江苏省常州外国语中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份江苏省常州外国语中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省常州外国语中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8题，每题2分，共16分）1．下列现象属于平移的是（　　）A．下雨天雨刮刮车玻璃 B．每天早上打开教室门 C．每天早上打开教室窗户 D．荡秋千2．下列运算正确的（　　）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6+a2＝a4 D．3a3﹣a2＝2a3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．x（2x﹣y）+2y（2x﹣y）＝（x+2y）（2x﹣y） B．x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy C．（x+2y）2＝x2+4xy+4y2 D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+14．已知 是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y＝3的解，则a的值为（　　）A． B．6 C． D．35．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）A． B． C． D．6．已知正多边形的每个内角都等于150°，若用这种正多边形与下列正多边形不重叠无缝隙拼接，需与下列选项中哪个正多边形组合（　　）A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形7．如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯．右图是自动扶梯的侧面示意图，自动扶梯AB上方的直线MN上有一点C，连接AC，BC．已知MN∥PQ∥BD，∠BAP＝147°，∠NCB＝92°，则∠CBA的度数为（　　）A．55° B．121° C．125° D．147°8．如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为（　　）A．255024 B．253008 C．257048 D．255054二、填空题（共10题，每题2分，共20分）9．氢原子的半径约为0.00000000005m，数据0.00000000005用科学记数法表示为 　          　．10．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是　                  　．11．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为　     　．12．已知10x＝a，10y＝b，则103x+2y＝　       　．13．若x，y满足方程组，则x+y＝　   　．14．计算＝　       　．15．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示，如图，由四个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：　           　（结果为最简）．16．如图，将△ABC沿着DE折叠，点A的对应点为A′．已知∠A＝34°，当A′D∥AC时，∠AED的度数为 　      　．​17．已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是　   　．18．如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D、E分别是AB，BC的中点，AE、CD相交于点F．已知AB＝6，四边形BEFD的面积为6，则AC的最小值为 　   　．三、解答题（共8题，共64分）19．计算：（1）（﹣）﹣1+（3﹣π）0+（﹣3）2；（2）a2•a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2+a2．20．因式分解：（1）3ax2﹣6ax+3a．（2）9x2（a﹣b）+4y3（b﹣a）．21．解下列二元一次方程组：（1）．（2）．22．先化简，再求值：（a+b）2﹣2a（a﹣b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．23．已知：如图，∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，求证：∠M＝∠N．24．已知：x+y＝5，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．求下列代数式的值．（1）xy；（2）x2+4xy+y2；（3）x2+xy+5y．25．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移|x|个单位），沿竖直方向平移的数量为y（向上为正，向下为负，平移|y|个单位），则把有序数对（x，y）叫做这一平移的“平移量”．如图，已知△ABC，点A按“平移量”（2，3）可平移到点B．（1）填空，点B可看作点C位“平移量”（ 　     　，　   　）平移得到．（2）若将△ABC依次按“平移量”（﹣1，1）平移得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B'C'．（3）将点A按“平移量“（a，b）平移得到点D（点D在直线BC上），使 S△ABD＝S△ABC写出此时的平移量（a，b）．（4）将点C按平移量”（a，b）平移得到点P，连接AP、BP，若△ABP的面积与△ABC的面积相等，写出a、b满足的关系式．26．已知：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当EF所在直线与线段AD，AB有交点时，交点分别为点M、点N．（1）当t＝15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是 　        　，∠ANM＝　     　°；（2）是否存在某个时刻t，使得EF∥AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
 参考答案一、选择题（共8题，每题2分，共16分）1．下列现象属于平移的是（　　）A．下雨天雨刮刮车玻璃 B．每天早上打开教室门 C．每天早上打开教室窗户 D．荡秋千【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置解答即可．解：A．下雨天雨刮刮车玻璃是旋转现象，故不符合题意；B．每天早上打开教室门是旋转现象，故不符合题意；C．每天早上打开教室窗户是平移现象，符合题意；D．荡秋千是旋转现象，故不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了平移的定义，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，只改变位置是解答本题的关键．2．下列运算正确的（　　）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a6+a2＝a4 D．3a3﹣a2＝2a【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、a2•a3＝a5，故B符合题意；C、a6与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；D、3a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）A．x（2x﹣y）+2y（2x﹣y）＝（x+2y）（2x﹣y） B．x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy C．（x+2y）2＝x2+4xy+4y2 D．x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．解：A、x（2x﹣y）+2y（2x﹣y）＝（x+2y）（2x﹣y），是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；B、x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy，等式的右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；C、（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；D、x2﹣y2+1＝（x+y）（x﹣y）+1，等式的右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．4．已知 是关于x、y的二元一次方程ax﹣3y＝3的解，则a的值为（　　）A． B．6 C． D．3【分析】将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值．解：将 代入原方程得：2a﹣3×3＝3，解得：a＝6，∴a的值为6．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．5．利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据三角形高的定义对各选项进行判断．解：作△ABC的高，下列作法正确的是．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．6．已知正多边形的每个内角都等于150°，若用这种正多边形与下列正多边形不重叠无缝隙拼接，需与下列选项中哪个正多边形组合（　　）A．正四边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正三角形【分析】分别求得各正多边形中每个内角的度数，然后结合已知条件，判断能否存在整数个两种正多边形的内角之和为360°即可．解：A．∵正四边形的每个内角为90°，∴不能用整数个90°和150°构成360°的角，则A不符合题意；B．∵正六边形的每个内角为（6﹣2）•180°÷6＝120°，∴不能用整数个120°和150°构成360°的角，则B不符合题意；C．∵正八边形的每个内角为（8﹣2）•180°÷8＝135°，∴不能用整数个135°和150°构成360°的角，则C不符合题意；D．∵正三角形的每个内角为60°，∴2×150°+60°＝360°，则D符合题意；故选：D．【点评】本题考查正多边形的性质，由题意将题目转化成是否存在整数个两种角度之和为360°是解题的关键．7．如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯．右图是自动扶梯的侧面示意图，自动扶梯AB上方的直线MN上有一点C，连接AC，BC．已知MN∥PQ∥BD，∠BAP＝147°，∠NCB＝92°，则∠CBA的度数为（　　）A．55° B．121° C．125° D．147°【分析】设直线BD交AC于点H，根据平行线的性质得出∠ABH＝33°，∠CBH＝92°，根据角的和差即可得解．解：如图，直线BD交AC于点H，∵MN∥PQ∥BD，∴∠CBH＝∠NCB，∠BAP+∠ABH＝180°，∵∠BAP＝147°，∠NCB＝92°，∴∠ABH＝33°，∠CBH＝92°，∴∠CBA＝∠ABH+∠CBH＝125°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．8．如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为（　　）A．255024 B．253008 C．257048 D．255054【分析】首先设两个连续的奇数分别为：2n﹣1，2n+1，计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，再计算：，从而可得出不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：8×252＝2016，而2016＝5052﹣5032，据此可计算出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和．解：设两个连续的奇数分别为：2n﹣1，2n+1，∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，∴任意一个“和谐数”8的倍数，又∵，∴在不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：8×252＝2016，∴在不超过2023的整数中，“和谐数”分别为：8，16，24，32，……，2016，又∵8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，32＝92﹣72，……，2016＝5052﹣5032，∴8+16+24+32+……+2016＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+92﹣72+……+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出在不超过2023的正整数中最大的“和谐数”是2016．二、填空题（共10题，每题2分，共20分）9．氢原子的半径约为0.00000000005m，数据0.00000000005用科学记数法表示为 　5×10﹣11　．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：0.00000000005＝5×10﹣11．故答案为：5×10﹣11．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．若（2a﹣1）0＝1成立，a的取值范围是　a≠　．【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得a﹣1≠0，再解即可．解：∵（2a﹣1）0＝1成立，∴2a﹣1≠0，∴a≠，故答案为：a≠．【点评】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0＝1（a≠0）．11．等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为　15　．【分析】由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，所以其另一边只能是6，故其周长为6+6+3＝15．故答案为15．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．12．已知10x＝a，10y＝b，则103x+2y＝　a3b2　．【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．解：当10x＝a，10y＝b时，103x+2y＝103x×102y＝（10x）3×（10y）2＝a3b2．故答案为：a3b2．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．13．若x，y满足方程组，则x+y＝　7　．【分析】解方程组，可用含m的代数式表示出x，y的值，再将其相加后，即可得出结论．解：，由①得：x＝4﹣m，由②得：y＝3+m，∴x+y＝4﹣m+3+m＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，用含m的代数式表示出x，y的值是解题的关键．14．计算＝　5.16　．【分析】先将所求式子变形，然后根据平方差公式计算即可．解：＝（×6.16）2﹣（2×1.04）2＝3.082﹣2.082＝（3.08+2.08）×（3.08﹣2.08）＝5.16×1＝5.16，故答案为：5.16．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．15．在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示，如图，由四个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个边长为c的正方形拼成，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：　a2+b2＝c2　（结果为最简）．【分析】这个图形是一个边长为a+b的正方形，且这个图形可以看成边长为c的正方形与4个直角三角形的面积之和，据此可解决问题．解：因为图中是一个边长为a+b的正方形，所以它的面积为（a+b）2．又该图形可看成一个边长为c的正方形和四个直角三角形拼接而成，所以它的面积为c2+4×．因此可得到：（a+b）2＝c2+，整理得a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．【点评】本题考查列代数式，能用两种不同的方法表示出图形的面积是解题的关键．16．如图，将△ABC沿着DE折叠，点A的对应点为A′．已知∠A＝34°，当A′D∥AC时，∠AED的度数为 　73°　．​【分析】由折叠可得∠A'＝34°，∠AED＝∠A'ED，再由平行线的性质可得∠A'EC＝∠A'，利用补角的定义可求得∠AEA'的度数，即可求∠AED的度数．解：由折叠可得：∠A'＝∠A＝34°，∠AED＝∠A'ED，∵A′D∥AC，∴∠A'EC＝∠A'＝34°，∴∠AEA'＝180°﹣∠A'EC＝146°，∴∠AED＝∠AEA'＝73°．故答案为：73°．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．17．已知a2+a﹣3＝0，那么a2（a+4）的值是　9　．【分析】根据已知求出a2＝3﹣a，a2+a＝3，再整体代入求出即可．解：∵a2+a﹣3＝0，∴a2＝3﹣a，a2+a＝3，∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝12﹣a﹣a2＝12﹣3＝9故答案为：9．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确代入是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中．18．如图，点C在直线l外，点A、B在直线l上，点D、E分别是AB，BC的中点，AE、CD相交于点F．已知AB＝6，四边形BEFD的面积为6，则AC的最小值为 　6　．【分析】连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中线性质只需求出S△ABC＝18，进而求出CH＝6，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解．解：如图，连接BF，过点C作CH⊥AB于点H，∵点D、E分别是AB、BC的中点，∴＝S△ADC＝S△BDC，S△AFD+S△BFD，S△CEF＝S△BEF，∴S△CEF+S四边形BDFE＝S△CEF+SACF，S△AFD+S△CEF＝S△BEF+S△BFD＝S四边形BDFE＝6，∴S四边形BDFE＝S△ACF＝6，∴S△ABC＝S△ACF+S四边形BDFE+S△AFD+S△CEF＝18，∴＝18，∴CH＝6，∵点到到直线的距离垂线段最短，∴AC≥CH＝6，∴AC的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（共8题，共64分）19．计算：（1）（﹣）﹣1+（3﹣π）0+（﹣3）2；（2）a2•a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2+a2．【分析】（1）先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算加减即可；（2）先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可．解：（1）（﹣）﹣1+（3﹣π）0+（﹣3）2＝﹣2+1+9＝8；（2）a2•a4﹣（﹣2a2）3﹣3a2+a2．＝a6﹣（﹣8a6）﹣3a2+a2＝a6+8a6﹣3a2+a2＝9a6﹣2a2．【点评】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．20．因式分解：（1）3ax2﹣6ax+3a．（2）9x2（a﹣b）+4y3（b﹣a）．【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；（2）提取公因式分解因式．解：（1）3ax2﹣6ax+3a＝3a（x2﹣2x+1）＝3a（x﹣1）2；（2）9x2（a﹣b）+4y3（b﹣a）＝9x2（a﹣b）﹣4y3（a﹣b）＝（a﹣b）（9x2﹣4y3）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．21．解下列二元一次方程组：（1）．（2）．【分析】（1）利用代入消元法即可求解；（2）利用加减消元法即可求解．解：（1），将①代入②得：3x﹣（x﹣5）＝8，解得：x＝，将x＝，代入①得：y＝﹣，∴方程组的解为；（2），由①×2+②得：13x＝13，解得：x＝1，将x＝1代入①得：3﹣2y＝1，解得：y＝1，∴方程组的解为．【点评】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法﹣加减消元法和代入消元法．22．先化简，再求值：（a+b）2﹣2a（a﹣b）+（a+2b）（a﹣2b），其中a＝﹣1，b＝4．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2+2ab+b2﹣2a2+2ab+a2﹣4b2＝4ab﹣3b2，当a＝﹣1，b＝4时，原式＝﹣16﹣48＝﹣64．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．已知：如图，∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，求证：∠M＝∠N．【分析】首先证明AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠ABE＝∠DEB，然后结合已知条件可得到∠MBE＝∠NEB，进而可判定BM∥EN，据此可得出结论．【解答】证明：∵∠ABE+∠CEB＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠DEB，即：∠1+∠MBE＝∠2+∠NEB，又∵∠1＝∠2，∴∠MBE＝∠NEB，∴BM∥EN，∴∠M＝∠N．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．24．已知：x+y＝5，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．求下列代数式的值．（1）xy；（2）x2+4xy+y2；（3）x2+xy+5y．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3的左边，再将x+y＝5的值代入计算即可求出xy值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（3）把x2+xy+5y化成x（+y）+5y，再两次代入x+y＝5的值，便可得最后结果．解：（1）∵（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．∴xy﹣2（x+y）+4＝﹣3∵x+y＝5，∴xy＝3； （2）∵x+y＝5，xy＝3，∴原式＝（x+y）2+2xy＝25+6＝31； （3）原式＝x（x+y）+5y，∵x+y＝5，∴原式＝5x+5y＝5（x+y）＝5×5＝25．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为x（向右为正，向左为负，平移|x|个单位），沿竖直方向平移的数量为y（向上为正，向下为负，平移|y|个单位），则把有序数对（x，y）叫做这一平移的“平移量”．如图，已知△ABC，点A按“平移量”（2，3）可平移到点B．（1）填空，点B可看作点C位“平移量”（ 　﹣2　，　2　）平移得到．（2）若将△ABC依次按“平移量”（﹣1，1）平移得到△A′B′C′，请在图中画出△A′B'C'．（3）将点A按“平移量“（a，b）平移得到点D（点D在直线BC上），使 S△ABD＝S△ABC写出此时的平移量（a，b）．（4）将点C按平移量”（a，b）平移得到点P，连接AP、BP，若△ABP的面积与△ABC的面积相等，写出a、b满足的关系式．【分析】（1）根据“平移量”（的定义判断即可；（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；（3）判断出点D的位置，可得结论；（4）取格点T，作直线CT，当点P在直线CT上时，满足条件．解：（1）点B可看作点C位“平移量”（﹣2，2）平移得到．故答案为：﹣2，2；（2）如图，△A′B′C′即为所求；（3）如图点D或D′即为所求，∴平移量（﹣1，6）或（5，0）；（4）取格点T，作直线CT，当点P在直线CT上时，满足条件，此时＝．当点P在AB的上方直线l上时，也满足条件，此时＝．【点评】本题考查作图﹣平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．已知：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当EF所在直线与线段AD，AB有交点时，交点分别为点M、点N．（1）当t＝15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是 　EF⊥AD　，∠ANM＝　60　°；（2）是否存在某个时刻t，使得EF∥AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．【分析】（1）先根据四边形的内角和为360°可得∠AMN＝90°，EF⊥AD，再由角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可得结论；（2）分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求t的值；（3）分四种情况分别画图，由四边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可得结论．解：（1）当t＝15时，则∠FCD＝75°，由题意可知，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∠ADC＝2∠B＝60°，∠NFC＝180°﹣∠EFC＝180°﹣45°＝135°，在四边形MFCD中，∠AMN＝360°﹣∠ADC﹣∠NFC﹣∠FCD＝90°，∴EF⊥AD．∴∠ANM＝90°﹣30°＝60°，故答案为：EF⊥AD，60；（2）存在，如图，当旋转角＜180°时，延长DC交EF于点H，∵EF∥AD，∴∠ADH+∠FHC＝180°，∴∠FHC＝120°，∴∠FCH＝180°﹣∠CHF﹣∠CFE＝15°，∴∠FCD＝165°，∴t＝＝11，当旋转角＞180°时，同理可求：t＝＝23，综上所述：t的值为23或11；（3）由（1）可知，∠AMN＝360°﹣∠ADC﹣∠NFC﹣∠FCD＝360°﹣60°﹣（90°+45°）﹣∠FCD＝165°﹣∠FCD，∴∠FCD＝165°﹣∠AMN，∠FCD即CE旋转的度数，在△AMN中，∠NAM＝30°，大小固定，①如图1，当∠NAM＝∠ANM＝30°时，∠AMN＝120°，∠FCD＝165°﹣120°＝45°，即此时CE旋转了45°；②如图2，当∠ANM＝∠AMN＝75°时，∠FCD＝165°﹣75°＝90°，即此时CE旋转了90°；③如图3，∠NAM＝∠AMN＝30°，此时E与M重合，∠ACE＝∠CEF＝45°，即此时CE旋转了315°；④如图4，∠AMN＝∠ANM＝75°，此时点E在BC上，即此时CE旋转了270°；综上，当CE旋转了45°或90°或270°或315°时，△AMN中有两个角相等．【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．