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2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.2　古典概型与几何概型

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这是一份2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.2　古典概型与几何概型，共6页。试卷主要包含了理解古典概型及其概率计算公式，几何概型，若在阳马P－ABCD，635，879等内容，欢迎下载使用。

§12.2　古典概型与几何概型

考试要求　1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义．

知识梳理

1．古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有________个；

②等可能性：每个基本事件出现的__________相等．

(2)古典概型的概率计算的基本步骤：

①判断本次试验的结果是否是____________，设出所求的事件为A；

②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m；

③利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．

(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

名称	不同点	相同点
频率计算公式	频率计算中的m，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值	都计算了一个比值
古典概型的概率计算公式	是一个定值，对同一个随机事件而言，m，n都不会变化	都计算了一个比值

2.几何概型

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

(2)几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等．

(3)计算公式：P(A)＝______________________________________________________________.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(　　)

(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(　　)

(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)

(4)两个互斥事件的概率和为1.(　　)

教材改编题

1．袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为(　　)

A. B. C. D.

2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点表示的数小于1的概率为(　　)

A. B. C. D．1

3．现有7名成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从数学、物理、化学成绩优秀的人中各选1人，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1中有且仅有1人被选中的概率为________．

题型一　古典概型

例1 (1)(2023·银川模拟)在2,3,5,7这四个数中任取三个数，将其组成无重复数字的三位数，则这个数是奇数的概率为(　　)

A. B. C. D.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是(　　)

A. B. C. D.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

跟踪训练1 (1)(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)

A. B.

C. D.

(2)(2022·成都质检)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为 ________.

题型二　古典概型与统计的综合问题

例2 北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．

(1)完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为讲座活动是否满意与性别有关？

	满意	不满意	总计
男生
女生
总计			120

(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样的方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．

参考数据：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

________________________________________________________________________

思维升华求解古典概型的综合问题的步骤

(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；

(2)判断事件是否为古典概型；

(3)选用合适的方法确定基本事件个数；

(4)代入古典概型的概率公式求解．

跟踪训练2 从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．

(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)

(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．

________________________________________________________________________

题型三　几何概型

例3　(1)勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为(　　)

A. B.

C. D.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

(2)在区间[－1,1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　)

A. B. C. D.

听课记录：_______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

思维升华 (1)求解几何概型概率的步骤

(2)与体积有关的几何概型的解题策略

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．

跟踪训练3　(1)(2021·全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为(　　)

A. B. C. D.

(2)阳马是中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，且两个三角形侧面与底面垂直的四棱锥．在阳马P－ABCD中，PC为阳马P－ABCD中最长的棱，AB＝1，AD＝2，PC＝3.若在阳马P－ABCD

的外接球内部随机取一点，则该点位于阳马内的概率为(　　)

A. B. C. D.