广东省2023届高三上学期开学联考数学试卷

这是一份广东省2023届高三上学期开学联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 广东省2023届高三上学期数学开学联考试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数满足，则的虚部为（　　）A．1 B．-1 C． D．2．集合，，则（　　）A． B． C． D．3．在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（　　）A． B．C． D．4．如图所示的三棱锥中，面，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）A． B．27π C．54π D．108π5．把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（　　）A． B．C． D．6．在0至5这6个数字中任选3个不同的数，组成一个三位数，若从这些三位数中任取一个，则该数为三位偶数的概率是（　　）A． B． C． D．7．已知，数列满足，且对一切，有，则（　　）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列8．设，，，则（　　）A． B． C． D．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知，，则（　　）A．B．曲线在处的切线斜率为1C．在上单调递增D．的最小值为10．已知椭圆：，、是椭圆的两个焦点，、是椭圆上两点，且、分别在轴两侧，则（　　）A．若直线经过原点，则四边形为矩形B．四边形的周长为20C．的面积的最大值为12D．若直线经过，则到直线的最大距离为811．直六棱柱中，底面是边长为2的正六边形，侧棱，点是底面的中心，则（　　）A．平面B．与所成角的余弦值为C．平面D．与平面所成角的正弦值为12．已知直线，曲线，曲线关于直线对称的曲线所对应的函数为，则以下说法正确的是（　　）A．不论为何值，直线恒过定点；B．；C．若直线与曲线相切，则；D．若直线上有两个关于直线对称的点在曲线上，则.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的常数项为　     　．14．过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为　        　．15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为　     　．16．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为　             　．四、解答题（共6题，共70分）17．已知数列的前项和为，，且，．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．18．已知锐角中，角、、所对边为、、，且．（1）求角；（2）若，求的取值范围．19．如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．（1）求证：平面平面；（2）若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）．采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．（1）设甲以3：1获胜的概率为，求的最大值；（2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望．21．已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、．（1）求抛物线的方程；（2）设直线、、的斜率分别为、、，求证：．22．已知函数，．（1）当时，比较与2的大小；（2）求证：，．
答案解析部分1．【答案】A【知识点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由，得，从而，所以的虚部为1．故答案为：A
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，即可求解出答案.2．【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】【解答】因为，，所以． 故答案为：D
【分析】求出集合A、B，利用交集定义能求出A∩B.3．【答案】A【知识点】平面向量的线性运算【解析】【解答】解：因为在平行四边形中，点、分别满足，， 所以，，所以．故答案为：A
【分析】 由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解出答案.4．【答案】B【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以为外接球的直径，则可得，即，所以外接球的表面积为．故答案为：B．
【分析】将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，PC为外接球的直径，利用球的表面积公式求解出该三棱锥的外接球的表面积 .5．【答案】C【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】把函数的图像上所有的点向左平行移动个单位长度， 所得图像所表示的函数是，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是．故答案为：C．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出答案.6．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】在0至5这6个数字中任选3个不同的数，共可组成个三位数，其中共有个偶数，由古典概型概率计算公式有．故答案为：B．
【分析】 求出在0至5这6个数字中任选3个不同的数的个数，求解偶数个数，然后利用古典概型概率计算公式，求解出该数为三位偶数的概率 .7．【答案】D【知识点】对数的性质与运算法则【解析】【解答】由题意知，所以，所以，，所以是等比数列，且， 所以，A，B，C不符合题意，D符合题意.故答案为：D．
【分析】 由已知条件可得，再利用等比数列的定义，即可求解出答案.8．【答案】A【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】设，， 因为，令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，而，，，因为，所以．故答案为：A．
【分析】先利用对数函数的运算法则变形a，b，c，再构造函数，并判断单调性，进而可得答案.9．【答案】B,C,D【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：A：因为，所以，故不正确； B：曲线在处的切线斜率为，故正确；C：令，解得，所以的单调增区间为，所以在上单调递增，故正确；D：因为在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，故正确．故答案为：BCD．
【分析】 ，求出，逐项进行判断，即可得出答案.10．【答案】B,C【知识点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：A：若直线经过原点，易知四边形为平行四边形，因为不一定与相等，所以不一定是矩形，故不正确；B：四边形的周长为，故正确；C：的面积的最大值为，故正确；D：若直线MN经过，则到直线的最大距离为，故不正确．故答案为：BC．
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性，焦点三角形的性质，逐项进行判断，即可得答案.11．【答案】A,B,D【知识点】棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；余弦定理【解析】【解答】对于A：记，连接，易得，从而//平面，A符合题意；对于B：因为，所以与BC所成角即为（或其补角），易得，，，由余弦定理，得，B符合题意；对于C：因为，所以BO不与AO垂直，所以BO不与平面垂直，C不正确；对于D：取中点H，连接、FH，易证面，所以是与平面所成的角，在中，，，，所以，D符合题意．故答案为：ABD．
【分析】 利用线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角的求法，判断B；根据线面垂直定义，举反例，可判断C；根据线面角的求解判断D.12．【答案】A,C,D【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】选项：直线中，令，得，与a无关，故正确；B：设是曲线上任意一点，M关于直线的对称点为，则，所以，即，则，从而，故不正确；C：由，得，设切点为，则切线斜率，所以，从而，故正确；D：直线上有两个关于直线对称的点在曲线上，等价于直线与曲线有两个不同的交点．方程，即有两个解，设函数，，，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，又当趋近于正无穷时，趋近于，当趋近于时，趋近于负无穷，所以，故正确．故答案为：ACD．
【分析】利用直线系方程判断A；求出曲线关于直线的对称曲线的方程判断B；设切点，求得过求得的切线方程，由斜率与斜率相等，截距与截距相等列式求a判断C；问题转化为利用导数求最值，进一步求得a的范围判断D.13．【答案】1120【知识点】二项式定理【解析】【解答】因为的展开式的通项为：，令，得，所以的展开式的常数项为．故答案为：1120.
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项.14．【答案】x+y-2=0【知识点】斜率的计算公式【解析】【解答】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为x+y-2=0.故答案为：x+y-2=0
【分析】 求出以P (2， 2)， C (0， 0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减，即可求解出直线的方程 .15．【答案】【知识点】基本不等式【解析】【解答】被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为8，公差为的等差数列，所以，，从而，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故答案为：.
【分析】 利用公式法可得an，Sn，利用基本不等式即可求出 的最小值 .16．【答案】【知识点】轨迹方程【解析】【解答】延长，交于，因为，， ，所以，所以，所以，因为M是双曲线C右支上一点，所以，又因为P是的中点，O是的中点，所以，所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，所以点P的轨迹方程为．故答案为：.
【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点P的轨迹方程.17．【答案】（1）证明：因为，，所以，且，两式相减，得，所以，所以，即（且），所以数列是等差数列．（2）解：因为，，所以，由（1）知数列是等差数列，公差为，所以，所以，，所以当时，，当时，等式也成立，所以，．【知识点】数列的求和；数列的递推公式【解析】【分析】(1)由 ，，可得n≥2且n∈N*时， ， 相减化为 ，两边同时除以2n+1得 ，进而化为 ，即可证明出数列是等差数列；
(2)由 ，， 可得 ，由（1）知数列是等差数列，利用通项公式可得bn，由条件式 ，可得数列的前项和．18．【答案】（1）解：因为，所以，所以，从而，即，所以，因为，所以．（2）解：因为，，由正弦定理，有所以，，所以，又因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，从而的取值范围为．【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理【解析】【分析】 (1)等式整理，由两角和的正切公式整理可得tanA的值，再由A的范围，求出A的值；
(2)由(1)及余弦定理，均值不等式可得 的范围，再由三角形中，两边之和大于第三边，可得 的取值范围．19．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，因为是等边三角形，D是AB的中点，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，平面平面．（2）解：取中点，连接、，记，则是中点，连接，则平面平面，因为平面，平面，所以，因为是中点，所以是中点．所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以，即，令，得，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角【解析】【分析】(1)根据题意证明 平面， 即可证明出平面平面；
(2) 取中点，连接、，记，则是中点，连接， 进而得 是中点 ，故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量， 利用坐标法求解出平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20．【答案】（1）解：甲以3：1获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，所以，，，令，得；令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值为．（2）解：由（1）知，由题意，知X的所有可能取值为3、4、5，相应的概率为，，，所以X的分布列为X345PX的数学期望.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】(1)根据题意，求得f(p)，再判断单调性，求其最值，即可求出 的最大值；
(2)求得X的所有可能的取值，再求概率及分布列，即可求出 的分布列和数学期望．21．【答案】（1）解：由题意，知，所以，所以拋物线C的方程为．（2）证明：因为直线过抛物线C的焦点，由题意知，直线斜率不为0，所以设的方程为，设，，联立，消去得，即，所以，，所以，因为，，所以，所以．【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意可得 ，解得p，即可求出抛物线的方程；
(2) 设的方程为， ， ，联立直线AB与抛物线的方程，结合韦达定理可得 ， ，再计算 与 ， 即可证得 ．22．【答案】（1）解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，（2）证明：由（1）知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，．【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)当k= 4时， ，，求导分析单调性，又f(1)=0，分析f(x)的符号，即可得出 与2的大小；
(2)由(1)得，当x>1时， ， 令，，则有，由n放缩法，即可证出结论.