北京市海淀区八一学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份北京市海淀区八一学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北京市海淀区八一学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）一元二次方程5x2﹣3x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．5，3.1 B．5，﹣3，1 C．2，﹣3，1 D．5，1，﹣3
2．（2分）“校园楼道中的数学文化”，下面是我们教室外楼道中的带有几何图案的几幅图片，其中可看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+1向下平移3个单位长度得到的抛物线为（　　）
A．y＝2（x+3）+1 B．y＝2（x﹣3）+1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2﹣2
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
5．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣6）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣6）2＝4
6．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（　　）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
二、填空题：（每题2分，共16分）
9．（2分）如果点A（6，﹣1）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　 　．
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣1上，则y1　 　y2（填“＞”，”＝”或“＜”）．
11．（2分）若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a＝　 　．
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴没有交点，则k的取值范围是 　 　．
13．（2分）若关于x的方程ax2+2bx+1＝0有两个相等的实数根，请写出一组符合条件的a和b的值：a＝　 　，b＝　 　．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 　 　，CE的长为 　 　．

15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
−3
−4
−3
0
5
…
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 　 　．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 　 　．

三、解答题：（共68分：17题7分；18-21题、23题-24题每题5分；22题、25题-27题每题6分，28题7分）
17．（7分）解方程：
（1）12x2-2=0；
（2）x2﹣7x+6＝0．
18．（5分）若a是关于x的一元二次方程x2＝3x+4的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
19．（5分）如图，△OAB的三个顶点都在格点上，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°到△OA'B'．
（1）画出△OA′B′；
（2）连接AA′，若每个小正方形的边长为1，求线段AA′的长度．

20．（5分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x　 　时，函数y随x的增大而减小．
21．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该二次函数图象的对称轴为：　 　，顶点坐标为 　 　；
（3）在坐标系中画出它的图象；
（4）结合图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 　 　．

23．（5分）在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，O连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60℃得到AP'，连接PP′，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，求∠P′BP的度数．

24．（5分）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某中学一名运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度y/m
0
0.75
0.9375
1
0.9375
0.75
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为d1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为d2，则d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜）．

25．（6分）探究活动：
利用函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=(x-1)(x-2)的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=(x-1)(x-2)的自变量x的取值范围是　 　；
（2）如图2，他列表描点画出了函数y=(x-1)(x-2)图象的一部分，请补全函数图象；
解决问题：
设方程(x-1)(x-2)-14x﹣b＝0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=14x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜2，则x1、x2、x3、x4的大小关系为　 　（用“＜”连接）．

26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+3a的对称轴为直线x＝n．
（1）若抛物线经过点（1，0），求a和n的值；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，m）和B（x2，m+1），x1＝n．
①判断抛物线的开口方向；并说明理由；
②若|x2﹣x1|≤1，求a的取值范围．
27．（6分）已知：如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，将线段AE绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接EF．
（1）补全图形：求证：∠FAD＝∠AED．
（2）以EF的中点G，连接DG、AC，猜想DG与AC的位置关系，并证明．

28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≥M，那么称这个函数为边界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数：y＝（x﹣1）2+2是边界函数，其边界值是2．
​
（1）函数①y＝﹣x2+2x+1和②y＝x﹣1（x≥1）中是边界函数的为 　 　（只填序号即可），其边界值为 　 　；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是a，且这个函数的最大值超过2b﹣5，求b的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以﹣1为边界值的边界函数，直接写出实数a的值．

2023-2024学年北京市海淀区八一学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
（参考答案）
一、选择题：（每题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）一元二次方程5x2﹣3x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．5，3.1 B．5，﹣3，1 C．2，﹣3，1 D．5，1，﹣3
【答案】B
【解答】解：一元二次方程5π2﹣3x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，﹣3，1．
故选：B．
2．（2分）“校园楼道中的数学文化”，下面是我们教室外楼道中的带有几何图案的几幅图片，其中可看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+1向下平移3个单位长度得到的抛物线为（　　）
A．y＝2（x+3）+1 B．y＝2（x﹣3）+1 C．y＝2x2﹣3 D．y＝2x2﹣2
【答案】D
【解答】解：抛物线y＝2x2+1向下平移3个单位长度得到的抛物线为y＝2x2+1﹣3，即y＝2x2﹣2．
故选：D．
4．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【答案】D
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
5．（2分）将一元二次方程x2﹣6x+5＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（　　）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣6）2＝1 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣6）2＝4
【答案】C
【解答】解：移项得x2﹣6x＝﹣5，
配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4．
故选：C．
6．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB=12×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
7．（2分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2经过平移得到抛物线y=12x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解答】解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y=12x2-2x=12（x2﹣4x）=12（x2﹣4x+4）﹣2=12（x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，
故选：B．

8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移，与x轴交于（c，0），（d，0）两点，其中c＜d，下面结论正确的是（　　）
A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
B．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣c
C．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣c
D．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c
【答案】A
【解答】解：当m＞0时，如图所示：

∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＞d﹣c；
当m＜0时，如图所示：

∵抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴a+b＝c+d＝6，且b﹣a＜d﹣c．
故选：A．
二、填空题：（每题2分，共16分）
9．（2分）如果点A（6，﹣1）与点B关于原点对称，那么点B的坐标是 　（﹣6，1）　．
【答案】（﹣6，1）．
【解答】解：∵点A（6，﹣1）与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣6，1），
故答案为：（﹣6，1）．
10．（2分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2）在抛物线y＝x2﹣1上，则y1　＜　y2（填“＞”，”＝”或“＜”）．
【答案】＜．
【解答】解：将x＝﹣1代入y＝x2﹣1得，
y1=(-1)2-1=0，
将x＝3代入y＝x2﹣1得，
y2=32-1=8，
显然0＜8，
即y1＜y2．
故答案为：＜．
11．（2分）若x＝2是一元二次方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a＝　﹣1　．
【答案】﹣1．
【解答】解：由题意，将x＝2代入一元二次方程x2+ax＝2＝0得，
4+2a﹣2＝0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（2分）若二次函数y＝kx2+2x+1的图象与x轴没有交点，则k的取值范围是 　k＞1　．
【答案】k＞1．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4k＜0且k≠0，
∴k＞1且k≠0．∴k＞1．
故答案为：k＞1．．
13．（2分）若关于x的方程ax2+2bx+1＝0有两个相等的实数根，请写出一组符合条件的a和b的值：a＝　1　，b＝　1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4a＝0，
即b2＝a，
令b＝1，a＝1．
故答案为1，1．
14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为 　45°　，CE的长为 　10　．

【答案】45°，10．
【解答】解：如图，连接CE，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝45°，
∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，
∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，
∴BE＝1，
∴CE=BE2+CB2=1+9=10，
故答案为：45°，10．
15．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
−3
−4
−3
0
5
…
直接写出该二次函数的图象与x轴的交点坐标 　（﹣1，0），（3，0）　．
【答案】（﹣1，0），（3，0）．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
故答案为：（﹣1，0），（3，0）．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 　①②　．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是①②，
故答案为①②．
三、解答题：（共68分：17题7分；18-21题、23题-24题每题5分；22题、25题-27题每题6分，28题7分）
17．（7分）解方程：
（1）12x2-2=0；
（2）x2﹣7x+6＝0．
【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x1＝1，x2＝6．
【解答】解：（1）12x2-2=0，
12x2＝2，
x2＝4，
x＝±4=±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）x2﹣7x+6＝0，
（x﹣1）（x﹣6）＝0，
x﹣1＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝1，x2＝6．
18．（5分）若a是关于x的一元二次方程x2＝3x+4的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
【答案】（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝﹣9．
【解答】解：根据题意知，a2＝3a+4，
所以a2﹣3a＝4，
则：（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3
＝a2﹣3a﹣13
＝3a+4﹣3a﹣13
＝4﹣13
＝﹣9．
19．（5分）如图，△OAB的三个顶点都在格点上，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°到△OA'B'．
（1）画出△OA′B′；
（2）连接AA′，若每个小正方形的边长为1，求线段AA′的长度．

【答案】（1）见解析；
（2）210．
【解答】解：（1）如图所示，△OA′B′即为所求；
（2）AA'=62+22=210．

20．（5分）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当x　＞0　时，函数y随x的增大而减小．
【答案】（1）y＝﹣2x2﹣1；
（2）＞0．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过（0，﹣1），（1，﹣3）两点，
∴c=-1-2+b+c=-3，
解得b=0c=-1，
∴二次函数的表达式为y＝﹣2x2﹣1；

（2）∵a＝﹣2＜0，对称轴是y轴，
∴x＞0时，y随x的增大而减小，
故答案为：＞0．
21．（5分）已知关于x的方程3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0（a＞0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：Δ＝（a﹣3）2﹣4×3×（﹣a）＝（a+3）2．
∵a＞0，
∴（a+3）2＞0．即Δ＞0．
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：3x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0，
（3x﹣a）（x+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2=a3．
∵方程有一个根大于2，
∴a3＞2．
∴a＞6．
22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）该二次函数图象的对称轴为：　x＝1　，顶点坐标为 　（1，﹣4）　；
（3）在坐标系中画出它的图象；
（4）结合图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是 　﹣4≤y≤5　．

【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）x＝1；（1，﹣4）；（3）作图见解析；（4）﹣4≤y≤5．
【解答】解：（1）由题意得，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即y＝（x﹣1）2﹣4．
（2）由题意，∵抛物线为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：x＝1；（1，﹣4）．
（3）由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），与y轴的交点为（0，﹣3），与x轴的交点为（3，0）、（﹣1，0）．
作图如下：
（4）由（3）图象，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，y取最小值为﹣4；
又0≤x≤4，当x＝0时，y＝﹣3；当x＝4时，y＝5，
∴当0≤x≤4时，﹣4≤y≤5．
故答案为：﹣4≤y≤5．
23．（5分）在等边△ABC中，点P为△ABC内一点，O连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60℃得到AP'，连接PP′，BP'．
（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC＝120°时，求∠P′BP的度数．

【答案】（1）BP′＝CP；（2）∠PBP′＝60°．
【解答】解：（1）BP′＝CP，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠PAP′＝60°，
∴∠PAP′＝∠BAC，
∴∠BAP′＝∠CAP，
∵AP＝AP′，
∴△BAP′≌△CAP（SAS），
∴BP′＝CP；
（2）如图，延长CP，交BP′得延长线于Q，设AB与PQ交于O，
∴∠BPQ＝180°﹣∠BPC＝60°，
由（1）得：△BAP′≌△CAP，
∴∠ACP＝∠ABP′，
∵∠AOC＝∠BOQ，
∴∠Q＝∠BAC＝60°，
∴∠PBP′＝180°﹣∠Q﹣∠BPQ＝60°．

24．（5分）“急行跳远”是田径运动项目之一，运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某中学一名运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
1
1.5
2
2.5
3
竖直高度y/m
0
0.75
0.9375
1
0.9375
0.75
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足条件的函数关系式；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为d1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜）．

【答案】（1）y=-14（x﹣2）2+1；
（2）＜．
【解答】解：（1）由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（2，1），
∴y＝a（x﹣2）2+1，
即该运动员竖直高度的最大值为1m，
当x＝0时，y＝0，代入y＝a（x﹣2）2+1得：
0＝a（0﹣2）2+1，
解得：a=-14，
∴函数解析式为：y=-14（x﹣2）2+1；
（2）令y＝0，得：
第一次训练时：
-14（x﹣2）2+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴d1＝4；
第二次训练时：
﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21＝0，
解得：x1＝0，x2＝4.4，
∴d2＝4.4；
∵4＜4.4，
∴d1＜d2；
故答案为：＜．
25．（6分）探究活动：
利用函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y=(x-1)(x-2)的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=(x-1)(x-2)的自变量x的取值范围是　x≤1或x≥2　；
（2）如图2，他列表描点画出了函数y=(x-1)(x-2)图象的一部分，请补全函数图象；
解决问题：
设方程(x-1)(x-2)-14x﹣b＝0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2=14x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜2，则x1、x2、x3、x4的大小关系为　x1＜x3＜x4＜x2　（用“＜”连接）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣2）≥0，
∴x≤1或x≥2；
（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，
补全后的函数图象如图所示：

（3）方程(x-1)(x-2)-14x﹣b＝0等价于方程(x-1)(x-2)=14x+b，
方程的两根x1、x2相当于函数y=(x-1)(x-2)与函数y=14x+b图象的两个交点的横坐标，
方程x2﹣3x+2=14x+b的两根为x3、x4，相当于函数y＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）与函数y=14x+b图象的两个交点的横坐标，
又∵1＜b＜2，
所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：

故x1＜x3＜x4＜x2．
26．（6分）平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4x+3a的对称轴为直线x＝n．
（1）若抛物线经过点（1，0），求a和n的值；
（2）若抛物线上存在两点A（x1，m）和B（x2，m+1），x1＝n．
①判断抛物线的开口方向；并说明理由；
②若|x2﹣x1|≤1，求a的取值范围．
【答案】（1）a＝1，n＝2；
（2）①抛物线的开口向上，理由见解析；
②a≥1．
【解答】解：（1）将点（1，0）代入y＝ax2﹣4x+3a得，
a﹣4+3a＝0，解得a＝1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴对称轴为直线x＝2，
∴n＝2；
（2）①抛物线的开口向上，理由如下：
∵x1＝n，抛物线的对称轴为直线x＝n，
∴A（n，m）是抛物线的顶点，
∵B（x2，m+1），且m+1＞m，
∴点B在点A的上方，
∴抛物线的开口向上；
②设|x2﹣x1|＝1，
∵x1＝n，
∴x2＝n+1或x2＝n﹣1，
将抛物线平移，使A（n，m）落在坐标原点，
∴平移后的抛物线为y＝ax2，
∴A（0，0），点B的坐标为（1，1）或（﹣1，1），
将点B的坐标代入y＝ax2，得a＝1，
∵|x2﹣x1|≤1，

由二次函数的图象得a的取值范围为a≥1．
27．（6分）已知：如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，将线段AE绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接EF．
（1）补全图形：求证：∠FAD＝∠AED．
（2）以EF的中点G，连接DG、AC，猜想DG与AC的位置关系，并证明．

【答案】（1）证明见解析；
（2）DG∥AC，证明见解析．
【解答】解：（1）补全图形如图所示：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵将线段AE绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF﹣∠DAE＝∠BAD﹣∠DAE，
即∠FAD＝∠BAE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴∠FAD＝∠AED．
（2）DG∥AC，
证明：∵将线段AE绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝45°，
∵点G是EF的中点，
∴AG⊥EF，
∴∠AGE＝∠ADC＝90°，
取AE的中点O，连接OG，OD，
∴AO＝OG＝OD＝OE，
∴点A，E，D，C在以AE为直径的同一个圆上，
∴∠ADG＝∠AEF＝45°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠ADG，
∴DG∥AC．

28．（7分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≥M，那么称这个函数为边界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数：y＝（x﹣1）2+2是边界函数，其边界值是2．
​
（1）函数①y＝﹣x2+2x+1和②y＝x﹣1（x≥1）中是边界函数的为 　②　（只填序号即可），其边界值为 　0　；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是a，且这个函数的最大值超过2b﹣5，求b的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以﹣1为边界值的边界函数，直接写出实数a的值．
【答案】（1）②，0；
（2）1＜b＜5；
（3）3．
【解答】解：（1）①y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2≤2，
∴①是不是边界函数．
②y＝x﹣1（x≥1），
∴x﹣1≥0．
∴y≥0．
∴②是边界函数，边界值为0．
故答案为：②，0；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵边界值是a，
∴﹣b+2＝a，
∵函数的最大值超过2b﹣5，
∴﹣a+2＞2b﹣5，
∴b﹣2+2＞2b﹣5，
解得b＜5，
∵b＞a，
∴b＞﹣b+2，
∴b＞1，
∴b的取值范围为：1＜b＜5；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最小值为1﹣2a+2＝﹣1，
∴a＝2＞1（舍去）；
当a≥5时，y的最小值为25﹣10a+2＝﹣1，
解得a＝2.8＜5（舍去）；
当1＜a＜5时，y的最小值为2﹣a2＝﹣1，
解得a=3或a=-3（舍去）．
综上所述：a的值为3．