和公式可得数列为等差数列，根据可得公差为1，即可求解的值，即可得出结论.

【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，

当时，，则，

所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．

故选：C.

8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.

【详解】.

.

故选：A

9. 已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得出函数的图象关于直线对称，这样得出函数在上是减函数，再由奇函数得出在上是增函数，利用奇函数得，从而得出，确定的值或范围后利用单调性可比较大小．

【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，

，所以的图象关于直线对称，

在上是减函数，则在上是增函数，

又是奇函数，所以在上是增函数，

所以在上是增函数，在上是减函数，

结合奇函数得，所以，

，，，

所以，即，

故选：C．

10. 已知函数部分图象如图所示，且的面积是面积的2倍，则函数的单调递减区间为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意和图象求得函数的解析式为，利用整体代换法即可求出函数的单调递减区间.

【详解】由图象可知，，

令，则，即，

因为，由，得，

所以，由，得；

又函数图象过点，则，

得，解得，

又函数的最小正周期满足，

即，所以，当时，满足题意，

所以，

由，，得，，

故函数的单调递减区间为，，

故选：B.

11. 已知，则方程的解的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，即或，再分类讨论，分别计算可得.

【详解】解：方程，即，

即或，

当时或等价于或，

令，则，

当时，时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以方程只有唯一解，

又的解也为，从而时方程只有一个解，

当时或等价于或，

易知方程有两个解、，

又方程解得，

故当时方程有个解，

综上可得方程的解得个数为个；

故选：C

12. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.

【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义

在中，由正弦定理得，

因为，

所以，

所以，

因为点在双曲线右支上，

所以，

所以，得，

由双曲线的性质可得，

所以，化简得，

所以，解得，

因，

所以，

即双曲线离心率的取值范围为，

故选：C

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，且，则向量与的夹角等于___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由向量数量积运算律和定义可求得，由此可得夹角.

【详解】，

，解得：，

又，.

故答案为：.

14. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.

【详解】，，

令，解得：或，

在上的“拉格朗日中值点”的个数为.

故答案为：.

15. 设为坐标原点，直线与拋物线交于两点，若，则的焦点坐标为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由可求得坐标，由垂直关系可得，由此可得，进而确定焦点坐标.

【详解】由得：，不妨令，，

，，

，，解得：，抛物线，

的焦点坐标为.

故答案为：.

16. 在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得， ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得.

【详解】因为，且，

所以，即，

由余弦定理得：，

所以，又，

所以，

解得：或，

因为为锐角三角形，

所以，，

所以，

因，

所以，

由正弦定理得：

，

因为为锐角三角形，

所以，即,

所以，

所以，

所以，

所以，，

故.

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等比数列的公比与等差数列的公差相等，且，.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设的公比为的公差为，则由已知条件列方程可求出，从而可求出的通项公式；

（2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得结果.

【小问1详解】

设的公比为的公差为，

因，则，解得，

而，则，

又，有，

所以的通项公式分别为.

【小问2详解】

由（1）可知，，

令数列的前项和为，

则

.

18. 如图，在四棱锥中，，且是棱上一点，且满足.

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积是的面积是，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作辅助线，利用线面平行的判定定理可证明结论；

（2）设点到平面的距离为，根据等体积法，有，即可求得答案.

【小问1详解】

如图，在棱上取一点，使，连接.

，

且,

又，且.

四边形是平行四边形，.

又平面平面，

平面.

【小问2详解】

设点到平面的距离为,三棱锥的体积是的面积是，

因为，所以，

即，

解得.

19.

2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）

（2）求声音强度关于声音能量非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；

（3）假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.

参考数据：，，令，有，，

，，，

，，，.

【答案】（1）   

（2）   

（3）点处会受到噪声污染

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合图象的增长趋势，即可求解．

（2）令，，则，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．

（3）设点处的声音能量为，则，利用基本不等式求出，再代入（2）中的非线性经验回归方程，求出，即可判断．

【小问1详解】

解：散点图近似在一条曲线上，故更适合．

【小问2详解】

解：令，，则，，，

即关于的回归方程是，

则关于的非线性经验回归方程是．

【小问3详解】

解：设点处的声音能量为，则，

因为，，，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以，

所以点处会受到噪声污染．

20. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，定值为

【解析】

【分析】（1）写出直线方程，取求得值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于，的方程组，求解，的值，则椭圆方程可求；

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，横纵坐标的和与积，分别写出，的方程，求得与的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得与的面积之积为定值．

【小问1详解】

由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，

令，得，由题意可得，解得，．

求椭圆的方程为；

【小问2详解】

证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，

，，，，

联立，得．

，，

由，得，

，

，

直线的方程为，令，解得，

则，，同理可得，，

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21. 已知函数，．

（1）若在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，对任意，．

（参考：，，，）

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）参变分离，构造新函数，求导判断函数单调性，从而得函数的值域，可得的取值范围；（2）令，求解导函数，令新函数求解导函数，分类讨论和两种情况，由的正负判断单调性，结合零点，判断单调性，设的零点，结合题目所给提示判断得，从而可得，构造新函数，求导判断单调性，即可证明得，所以可得证.

小问1详解】

由题意，在上有变号零点，

，令，则，

所以函数单调递增，∴，

∴，∴的取值范围为．

【小问2详解】

时，，

，令，

则，当时，，单调递减；

此时，

，存在唯一的使

且当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

且，

，∴当时，，

当时，，单调递增，

且当时，，

∴时，，单调递增，

且注意到，

，

∴存在唯一的使，即，

且在上单调递减，上单调递增，

∴

，

令，

，在上单调递减，

∴

∴，综上：对有．

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

22. 已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，点的直角坐标为，求.

【答案】（1）直线；曲线   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据直线参数方程，消去参数即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可直接将曲线化为直角坐标方程；

（2）将参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得韦达定理的结论，根据直线参数方程中参数的几何意义可知，由韦达定理可得结果.

【小问1详解】

由得：，即直线的普通方程为：；

由得：，整理可得：，

即曲线的直角坐标方程为：.

【小问2详解】

将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程得：，

即，

设对应的参数分别为，则，，

.

23. 已知函数．

（1）当时，求的解集；

（2），若对，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）将函数化成分段函数，再分段讨论求解不等式作答.

（2）利用绝对值的三角不等式求出最小值，再求出最小值，然后利用已知建立不等式，求解作答.

【小问1详解】

当时，，当时，，解得，无解，

当时，，解得，则，当时，，解得，则，

所以原不等式的解集为．

【小问2详解】

当时，，当且仅当时取“=”，即，

而当时，，因此，

因为对，使得成立，从而得，

因为，则有，解得或，

所以实数a的取值范围为．