2024年高考数学第一轮复习四十三讲14 导数的概念及应用（原卷附答案）

这是一份2024年高考数学第一轮复习四十三讲14 导数的概念及应用（原卷附答案），共25页。试卷主要包含了求函数导数的总原则，的意义等内容，欢迎下载使用。
考向14 导数的概念及应用

1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：
连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
2．利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
（3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
3．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围．
4．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
（1）注意曲线上横坐标的取值范围；
（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．

1．在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2．过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

一、导数的概念和几何性质
1．概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2．几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3．物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
二、导数的运算
1．求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）















2．导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3．复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：



1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（       ）
A． B．± C． D．±
3．（2022·湖南·模拟预测）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ）
A． B． C． D．1


1．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（       ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·湖北·模拟预测）若过点可作曲线三条切线，则（       ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·模拟预测（理））过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ）
A．8 B．9 C．10 D．13
5．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为（       ）
A． B． C． D．
6．（2022·云南师大附中模拟预测（理））若函数的图象上存在两个不同的点，，使得曲线在这两点处的切线重合，则称函数为“自重合”函数.下列函数中既是奇函数又是“自重合”函数的是（       ）
A． B．
C． D．
7．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则下列不等式一定成立的是（       ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2022·山东潍坊·模拟预测）过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（       ）
A．P1、P2两点的横坐标之积为定值
B．直线P1P2的斜率为定值
C．线段AB的长度为定值
D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]
10．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）设函数的导函数存在两个零点、，当变化时，记点构成的曲线为，点构成的曲线为，则（       ）
A．曲线恒在轴上方
B．曲线与有唯一公共点
C．对于任意的实数，直线与曲线有且仅有一个公共点
D．存在实数，使得曲线、分布在直线两侧
11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）己知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．
12．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知，，直线与曲线相切，则的最小值为___________.
13．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数，写出一个同时满足下列两个条件的：___________.①在上单调递减；②曲线存在斜率为的切线.
14．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．
15．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________．
16．（2022·广东佛山·模拟预测）已知函数，函数在处的切线方程为____________．若该切线与的图象有三个公共点，则的取值范围是____________．

1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（       ）参考答案
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（       ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
3．（2020·全国·高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（       ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（       ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
6．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
7．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
8．（2021·全国·高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
9．（2020·全国·高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
10．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．





11．（2021·全国·高考真题（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．




12．（2020·北京·高考真题）已知函数．
（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；
（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．





1．【答案】C
【解析】，，曲线在点（2，2）处的切线方程为，即．
故选：C.
2．【答案】C
【解析】因为
所以
当时，，此时，
∴．
故选：C.
3．【答案】D
【解析】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
4．【答案】A
【解析】由切点在曲线上，得①；
由切点在切线上，得②；
对曲线求导得，∴，即③，
联立①②③，解之得
故选：A.

1．【答案】B
【解析】由“连续不一定可导”知，“在处连续”不能推出“在处可导”, 比如函数在处连续，但是在处不可导；
由“可导一定连续”知，“在处可导”可以推出“在处连续”.
因此在处连续是在处可导的必要不充分条件
答案选：B
2．【答案】A
【解析】设切点为，
由，故切线方程为，
因为在切线上，所以代入切线方程得，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令，则或，
所以当，时，，为增函数，
当时，，为减函数，
且时，，时，，
所以只需，解得
故选：A
3．【答案】D
【解析】设切点为，
，切线斜率，
切线方程为：；
又切线过，；
设，则，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
又，，恒成立，可得图象如下图所示，

则当时，与有三个不同的交点，
即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条.
故选：D.
4．【答案】B
【解析】设切点为 ，
的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，
代入，得，
、为正实数，
则，
当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
5．【答案】B
【解析】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，
∴，故，所以，∴，∵，故，
设，则，
∴在上递增，在上递减，∴，
∴实数a的最大值为e
故选：B.
6．【答案】D
【解析】对于A，C，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B，，若斜率相同，则切点，，代入解得切线方程分别为，；若切线重合，则，此时两切点，为同一点，不符合题意，故B错误；对于D，，令得，则取，切线均为，即存在不同的两点，使得切线重合，故D正确.
故选：D．
7．【答案】B
【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.

此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意

故选：B
8．【答案】ACD
【解析】设切点为，因为，所以，
解得， ，即，
对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，当且仅当，时，等号成立，故B不正确；
对于C，，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
对于D，由可知D正确.
故选：ACD
9．【答案】ABC
【解析】因为，
所以，当时，；当时，，
不妨设点，的横坐标分别为，且，
若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；
若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.
所以或，则，，
由题意可得，可得，
若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；
对于选项B，易知点，，
所以，直线的斜率为，选项B对；
对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，
直线的方程为，令可得，即点，
所以，，选项C对；
对于选项D，联立可得，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
所以，，选项D错.
故选：ABC.
10．【答案】AD
【解析】对于A选项，因为，则，
令可得或，
因为函数存在两个零点、，则，即.
当时，即当时，，则，
当时，即当时，，则，
则曲线为函数的图象以及射线，
且当时，，所以，曲线在轴上方，A对；
对于B选项，当时，即当时，，
则，
当时，即当时，，则
所以，曲线为函数的图象以及射线，
由图可知，曲线、无公共点，B错；
对于C选项，对于函数，，
此时函数在上单调递减，且，
结合图象可知，当时，直线与曲线没有公共点，C错；
对于D选项，对于函数，，则，
又因为，所以，曲线在处的切线方程为，即.
构造函数，则，
，
令，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
当时，，即，
当时，，即，
所以，曲线、分布在直线的两侧，D对.

故选：AD.
11．【答案】1
【解析】设函数，的公共点为，则即则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．
故答案为：1.
12．【答案】8
【解析】设直线与曲线相切于点
由函数的导函数为，则
解得
所以，即
则
当且仅当，即时取得等号.
故答案为：8
13．【答案】（答案不唯一）
【解析】若同时满足所给的两个条件，则对恒成立，解得：，即，
且在上有解，即在上有解，由函数的单调性可解得：.
所以.
则（答案不唯一，只要满足（即可）
故答案为：
14．【答案】或
【解析】设公切线与相切于点，与相切于点，
，，公切线斜率；
公切线方程为：或，
整理可得：或，
，即，
，解得：或，
公切线方程为：或.
故答案为：或.
15．【答案】
【解析】数形结合可得：当，存在一条直线同时与两函数图象相切；

当，若存在一条直线同时与两函数图象相切，
则时，有解，
所以，
令，因为，
则当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；
所以在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，且在上恒成立，
所以，即．
故答案为：
16．【答案】    
【解析】切点坐标为，，，
所以切线l方程为．
函数，即过点，
当切线l过点时，切线l与函数的图象有三个公共点，
将其代入切线l方程得；
当切线l与（）相切时直线与函数的图象只有两个公共点，
设切线l：与（）在处相切，，，
所以切点坐标为，代入切线方程解得，
因此直线与曲线有三个交点时，．

故答案为：；



1．【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.
2．【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
3．【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
4．（多选题）【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
5．【答案】         
【解析】解： 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
6．【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
7．【答案】
【解析】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
8．【答案】
【解析】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
9．【答案】
【解析】设切线的切点坐标为，
，所以切点坐标为，
所求的切线方程为，即.
故答案为：.
10．【解析】(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
(2)，则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：




0

1



0

0

0










则的值域为，故的取值范围为.
11．【解析】(1)由函数的解析式可得：，
导函数的判别式，
当时，在R上单调递增，
当时，的解为：，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上
单调递增，在上单调递减.
(2)由题意可得：，，
则切线方程为：，
切线过坐标原点，则：,
整理可得：，即：，
解得：，则，
切线方程为：,
与联立得，
化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为
解得,
，
综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.
12．【解析】（Ⅰ）因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为：，即.
（Ⅱ）[方法一]：导数法
显然，因为在点处的切线方程为：，
令，得，令，得，
所以，
不妨设时，结果一样，
则，
所以
，
由，得，由，得，
所以在上递减，在上递增，
所以时，取得极小值，
也是最小值为.
[方法二]【最优解】：换元加导数法
   ．
因为为偶函数，不妨设，，
令，则．
令，则面积为，只需求出的最小值．
．
因为，所以令，得．
随着a的变化，的变化情况如下表：
a





0


减
极小值
增

所以．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法三]：多元均值不等式法
同方法二，只需求出的最小值．
令，
当且仅当，即时取等号．
所以当，即时，．
因为为偶函数，当时，．
综上，当时，的最小值为32．
[方法四]：两次使用基本不等式法
同方法一得到
,下同方法一.
【整体点评】
（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.