2023年安徽省淮南市谢家集区等三地中考数学一模试卷（含解析）

2023年安徽省淮南市谢家集区等三地中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列实数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图所示，有一条直的等宽纸带，按图折叠时形成一个的角，则重叠部分的等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图是棱长为的正方体截去棱长为的正方体得到的几何体，这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.某种花粉的直径是毫米，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列一元二次方程中，没有实数根的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校名学生参赛成绩如图所示，对于这名学生的参赛成绩，下列说法错误的是(    )

A. 众数是分 B. 方差是 C. 平均数是分 D. 中位数是分

8.在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图，的内接四边形，是的直径，过点的切线与的延长线交于点，，则下列命题为假命题的是(    )

A. 若，则
B. 若，则是等边三角形
C. 若，则四边形是菱形
D. 若弦平分半径，则半径平分弦
 

10.如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在轴上，对角线的延长线交轴于点，连接，若的面积是，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.计算：______．

12.分解因式：______．

13.如图，矩形中，，，点为边的中点，以点为圆心的弧经过点，分别与、的延长线交于点、，则弧的长是______结果保留．

14.二次函数为常数且的图象经过点．
______ ；
已知平面内有两点，，若该函数图象与线段有交点，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
解不等式组．

16.本小题分
如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点、、在小正方形的顶点上将向下平移个单位、再向右平移个单位得到，然后将绕点顺时针旋转得到．
在网格中画出；
在网格中画出．

17.本小题分
观察下列各式：
；
；
；

观察等式，那么第个等式为______ ；
根据上述规律，猜测写出 ______ ，并加以证明．

18.本小题分
如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度结果取整数．
参考数据：，，．

 

19.本小题分
清代诗人徐子云曾写过一首诗：

意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人已知一共有只碗，刚好能够用完每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题．

20.本小题分

如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，则四边形的面积为______．

21.本小题分
某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布支和扇形统计图图，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

求的值，完成频数分布表图；
求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数；
参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．

22.本小题分
如图，已知，是的直径，点为圆上一点．

如图，将沿弦翻折，交于，若点与圆心重合，，则的半径为______ ；
如图，将沿弦翻折，交于，把沿直径翻折，交于点．
Ⅰ若点恰好是翻折后的的中点，则的度数为______ ；
Ⅱ如图，连接，若，，求线段的长．

23.本小题分
如图，抛物线经过，，三点．
求出抛物线的解析式；
若在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标；
若是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，使得以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．

2.【答案】 

【解析】解：纸带的两边互相平行，
，
由翻折变换的性质可知，，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由翻折变换的性质可知，由平角的定义即可求出的度数．
本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则．

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一个正方形，正方形的内部右下角是一个较小的正方形．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．

6.【答案】 

【解析】解：、方程可化为，
，
方程无实数根，故本选项符合题意；
B、方程，
，
方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、方程整理得，
，
方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、方程整理得，
，
方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意．
故选：．
求出一元二次方程根的判别式，根据符号即可得到结论．
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
众数是；
故A正确；
共有个数，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故D正确；
平均数是；
故C正确；
方差是：；
故B错误．
综上所述，选项符合题意，
故选：．
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，
令，解得或，
令，求得，
，，
抛物线的对称轴为直线，
的横坐标为，
设，则，
点落在抛物线上，
，解得，
，，
设直线的表达式为，
，
解得
直线的表达式为，
故选：．
求得、的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出，则，把代入抛物线解析式求得，即可求得、的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的表达式．
本题考查了抛物线与轴的交点，坐标和图形变换平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出、的坐标是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：、，，
，
，
为等边三角形，
，
是的切线，
，
，，
，
，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、四边形是的内接四边形，，
，
，
为等边三角形，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、连接，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
四边形为菱形，本选项说法是真命题，不符合题意；
D、弦平分半径，但半径不一定平分弦，本选项说法是假命题，符合题意；
故选：．
根据切线的性质得到，根据同角的余角相等得到，得到，判断选项A；根据圆内接四边形的性质、等边三角形的判定定理判断选项B；根据等边三角形的性质、菱形的判定定理判断；根据垂径定理判断．
本题考查的是命题的真假判断，掌握切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、菱形的判定定理是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：设，则，，
矩形的顶点在反比例函数的图象上，
，
的面积是，
，即，
，
，即，
，即，
，
故选：．
先设，得出，，，再根据的面积是，得出，最后根据，得出，即，求得的值即可．
本题主要考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用，能很好地考核学生分析问题，解决问题的能力．解题的关键是将的面积与点的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
先把化简为，再合并同类二次根式即可得解．
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法完全平方公式要求灵活运用各种方法进行因式分解．

13.【答案】 

【解析】解：连接，

四边形是矩形，
，
，，
，
点为边的中点，
，
，
，
，
由题意得：
，
弧的长，
故答案为：
连接，根据矩形的性质可得，然后在中利用勾股定理求出的长，再利用线段中点的定义可得，从而可得是等腰直角三角形，进而可求出的度数，最后利用弧长公式进行计算即可解答．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】   

【解析】解：二次函数的图象经过点，
把代入，
得，
解得．
故答案为：．
，
，
该抛物线的开口向上，
抛物线的对称轴为．
抛物线的对称轴在轴的左侧．
当时，得，
即抛物线与轴交于点，且交于轴负半轴．
该二次函数图象与线段有交点，，，
当时，成立，
即，
解得．
故答案为：．
将点代入二次函数解析式，可得出．
先由已知条件判断抛物线的开口方向、对称轴和与轴交点坐标，再根据时，，建立不等式求解即可．
本题考查二次函数的图象与性质，要灵活运用数形结合思想．

15.【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】解：如图所示：，即为所求；

如图所示：，即为所求．
 

【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
此题主要考查了平移变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．

17.【答案】   

【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
，
证明如下：


，
，
故答案为：．
根据等式的规律解答；
根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．

18.【答案】解：在中，，
则，
在中，，
，
，
，
解得，
答：这座灯塔的高度约为． 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案．

19.【答案】解：设寺内有名僧人，
由题意得，
解得：．
答：寺内一共有名僧人． 

【解析】设寺内有名僧人，根据题意列出方程即可求出答案．
本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．

20.【答案】 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
四边形是平行四边形，四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
四边形的面积为．
由，得，即可证明≌，得，则四边形是平行四边形，而，即可根据矩形的定义证明四边形是矩形；
先根据平行四边形的性质和矩形的性质得，，则，，再由勾股定理求得，即可根据梯形的面积公式求出四边形的面积．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明≌是解题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：人，
人，
热学的频率，
电学的频率，
故答案为：，；
表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数为；
画树状图如图：

共有种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有种情况，
则使小灯泡发光的概率是．
用光学的频数除以光学的频率得出总人数，用总人数乘以“光学”频率可得的值，热学的频率热学的人数总人数，
用减去其他三项的频率，即可得电学的频率；
用乘以“热学”对应的频率即可；
依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】   

【解析】解：如图，过点作，垂足为，交圆于点，则，
将沿弦翻折，交于，点与圆心重合，
，
在中，，
，
，
的半径为，
故答案为：；
Ⅰ如图，连接、、，
点恰好是翻折后的的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
故答案为：；
Ⅱ如图，连接连接、、，
，，
，，
由Ⅰ知，，
又，
与都是等腰三角形，且有公共，
∽，
，即，
，
．

过点作，垂足为，放在中求；
Ⅰ可以得到，进而得到，放在直角三角形中，利用互余建立的方程；
Ⅱ利用∽求得，即为．
本题考查了圆的性质，解直角三角形，三角形相似等知识点，Ⅰ的关键是找到所对的三段弧都相等，进而得到几个等腰三角形；Ⅱ的关键是把求转化成求，再考虑相似．

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
如图，

当点在抛物线上，且使的面积最大，
必有平行于直线的直线，且和抛物线只有一个交点；
，，
直线解析式为，
设直线解析式为，
抛物线的解析式为；
联立化简得，，
，
，
，
，
，
如图，

过点作，
，，
，，
，
设点，
，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
，
，
联立解得舍或或，
或，
，
，
联立解得，或舍或，
或，
综上，点或或或． 

【解析】用待定系数法求出抛物线解析式；
先判断出点在平行于并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点的坐标；
以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论计算即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的关键是求出点的坐标，分类讨论是解本题的难点．