2024年高考数学第一轮复习专题训练第九章　§9.3　一元线性回归模型及其应用

§9.3　一元线性回归模型及其应用

考试要求　1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．

知识梳理

1．变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量       ，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

(2)相关关系的分类：         和          ．

(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在        附近，我们就称这两个变量线性相关．

2．样本相关系数

(1)r＝.

(2)当r>0时，称成对样本数据          ；当r<0时，称成对样本数据          ．

(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越     ；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越      ．

3．一元线性回归模型

(1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，

其中

(2)残差：观测值减去        称为残差．

常用结论

1．经验回归直线过点(，)．

2．求时，常用公式＝.

3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相关关系是一种非确定性关系．(　 　)

(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(　 　)

(3)经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．(　 　)

(4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(　 　)

教材改编题

1．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤：

①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．

则下列操作顺序正确的是(　　)

A．①②④③   B．③②④①

C．②③①④   D．②④③①

2．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　)

A．－0.82  B．0.78  C．－0.69  D．0.87

3．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：

由表中数据得到经验回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　)

A．68度   B．52度

C．12度   D．28度

题型一　成对数据的相关性

例1　(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：

根据表格中的数据求得经验回归方程为＝x＋，则下列说法中正确的是(　　)

A.>0，>0   B.>0，<0

C.<0，>0   D.<0，<0

(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程＝1x＋1，样本相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程＝2x＋2，样本相关系数为r2.则(　　)

A．0<r1<r2<1   B．0<r2<r1<1

C．－1<r1<r2<0   D．－1<r2<r1<0

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思维升华　判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．

(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强．

(3)经验回归方程：当>0时，正相关；当<0时，负相关．

跟踪训练1　(1)某公司2017～2022年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：

根据统计资料，则利润中位数(　　)

A．是16，x与y有正相关关系

B．是17，x与y有正相关关系

C．是17，x与y有负相关关系

D．是18，x与y有负相关关系

(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为(　　)

A．r1>r2   B．r1＝r2

C．r1<r2   D．不确定

题型二　回归模型

命题点1　一元线性回归模型

例2　(2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：

(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；

(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋；

(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？

参考公式及数据：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.

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命题点2　非线性回归模型

例3　(2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．

表中ui＝，＝i.

(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)

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(2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y关于x的经验回归方程；

(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80 000元(假设能够全部售出)．

附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其经验回归方程＝ω＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.

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思维升华　求经验回归方程的步骤

跟踪训练2　(2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x(单位：份)与收入y(单位：元)之间有如下的对应数据：

(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；

(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y关于份数x的经验回归方程；

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(3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．

参考数据公式：＝145，iyi＝1 380，

＝＝，

＝－.

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题型三　残差分析

例4　(1)(多选)下列说法正确的是(　　)

A．在经验回归方程＝－0.85x＋2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量平均减少2.3个单位

B．在经验回归方程＝－0.85x＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25

C．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好

D．若两个变量的决定系数R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：

根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则表中m＝________.

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思维升华　检验回归模型的拟合效果的两种方法

(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．

(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．

跟踪训练3　(1)下列命题是真命题的为(　　)

A．经验回归方程＝x＋一定不过样本点

B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱

C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好

D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

(2)两个线性相关变量x与y的统计数据如表：

其经验回归方程是＝x＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．