2024年高考数学第一轮复习专题21 解三角形（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题21 解三角形（解析版），共30页。
专题21 解三角形
【考点预测】
1、角的关系


2、正弦定理
为的外接圆的直径）.
　正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3、余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4、三角形面积公式

【典例例题】
例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
，
由正弦定理得，
.
故选：B.
例2．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（    ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于A项，方法1：∵，，
∴，
∴由正弦定理得：
∴a、c值唯一确定，
∴只有一解.
方法2：如图所示，

∴只有一解.  故选项A错误；
对于B项，方法1：由余弦定理得：，
∴只有一解.
方法2：如图所示，

∴只有一解. 故选项B错误；
对于C项，方法1：由正弦定理得：，解得：
又∵  ∴角B有两个解.  
方法2：如图所示，

∵，
∴，
∴角B有两个解.  故选项C正确；
对于D项 ，方法1：∵，∴，又∵，∴，
∴不存在这样的三角形.
方法2：如图所示，

∵，
∴
∴此时A、B、C三点不能构成三角形.  故选项D错误；
故选：C.
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
整理得，
因为，所以．
又，所以．
因为的面积为，，
所以，解得，，
所以，则．
故选:D.
例4．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.
【答案】5
【解析】由得,
由正弦定理以及得，
故由余弦定理得，
故答案为：5
例5．（2023·高三课时练习）在中，三边长分别为，，，则的面积为______.
【答案】3
【解析】由余弦定理得，
所以,故面积为,
故答案为：3
例6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________.
【答案】
【解析】，
∴设，
.
故答案为：.
例7．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）在中，，，且，求：
(1)求的值；
(2)求的面积．
【解析】（1）因为，由正弦定理得，，所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得 或，
当时，，与题意不符合;
当时，，符合题意.
所以.
（2）因为，，
所以，所以的面积
例8．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为，所以，
所以，则．
因为，所以．
（2）选①,由余弦定理可得，即，
则．
因为，所以．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是8．
选②,因为D是边的中点，所以，
所以，
因为，且，所以，即．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，解得，即的最大值是．
例9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E，且，.
(1)求BD的长；
(2)求的值.
【解析】（1）在△中，由正弦定理得，
所以，所以，又因为，
所以， 所以．
（2）在△中， ，因为，
所以，，
在△中，，，，
所以，所以，
所以


【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由正弦定理可知，若t，
则，
即a＝tc，b＝ta，c＝bt，
即abc＝t3abc，即t＝1，
则a＝b＝c，即是等边三角形，
若是等边三角形，则A＝B＝C，则1成立，
即命题p是命题q的充要条件，
故选：C.
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以.
故选：.
3．（2023春·广东·高三统考开学考试）在中，若，，，则（    ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理有，结合，，，
则．
故选：A
4．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】因为，
所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.
故选：A
5．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，的面积为，
所以,所以.
由余弦定理得：.
故选：D.
6．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（    ）
A．2 B． C．4 D．16
【答案】B
【解析】由题意，，所以，，
所以，
解得或（舍去）．
故选：B
7．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中, ,则,
即，即，
故 ，而 ,
故，
故选：B
8．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（    ）．
A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．
【答案】B
【解析】设三角形两边a，b之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，
则，，，
由，得，
解得，
由余弦定理得，
则，
所以，
所以三角形是锐角三角形，
故选：B
9．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（    ）

A．20米 B．米 C．米 D．25米
【答案】A
【解析】设教学楼的高度为，
在直角三角形中，因为，所以，
在直角三角形中，因为，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
代入数值可得解得或（舍），
故选:A.
二、填空题
10．（2023·高一课时练习）在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意在中，若，则,
由正弦定理得，
可解，则需有，解得，
故边a的取值范围是，
故答案为：
11．（2023·高一课时练习）张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是______．
【答案】
【解析】由题意可知三角形有两个解

由上图可知：
若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点
则，即,
故答案为：
12．（2023·高一课时练习）的外接圆半径为3，则______．
【答案】
【解析】因为的外接圆半径为3，
由正弦定理可得：，
则有，，
所以，
故答案为：.
13．（2023·高三课时练习）在中，内角､､的对边分别为､､，若的面积为，则的值为___________.
【答案】
【解析】，所以，由正弦定理得．
故答案为：．
14．（2023·高一课时练习）在锐角中，若a＝3，b＝4，三角形的面积为，则c＝______．
【答案】
【解析】
又锐角，所以，
根据余弦定理得：
故答案为：
15．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知，则的面积_______．
【答案】12
【解析】∵，
∴根据余弦定理得，
∴
∴，
故答案为：12．
16．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角成等差数列，则___________.
【答案】
【解析】由内角成等差数列，知：，而，
∴，而由余弦定理知：，
由正弦定理边角关系，得：.
故答案为：.
17．（2023·全国·高一专题练习）在△中，角的对边分别为．，，，则_____________．
【答案】
【解析】由正弦定理得，即，则，又，所以，即为锐角，所以．
考点：正弦定理．
18．（2023·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.
【答案】12
【解析】由余弦定理可得，即，解得，
则，故．
故答案为：12．
19．（2023·高一课时练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
【答案】等腰
【解析】因为，
由正弦定理可得，即，
故一定为等腰三角形.
故答案为：等腰.
20．（2023·全国·高三专题练习）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
【答案】
【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；
故，又，故.
故答案为：.
21．（2023·高一课时练习）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】解析：因为，
根据正弦定理可知，即，
由余弦定理可知，又，故，
又因为，所以，
（当且仅当时取等号），即
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
三、解答题
22．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．

(1)求BD；
(2)求的面积．
【解析】（1）在中，，则，，
所以，
由正弦定理可得：，则.
（2）在中，由余弦定理可得：，
解得：.
所以的面积.
23．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____________.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
【解析】（1）若选①，由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以；
选②，由正弦定理得：，
所以
所以，
因为，所以，
所以，
因为，
所以；
选③，由正弦定理得：，所以，
所以，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为.
24．（2023·全国·模拟预测）如图，四边形中，的面积为.

(1)求；
(2)求.
【解析】（1）在中，由的面积，可得，
由余弦定理，即.
（2）在中，由正弦定理，可得，
∵，则，故.
25．（2023·全国·高三专题练习）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．
(1)求C；
(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．
【解析】（1）根据正弦定理，由，
因为，所以，
于是由
，
因为，所以；
（2）因为c是a，b的等比中项，所以，
因为的周长为6，所以，
由余弦定理可知：
，或舍去，
所以外接圆的半径为.
26．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
(1)求角A的大小：
(2)若，求△ABC的面积．
【解析】（1）根据题意，得
由正弦定理可得，即
得，
又，所以，所以，所以.
（2）由，得，又，
由余弦定理可得解得，，
所以.
27．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且．
(1)求；
(2)若角B的角平分线交AC于点D，，求△ABC的面积．
【解析】（1）由A、B、C成等差数列且，则，
所以，故，且，
所以，则，故，则.
（2）

由（1）知：，则，而，故到距离，
所以，而，即，
所以.
，即，得，
所以.
28．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
【解析】（1）解:由题知,
则有:①,
在中,由余弦定理可得:
,
代入①式可得: ,
即,
由辅助角公式可得:,
所以或,
即或,
因为,所以;
（2）由(1)知,因为平分,
所以,
且有,
即:,
将边和角代入可得: ,
化简可得: ,
在中,由余弦定理可得:
,
即,
即,
解得:(舍)或,
即,解得.
29．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
【解析】（1）向量与向量共线，有，由正弦定理得，
∴，
由，，∴，，又，∴.
（2）由（1）知，∴，，
，得，
由余弦定理：，
∴，解得.
30．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）中，角对应的边分别是，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，，求的值．
【解析】（1）由，
得：，
即，
即，
解得或（舍去）
因为，所以．
（2）由，
得，又，解得，
由余弦定理：
，
故，
又由正弦定理：，
所以，
，
所以.
31．（2023·全国·高三对口高考）设的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
【解析】（1）由，得，由正弦定理得，又，则，解得，即.
（2），由，则，则，，．
32．（2023·全国·高三专题练习）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
【解析】（1）∵，则，
∴，
又∵，
∴.
（2）∵，即，
∴，
又∵，当且仅当时等号成立，
∴，则面积，
故面积的最大值.
33．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；
(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．
【解析】（1）由边化角可得，
即，即，
所以，因为，所以，
所以，,所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，
由圆的内接四边形的性质可知,
在中，由余弦定理得，
所以即，
解得或（舍）.
34．（2023·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求.
【解析】（1）由题意可得，
根据正弦定理可得，所以，
又根据余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因为，即，
由正弦定理可得，所以.
35．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末） 的内角的对边分别为，设.
(1)求A；
(2)若，且 成等差数列，求的面积.
【解析】（1）由题意，，由正弦定理得：
∴，即，
∴，在 中，，∴；
（2）∵，且成等差数列， ，由正弦定理得：，
又由（1）知，∴ ，
∴的面积 ；
综上，，的面积为 .
36．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）记的内角A，，的对边分别为，，，已知
(1)求证：；
(2)若，求的值.
【解析】（1）∵，∴
；
（2）
由，∴．
37．（2023·北京·高三统考阶段练习）记中角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积.
【解析】（1）因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
在中，，
所以，
所以
则，
而，所以.
（2）由（1）
所以由
，
又，所以.
因为在中，，
所以有，，
所以，
又，所以，
所以，
由题，
其中为外接圆的半径，
所以，
所以，
故的面积


.
38．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在中，点在边上，

(1)证明：；
(2)若，，求.
【解析】（1）在中，由正弦定理知：，即
又，
可得，
在中，所以，所以.
（2）不妨设，则
在中，由余弦定理知；
在中同理可知：
在中，
即有
解得.
39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.

(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
【解析】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.
（2）选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以 ，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.
40．（2023·高一课时练习）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离．

【解析】因为，，
所以，为等腰直角三角形，，
因为，
所以，在中，，由正弦定理得，
所以，在中，，，，
所以，由余弦定理得，
所以，即之间的距离千米.
41．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长.
【解析】（1）因为，所以.  
由正弦定理，得，即，  
由余弦定理，得.
因为，所以.
（2），解得.
因为，所以为的三等分点，，则，
所以，.
42．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）在中，角所对的边分别为．已知且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【解析】（1）由边化角可得，
又因为,所以，
又因为得，
将代入，整理得，
或（舍），所以.
（2）由（1）得得，，且，
则，
所以.
（3）由余弦定理，
得，
因为,所以，
又因为，所以，
所以
,
所以
.
43．（2023秋·河南开封·高三统考期末），，分别为的内角，，的对边.已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
即，又，所以，
所以为锐角，所以，
故 ；
（2）因为，，
所以，
整理得，解得（负根舍去），
所以，，
所以的周长为.
44．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求a的值；
(2)若，求的值．
【解析】（1），
由正弦定理边化角得
，
，
；
（2）
，
，
，
解得
45．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知，，分别为的内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
【解析】（1）已知，由正弦定理得：，
故，
由，得：，
代入上式，于是，
由，得，从而上式消去得，
于是，即，由得.
（2）由的面积为得：，代入，得：①，
由余弦定理得，代入，，，得：②，
由①②解得.