2022-2023学年重庆市江津中学九年级（下）第一次定时作业数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市江津中学九年级（下）第一次定时作业数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体的形状图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.下列图形中的曲线不表示是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若：：，四边形和的周长之比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6.下列说法正确的是(    )

A. 代数式是分式
B. 分式中，都扩大倍，分式的值不变
C. 分式的值为，则的值为
D. 分式是最简分式

7.早上点，甲车从地出发去地，分钟后，乙车从地出发去地两车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示，下列描述中不正确的是(    )

A. 两地相距千米
B. 乙车平均速度是千米小时
C. 乙车在：到达地
D. 甲车与乙车在早上点相遇

8.估计的值在下列哪两个整数之间(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9.如图，为的直径，为上一点，过点作的切线交的延长线于点，，连接，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.有个依次排列的整式：第一项是，第二项是，用第二项减去第一项，所得之差记为，将加记为，将第二项与相加作为第三项，将加记为，将第三项与相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论：
；
当时，第项为；
若第项与第项之和为，则；
第项为；
当时，；
以上结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.        ．

12.现有两组数据：甲：，，，；乙：，，，，它们的方差分别记作，，则 ______ 用“”“”“”．

13.已知反比例函数，那么的值是______．

14.有四张除数字外其它完全一样的卡片，正面写有数字，，，把它们全部背面朝上，抽出一张记为数作为点的横坐标，不放回，再抽一张记为数作为点的纵坐标则点在第四象限内的概率为        ．

15.如图，正方形的边长为，以为圆心，长为半径画以为圆心，长为半径画，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为          ．
 

16.若整数使关于的分式方程有整数解，使关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的所有整数之和为______ ．

17.如图，正方形中，，点在上，，连接将沿着翻折得，点的对应点为点，连接，则的长为______ ．

18.介绍一个“能被整除的数的特征”的数学小知识：一个多位数数位大于等于的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被整除，则这个多位数就一定能被整除例如数字，这个数末三位是，末三位以前是，，即能被整除，那么也能被整除则 ______ ；若，均为的倍数，且，，，且，，均为整数，规定，当时，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
计算：
；
．

20.本小题分

如图，四边形是平行四边形，是对角线．
基本尺规作图：过点作于点，再在上截取尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
连接、、，猜想四边形的形状，将下面的推理过程补充完整．
证明：四边形是平行四边形，
， ______ ，
．
在和中，
≌______ ，
，．
．
______ ．
四边形是 ______ ．

21.本小题分
年月日，中国人民银行召开数字人民币研发试点工作座谈会，在现有试点地区基础上增加重庆市等个城市作为试点地区，某校数学兴趣小组为了调查七、八年级同学们对数字人民币的了解程度，设计了一张含个问题的调查问卷，在该校七、八年级中各随机抽取名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生答对的问题数量为：

八年级名学生答对的问题数量的条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生答对问题数量的平均数、众数、中位数、答对题及以上人数所占百分比如表所示：两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示：

根据以上信息，解答下列问题：
直接写出上述表中的，，的值；
根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更了解数字人民币？请说明理由写出一条理由即可；
若答对题及以上视为比较了解数字人民币，该校七年级有名学生，八年级有名学生，估计该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是多少？

22.本小题分

为了尽快建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，最终乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍少米．

甲乙两队各修道路多少米

实际修建过程中，乙队每天比甲队多米，最终乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，乙队每天修建道路多少米

23.本小题分

如图，某社区公园内有，，，四个休息座椅，并建有一条从的四边形循环健身步道．经测量知，，，，步道长米，步道长米．在同一平面内，步道宽度忽略不计，结果保留整数，参考数据：，
求步道的长；
公园管理处准备将四边形的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每平方米元．社区公园目前可用资金为万元，计算此次改建费用是否足够？

24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点、分别在轴与轴上，已知，，点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动运动时间为秒请回答下列问题：

求的面积关于的函数解析式；
在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
是否存在等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.本小题分
抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
求抛物线的函数表达式；
如图，点在线段上方的抛物线上运动不与，重合，过点作，垂足为，交于点作，垂足为，若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的面积的最大值；
如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写下来．

 

26.本小题分
在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
如图，连接，当、、三点共线时，若，求的长；
如图，取的中点，连接，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
如图，在的条件下，连接、交于点若，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．

2.【答案】 

【解析】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，如图所示：．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，进而得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项等，熟练掌握这些知识是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：函数，就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．
因而：圆不能表示是的函数图象，是因为：对在某一部分的取值，的对应值不唯一，不符合函数的定义．
故选C．
圆不能表示是的函数图象．
正确理解函数的定义是解决本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，
四边形∽，，
∽，
，
四边形和的周长之比为：，
故选：．
根据位似图形的概念得到，证明∽，根据相似三角形的性质得到，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质、相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：、代数式是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式中，都扩大倍后的值为，即分式的值扩大倍，故本选项说法错误，不符合题意；
C、分式的值为时，且，解得，故本选项说法正确，符合题意；
D、分式，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：．
根据分式的定义判断；根据分式的基本性质判断；根据分式的值为的条件判断；根据最简分式的定义判断．
本题考查了最简分式，分式的值为的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．

7.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
两地相距千米，故选项A正确，不符合题意；
乙车的平均速度为：千米小时，故选项B正确，不符合题意；
乙车到达地的时刻为：，故选项C正确，不符合题意；
甲车的平均速度为：，
则甲车与乙车在早上点分相遇，故选项D不正确，符合题意；
故选：．
根据题意和图象中的数据，可以计算出各个选项中的数据是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

8.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
，
的值在和之间．
故选：．
先把二次根式化为最简二次根式，再估算出取值范围即可．
本题考查了估算无理数的大小，能估算出取值的范围是解此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，利用切线的性质得，再利用直角三角形的性质得，说明，即可解决问题．
本题主要考查了圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知，第一项为，第二项为，
，
，
，故正确，
第三项为，
当时，第三项为，故正确，
第四项为，
，
第五项为，

，
第项为，
第项为故错误，
若第四项与第五项的和，
则，
解得或，故错误，
当时，


，
故正确，
故正确的为：，
故选：．
根据题意可以得出规律，第项为，，根据规律逐项求解判断即可．
本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难度较大．

11.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：甲组平均数为：，
，
乙组平均数为：，
．
，
故答案为：．
先求出各自的平均数，然后根据方差公式计算即可．
此题考查方差问题，熟练掌握方差的计算．方差是各数据与其平均数差的平方的平均数，它反映数据波动的大小．

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：．
根据反比例函数的定义求解．
本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中点在第四象限内的结果数有种，
点在第四象限内的概率为，
故答案为：．
先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到点在第四象限内的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了求解特殊图形的面积的知识，掌握扇形的面积公式，并得出，，是解答本题的关键．
连接、，过点作于点，交于点，先证明四边形是矩形和是等边三角形，由图可知：，，，结合三角形的面积公式和扇形的面积公式计算即可求答案．
【解答】
解：如图，将题中图形简化，连接、，过点作于点，交于点，

在正方形中，有，
四边形是矩形，
弧和弧的半径均为，正方形的边长为，
，
是等边三角形，
，
，
，平分，
矩形的面积为：，
在正方形中，，
，
在中，有，，
，
的面积为：，
同理可求得：，
，，
扇形的面积为：，
弓形的面积为：，
，，
扇形的面积为：，
的面积为：，
根据图形的对称性可知：阴影部分面积为：，
，
即：，
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：解不等式组，得：，
不等式组有且仅有四个整数解，
，即，
，
解分式方程，得：，
为整数，且，
为整数，且，即，
或或，
所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：．
解不等式组得出，结合题意得出，解分式方程得出，结合题意得出或或，进而得出所有满足条件的整数的值之和，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交，于点，，

在正方形中，，
，，
，，
，，
由翻折可知：，，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：．
过点作交，于点，，由翻折可知：，，，证明∽，可得，所以，解得，，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质并结合全等三角形的判定与性质、相似三角形相似比是解决问题的关键．

18.【答案】   

【解析】解：由题意可得，
，
，
故答题空为：；
，，
，，
，
是的倍数，且，
可以取或或或或或或，
可能是：、、、、、、，
是整数，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
直接根据公式代入求解即可得到答案；
根据公式代入求出、，结合整除及取值范围即可得到答案．
本题考查新定义的运算及整除问题，解题的关键是正确理解新定义，根据的条件求出．

19.【答案】解：原式
．
原式

． 

【解析】根据整式的运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则、乘法运算法则、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．

20.【答案】      平行四边形 

【解析】解：如图所示．

证明：四边形是平行四边形，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
．
，
四边形是平行四边形．
故答案为：；；；平行四边形．
根据垂线的作图步骤作即可，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则．
根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可得出答案．
本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．

21.【答案】解：七年级名学生答对的问题数量为个的出现次数最多，故众数为题，故，
从统计图可知，八年级抽取的学生答对问题数量的中位数为：题，故，
八年级抽取的学生答对问题数量答对题以上的有人，
故八年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比为，故；
八年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数均大于七年级抽取的学生答对问题数量的中位数及平均数，且八年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比高于七年级抽取的学生答对题及以上人数所占百分比，故八年级的学生更了解数字人民币．
该校七年级和八年级比较了解数字人民币的学生总人数是人． 

【解析】根据中位数、众数的定义即可求出，的值，八年级抽取的学生答对题及以上人数除以即可求出的值；
根据平均数、中位数、众数及学生答对题及以上人数所占百分比进行比较即可；
分别求出七、八年级的比较了解数字人民币的学生数再求和即可．
本题考查数据的收集与整理，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义，样本估计总体的方法是解题的关键．

22.【答案】解：设甲队修道路米，则乙队修道路米，
由题意得：，
解得：，
则，
答：甲队修道路米，乙队修道路米；
乙队每天修建道路米，则甲队每天修建道路米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙队每天修建道路米． 

【解析】设甲队修道路米，则乙队修道路米，由题意：建一条全长米的道路，安排甲乙两队合作完成任务，列出一元一次方程，解方程即可；
乙队每天修建道路米，则甲队每天修建道路米，由题意：乙队完成任务时间是甲队完成任务时间的倍，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．

23.【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
在中，米，，
，
米，
米，
在中，米，，
，
米，
米，
米，
米，
，
，
在中，米，
米，
步道的长约为米；
四边形的面积的面积梯形的面积的面积



平方米，
元万元，
此次改建费用足够． 

【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据四边形的面积的面积梯形的面积的面积，进行计算即可求出四边形的面积，然后再求出此次改建费用，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】解：当，即在上时，如图：

；
当，即在上时，如图：

，
；

由得，找到点、、，连接，如图所示，

由图象可得：当，随增大而减小；

存在等腰三角形，理由如下：
如图：

，，
，
在上时，不可能是等腰三角形，
当在上时，，
，，
若时，，
解得舍去或，
；
当时，，
解得或舍去，
；
当时，，
解得，
．
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】分点在与上运动结合形成问题求解即可得到答案；
根据的解析式直接找点连接即可得到答案；
分、、三种情况，找到点结合勾股定理及等腰三角形行性质求解即可得到答案．
本题属于四边形综合题，主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想分类求解．

25.【答案】解：抛物线与轴交于点，两点，
设，把代入，得：，
解得：，
，
该抛物线的函数表达式为；

，，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
如图，过点作于点，

则，
，
当最大时，最大，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，取得最大值，
，
的面积的最大值为；

当为平行四边形的边时，则有，且，
如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，

则，
在和中，
，
≌，
，
点到对称轴的距离为，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，，
当时，，
点坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
如图，设的中点为，

，，
，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】将，，三点代入解析式求解即可得到答案；
设解析式为，将，代入求出直线解析式，表示出点坐标，根据垂直表示出点坐标，用表示出，结合函数性质即可得答案；
根据求出对称轴，设出点，根据平行四边形的对角线互相平分，分类讨论对角线表示出点坐标，根据抛物线列方程求解即可得到答案．
本题考查二次函数综合题，求解析式、动点图形最大面积及特殊图形，解题的关键是分类讨论代入求解．

26.【答案】解：如图，

作交的延长线于，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；

如图，，理由如下：

连接并延长至，使，
是的中点，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
，
，，
，
，
；

如图，

连接，作于，
由知：，，，
，，
点、、、共圆，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，则，，
，，
，
，
． 

【解析】作交的延长线于，先推出，进而求出，解，从而求得；
连接并延长至，使，先证得≌，进而证得≌，进一步得，，从而得出；
连接，作于，先证得点、、、共圆，从而得出，，设，解斜三角形和，进一步求得结果．
本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是“倍长中线”及“四点共圆”等模型方法．