2024年数学高考大一轮复习第二章 §2.4　函数的对称性（附答单独案解析）

§2.4　函数的对称性

考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．

知识梳理

1．奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数关于____________对称，偶函数关于________对称．

(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为________；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为________________．

2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；

若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称．

3．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于________对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于________对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　　)

(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　)

(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　)

教材改编题

1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)

A．(0,0)   B．(0,1)

C．(1,0)   D．(1,1)

2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．

3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.

题型一　轴对称问题

例1 (1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)

A．－2  B．2  C．0  D．－4

听课记录：___________________________________________________________________

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(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________．

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思维升华 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；

若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．

跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)

A．f(－1)<f(1)<f(2)

B．f(1)<f(2)<f(－1)

C．f(2)<f(－1)<f(1)

D．f(－1)<f(2)<f(1)

(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(x－2)＝f(－x)，且当x≥－1时，f(x)＝log2(x＋2)，则函数f(x)在[－4，－2]上的最大值与最小值之和为________．

题型二　中心对称问题

例2 (1)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法不正确的是(　　)

A．f(x)＝f(－x)

B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0

C．f(3)＝f(5)

D．f(x＋2)＝f(x－2)

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(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋f(x＋2)＝0，若函数y＝f(x)－有6个零点，则6个零点的和为________．

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跟踪训练2 (1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　)

A．点(－2,0)对称   B．直线x＝－2对称

C．点(2,0)对称   D．直线x＝2对称

(2)(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

题型三　两个函数图象的对称

例3 已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)

A．关于直线x＝1对称

B．关于直线x＝3对称

C．关于直线y＝3对称

D．关于点(3,0)对称

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思维升华 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．

跟踪训练3 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　)

A．关于y轴对称

B．关于x轴对称

C．关于直线x＝1对称

D．关于直线y＝1对称