高考数学第一轮复习第七章 §7.4　基本不等式

这是一份高考数学第一轮复习第七章 §7.4　基本不等式，共17页。试卷主要包含了掌握基本不等式及常见变型等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2与eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．( × )
(2)y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.( × )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( √ )
(4)函数y＝sin x＋eq \f(4,sin x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的最小值为4.( × )
教材改编题
1．已知x>2，则x＋eq \f(1,x－2)的最小值是( )
A．1 B．2 C．2eq \r(2) D．4
答案 D
解析 ∵x>2，
∴x＋eq \f(1,x－2)＝x－2＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2\f(1,x－2))＋2＝4，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立．
2．函数y＝4－x－eq \f(1,x)(x0，y>0且x＋y＝5，则eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)＝eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))×eq \f(1,8)(m＋n)＝eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(m,n)＋2))≥eq \f(1,8)×(2eq \r(1)＋2)＝eq \f(1,2).
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(m,n)，即m＝n＝4时等号成立．
∴eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,y＋2)的最小值为eq \f(1,2).
题型二 基本不等式的常见变形应用
例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)
C.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a>0，b>0)
D.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)
答案 D
解析 由图形可知，OF＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)(a＋b)，
OC＝eq \f(1,2)(a＋b)－b＝eq \f(1,2)(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－b,2)))2)＝eq \r(\f(1,2)a2＋b2)，
∵CF≥OF，
∴eq \r(\f(1,2)a2＋b2)≥eq \f(1,2)(a＋b)(a>0，b>0)．
(2)(2022·广州模拟)已知0eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2
答案 D
解析 a2＋b2≥2ab，所以A错误；
ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
所以当a0)．
跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：eq \f(a2＋b2,2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴eq \f(a2＋b2,2)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，
∴由p可推出q，
当aeq \f(2,\r(ab))，
eq \f(2,a＋b)0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有( )
①2a＋2b≥2eq \r(2)；②a2＋b20，a＋b＝1，
∴00，y>0,3x＋4y＝xy，
所以eq \f(3,y)＋eq \f(4,x)＝1，
所以3x＋y＝(3x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,y)＋\f(4,x)))＝15＋eq \f(9x,y)＋eq \f(4y,x)≥15＋2eq \r(\f(9x,y)·\f(4y,x))＝27，
当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9x,y)＝\f(4y,x)，,3x＋4y－xy＝0))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝9))时取等号，
所以3x＋y的最小值为27.
12．(2021·天津)若a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为________．
答案 2eq \r(2)
解析 ∵a>0，b>0，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b≥2eq \r(\f(1,a)·\f(a,b2))＋b＝eq \f(2,b)＋b≥2eq \r(\f(2,b)·b)＝2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(a,b2)且eq \f(2,b)＝b，即a＝b＝eq \r(2)时等号成立，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(a,b2)＋b的最小值为2eq \r(2).
13．(2022·南京模拟)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))
答案 A
解析 ∵x2＋y2＋xy＝1⇔xy＝(x＋y)2－1，
又∵xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，
∴(x＋y)2－1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，令x＋y＝t，
则4t2－4≤t2，∴－eq \f(2\r(3),3)≤t≤eq \f(2\r(3),3)，
即－eq \f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，当且仅当x＝y时，取等号，
∴x＋y的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).
14．设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)
①a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)；
②eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab)；
③eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b；
④(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4.
答案 ①③④
解析 因为a>0，b>0，
所以a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(ab)＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)，
当且仅当a＝b且2eq \r(ab)＝eq \f(1,\r(ab))，
即a＝b＝eq \f(\r(2),2)时取等号，故①正确；
因为a＋b≥2eq \r(ab)>0，
所以eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
故②错误；
因为eq \f(2ab,a＋b)≤eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
所以eq \f(a2＋b2,a＋b)＝eq \f(a＋b2－2ab,a＋b)＝a＋b－eq \f(2ab,a＋b)≥
2eq \r(ab)－eq \r(ab)＝eq \r(ab)，当且仅当a＝b时取等号，
所以eq \f(a2＋b2,a＋b)≥eq \r(ab)，即eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b，故③正确；
因为(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥
2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b时取等号，故④正确．
15．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋ab的最小值为____________．
答案 eq \f(17,4)
解析 因为a>0，b>0，且a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2eq \r(ab)，
即00，y>0且x＋y＝xy，则eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为________．
答案 3＋2eq \r(2)
解析 因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)＝1＋eq \f(1,x－1)＋2＋eq \f(2,y－1)
＝3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(2,y－1)))
≥3＋2eq \r(\f(1,x－1)·\f(2,y－1))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(1,x－1)＝eq \f(2,y－1)，
即x＝1＋eq \f(\r(2),2)，y＝1＋eq \r(2)时取“＝”，
所以eq \f(x,x－1)＋eq \f(2y,y－1)的最小值为3＋2eq \r(2).