2022-2023学年江苏省常州外国语中学七年级（下）期中数学试卷（含解析)

2022-2023学年江苏省常州外国语中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列现象属于平移的是(    )

A. 下雨天雨刮刮车玻璃 B. 每天早上打开教室门
C. 每天早上打开教室窗户 D. 荡秋千

2.下列运算正确的(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.已知是关于、的二元一次方程的解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.已知正多边形的每个内角都等于，若用这种正多边形与下列正多边形不重叠无缝隙拼接，需与下列选项中哪个正多边形组合(    )

A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正三角形

7.如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯右图是自动扶梯的侧面示意图，自动扶梯上方的直线上有一点，连接，已知，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如，，即，均为“和谐数”在不超过的正整数中，所有的“和谐数“之和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.氢原子的半径约为，数据用科学记数法表示为______ ．

10.若成立，的取值范围是______ ．

11.等腰三角形两边长分别是和，则该三角形的周长为______．

12.已知，，则 ______ ．

13.若，满足方程组，则 ______ ．

14.计算 ______ ．

15.在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示，如图，由四个边长分别为、、的直角三角形和一个边长为的正方形拼成，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式：______ 结果为最简．

16.如图，将沿着折叠，点的对应点为已知，当时，的度数为______ ．

17.已知，那么的值是______．

18.如图，点在直线外，点、在直线上，点、分别是，的中点，、相交于点已知，四边形的面积为，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分
计算：
；
．

21.本小题分
因式分解：
．
．

22.本小题分
解下列二元一次方程组：
．
．

23.本小题分

已知：如图，，，求证：．

24.本小题分
已知：，求下列代数式的的值．
；
；
．

25.本小题分

如图，图形在方格小正方形的边长为个单位上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为向右为正，向左为负，平移个单位，沿竖直方向平移的数量为向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对叫做这一平移的“平移量”如图，已知，点按“平移量”可平移到点．
填空，点可看作点位“平移量”______ ，______ 平移得到．
若将依次按“平移量”平移得到，请在图中画出．
将点按“平移量“平移得到点点在直线上，使写出此时的平移量．
将点按平移量”平移得到点，连接、，若的面积与的面积相等，写出、满足的关系式．

26.本小题分
已知：如图，在中，，，是角平分线，点、分别在边、上，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点、点．
当时，如图，此时直线与的位置关系是______ ， ______ ；
是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
试探究：在旋转过程中，当为何值时，中有两个角相等，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：下雨天雨刮刮车玻璃是旋转现象，故不符合题意；
B.每天早上打开教室门是旋转现象，故不符合题意；
C.每天早上打开教室窗户是平移现象，符合题意；
D.荡秋千是旋转现象，故不符合题意．
故选：．
根据平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置解答即可．
此题考查了平移的定义，熟练掌握平移不改变图形的形状和大小，只改变位置是解答本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

3.【答案】 

【解析】解：、，是把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
B、，等式的右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、，等式的右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．

4.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故选：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：作的高，下列作法正确的是．
故选：．
根据三角形高的定义对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．

6.【答案】 

【解析】解：正四边形的每个内角为，
不能用整数个和构成的角，
则不符合题意；
B.正六边形的每个内角为，
不能用整数个和构成的角，
则不符合题意；
C.正八边形的每个内角为，
不能用整数个和构成的角，
则不符合题意；
D.正三角形的每个内角为，
，
则符合题意；
故选：．
分别求得各正多边形中每个内角的度数，然后结合已知条件，判断能否存在整数个两种正多边形的内角之和为即可．
本题考查正多边形的性质，由题意将题目转化成是否存在整数个两种角度之和为是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：如图，直线交于点，

，
，，
，，
，，
，
故选：．
设直线交于点，根据平行线的性质得出，，根据角的和差即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：设两个连续的奇数分别为：，，
，
任意一个“和谐数”的倍数，
又，
在不超过的整数中，最大一个“和谐数”为：，
在不超过的整数中，“和谐数”分别为：，，，，，，
又，，，，，，



．
故选：．
首先设两个连续的奇数分别为：，，计算，再计算：，从而可得出不超过的整数中，最大一个“和谐数”为：，而，据此可计算出在不超过的正整数中，所有的“和谐数“之和．
此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出在不超过的正整数中最大的“和谐数”是．

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

10.【答案】 

【解析】解：成立，
，
，
故答案为：．
根据零指数幂：可得，再解即可．
此题主要考查了零指数幂，关键是掌握．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【解答】解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是和，
所以其另一边只能是，
故其周长为．
故答案为．

12.【答案】 

【解析】解：当，时，



．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

13.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
．
故答案为：．
解方程组，可用含的代数式表示出，的值，再将其相加后，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，通过解二元一次方程组，用含的代数式表示出，的值是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：




，
故答案为：．
先将所求式子变形，然后根据平方差公式计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：因为图中是一个边长为的正方形，
所以它的面积为．
又该图形可看成一个边长为的正方形和四个直角三角形拼接而成，
所以它的面积为．
因此可得到：，
整理得．
故答案为：．
这个图形是一个边长为的正方形，且这个图形可以看成边长为的正方形与个直角三角形的面积之和，据此可解决问题．
本题考查列代数式，能用两种不同的方法表示出图形的面积是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：由折叠可得：，，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠可得，，再由平行线的性质可得，利用补角的定义可求得的度数，即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．

17.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，
，
所以




故答案为：．
根据已知求出，，再整体代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确代入是解此题的关键，用了整体代入思想，难度适中．

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

点、分别是、的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
点到到直线的距离垂线段最短，
，
的最小值为．
故答案为：．
连接，过点作于点，根据三角形中线性质只需求出，进而求出，即可利用点到到直线的距离垂线段最短求解．
本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质、点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．

19.【答案】解：原式，
当，时，原式． 

【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20.【答案】解：

；
．


． 

【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算加减即可；
先算同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

21.【答案】解：

；


 

【解析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
提取公因式分解因式．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．

22.【答案】解：，
将代入得：，
解得：，
将，代入得：，
方程组的解为；
，
由得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
方程组的解为． 

【解析】利用代入消元法即可求解；
利用加减消元法即可求解．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法加减消元法和代入消元法．

23.【答案】证明：，
，
，
即：，
又，
，
，
． 

【解析】首先证明，再根据平行线的性质得出，然后结合已知条件可得到，进而可判定，据此可得出结论．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．

24.【答案】解：．

，
；

，，
原式；

原式，
，
原式． 

【解析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，的左边，再将的值代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；
把化成，再两次代入的值，便可得最后结果．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

25.【答案】   

【解析】解：点可看作点位“平移量”平移得到．
故答案为：，；
如图，即为所求；

如图点或即为所求，
平移量或；

取格点，作直线，当点在直线上时，满足条件，此时．
当点在的上方直线上时，也满足条件，此时．
根据“平移量”的定义判断即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
判断出点的位置，可得结论；
取格点，作直线，当点在直线上时，满足条件．
本题考查作图平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

26.【答案】   

【解析】解：当时，则，
由题意可知，，，，
在四边形中，，
．
，
故答案为：，；
存在，如图，当旋转角时，
延长交于点，

，
，
，
，
，
，
当旋转角时，
同理可求：，
综上所述：的值为或；
由可知，，
，
即旋转的度数，
在中，，大小固定，
如图，当时，，，即此时旋转了；

如图，当时，，即此时旋转了；

如图，，此时与重合，，即此时旋转了；

如图，，此时点在上，即此时旋转了；

综上，当旋转了或或或时，中有两个角相等．
先根据四边形的内角和为可得，，再由角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余可得结论；
分两种情况讨论，先求出旋转角，即可求的值；
分四种情况分别画图，由四边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．