江苏省镇江市句容市华阳教育集团2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题

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九年级数学当堂练习
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程中是一元二次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）将方程配方后，原方程可变形为（    ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列说法正确的是(    )
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，较长的弧所对的弦较大 D．相等的弦所对的弧相等
4．（本题3分）已知：关于x的方程有实根，则m的取值范围为（    ）
A．且 B．且 C． D．
5．（本题3分）⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d是方程x2-6x+9=0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 (     )
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O上
6．（本题3分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4 cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
7．（本题3分）如图，线段是的直径，弦于，如果，那么等于（   ）
  
A． B． C． D．
8．（本题3分）点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（    ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（   ）

A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm
10．（本题3分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度是(      )

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
二、填空题（共16分）
11．（本题2分）写出一个以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ．（用一般形式表示）
12．（本题2分）矩形 中，边 ， ，以A为圆心作 ，使B、C、D三点有两个点在内，有一点在外，则的半径的取值范围是 ．

13．（本题2分）某商店9月份的利润是2500元，要使11月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率为 ．
14．（本题2分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB＝2DE，∠E＝18°，则∠AOC的度数为 ．

15．（本题2分）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为 ．
16．（本题2分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为 cm．

17．（本题2分）如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为 ．

18．（本题2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心圆过点A（13，0），直线y=kx−3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为整数的有____条．

三、解答题（共74分）
19．（本题16分）解方程：
(1)； (2)（配方法）；

(3)（因式分解法）； (4)（公式法）．


20．（本题6分）已知关于x的方程，
（1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，关于x的方程有两个整数根？


21．（本题6分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，
  
(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？


22．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C，点为坐标原点（网格纸中每个小正方形的边长为1）．

(1)该图中弧所在圆的圆心的坐标为______．
(2)根据（1）中的条件填空：
①的半径______．（结果保留根号）；
②点在______．（填“上”、“内”或“外”）；
③______．


23．（本题6分）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成

中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长为多少米？
能否围成面积为平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．


24．（本题6分）商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？


25．（本题8分）王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：，
，．
当时，的值最小，最小值是1．
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出的最小值为　 　．
(2)求代数式的最小值．
(3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
(4)若，求的最小值．



26．（本题10分）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．

（1）几秒钟后的面积等于；
（2）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
（3）在点、的运动过程中，几秒后是直角三角形？请直接写出答案．




27．（本题10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．


参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故此选项符合题意；
D．是二元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．
2．A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：


．
故选A．
【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握配方法解一元二次方程的步骤是解答本题的关键．
3．B
【分析】在一个圆中，直径是最长的弦，即半圆弧所对的弦最长；在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦对对的弧相等，所对的圆心角也相等，据此判断即可．
【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，本选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，说话正确，本选项符合题意；
C、在一个圆中半圆弧所对的弦最长，其它非半圆弧所对的弦均小于半圆弧所对的弦（直径），故原说法错误，本选项不符合题意；
D、同一根弦对应着两条弧，它们不一定相等，即相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查圆心角、弧、弦定理.弧、弦、圆心角三者中有一组量相等即可证得其它两组量也相等，但是前提必须是同圆或等圆中，这是此题易错之处.
4．C
【分析】分为两种情况，方程为一元一次方程和方程为一元二次方程，分别求出即可解答．
【详解】解：当m＝0时，方程为-2x+1＝0，此方程的解是x＝ ，
当m≠0时，当时，方程有实数根，解得：m≤1，
所以当m≤1时，方程有实数根，
故选∶C．
【点睛】此题考查了一元一次方程和为一元二次方程的解，解题关键在于分情况求方程的解．
5．B
【分析】先解方程求出R与d的值，再由大小关系判断位置即可.
【详解】解：由x2-6x+9=0解得：x1=x2=3，则R=d=3，所以点A在⊙O上，故选B.
【点睛】本题是对点与圆位置关系的考查，熟练掌握解一元二次方程及点与圆位置关系是解决本题的关键.
6．C
【详解】连接AC，AO，

∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选：C.

7．B
【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得，据此求解即可．
【详解】解：∵线段是的直径，弦，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和垂弦定理，解题的关键是熟知垂径定理及圆周角定理的内容．
8．B
【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．
【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P．
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm．
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP=CD=3cm．
根据勾股定理，得OP==4cm．
故选B．

【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．
9．C
【分析】由垂径定理可得出BC的长，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．
【详解】解：如图，设圆心为点，连接，

∵，AB＝40cm，
∴，，
∵CD＝10cm，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：cm，
∴轮子的半径为25cm．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．B
【分析】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算，即可求出答案.
【详解】过点O作OM⊥DE于点M,连接OD.
∴DE=DE，
∵DE=8cm，
∴DM=4cm，
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5cm，
∴
∴直尺的宽度为3cm.
故答案选B.
【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，灵活运用这些定理是解答本题的关键.
11．（答案不唯一）
【分析】先计算与7的和与积，然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程．
【详解】解：，，
以和7为根且二次项系数为1的一元二次方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
12．
【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再利用点与圆的位置关系进行求解．
【详解】解：连接，

矩形，
，，
在中，
，
当点在上时，半径，
当点在上时，半径，
当点B、、三点有两个点在内，有一点在外需满足，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
13．20%
【分析】设平均每月增长的百分率是，那么10月份的利润是元，11月份的利润是元，而此时利润是3600元，进而可列出方程．
【详解】解：设平均每月增长的百分率是，由题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每月增长的百分率应该是．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，是平均增长率问题．解题的关键是掌握等量关系一般是：增长前的量平均增长率）增长的次数=增长后的量．
14．/度
【分析】连接 证明利用等腰三角形的性质与三角形的外角的性质证明 从而可得答案.
【详解】解：连接

AB是⊙O的直径,AB＝2DE，∠E＝18°，




故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握“等边对等角，三角形的外角的性质”是解题的关键.
15．0
【分析】根据根与系数的关系得到得α+β=3，再把原式变形得到a（α+β）-3α，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β=3，αβ=-4，
∴α2+αβ﹣3α=α（α+β）-3α
=3α-3α
=0．
故答案为0
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．
16． 2.5
【详解】
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
设OF=x，则OM=4−x，MF=2，
在中，
即：
解得：x=2.5，
故答案为2.5．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是构造出正确直角三角形．
17．/0.5
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【详解】解：连接OD，如图，

∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90°，
∴，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=AB=×1=，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出符合题意的点C的位置是解此题的关键．
18.4
19．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先移项，分解因式，再求出方程的解即可；
（4）先计算根的判别式，然后利用求根公式解方程．
【详解】（1）解：，
开平方得，，
∴或，
解得，，；
（2），
移项得，，
两边都加4得，，
配方得，，
开平方得，，
即或，
解得，，；
（3），
整理得，，
移项得，，
因式分解得，，
即或，
解得，，；
（4），
，，，
，
，
，．
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
20．（1）证明见解析；（2）k=0或2
【分析】当时，方程为一元一次方程.当时，方程为一元二次方程，根的判别式
计算出方程的解，或因为解是整数，即可算出的值．
【详解】解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；
当时，方程为一元二次方程，

∴一元二次方程有两个实数根，
综上所述，不论k取什么实数值，这个方程总有实数根．
方程有两个整数根，
∴方程为一元二次方程

解得或
又为整数
或．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的解法，整除问题，求出一元二次方程的两根是解本题的关键．
21．(1)米
(2)不需要采取紧急措施，理由见解析

【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可；
（2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论．
【详解】（1）连接，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得，；
（2）连接，

，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：．
．
，
不需要采取紧急措施．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
22．(1)
(2)①；②外；③

【分析】（1）由垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，即可作线段和线段的垂直平分线，则其交点即为圆心，再结合图形即得出圆心坐标；
（2）①根据勾股定理即可求解；②求出点到圆心D的距离，再与半径相比较即可解答；③连接，根据勾股定理分别求出，，即得出，根据勾股定理逆定理，即确定．
【详解】（1）如图，作线段和线段的垂直平分线，则两直线交点即为圆心，
∴由图可知圆心的坐标为．
故答案为：；
（2）①由图可知的半径．
故答案为：；
②∵点到圆心D的距离为，
∴点在外．
故答案为：外；
③如图，连接，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题考查垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理和勾股定理逆定理．掌握弦的垂直平分线必过圆心是解题关键．
23．（1）的长为米；不能围成面积为平方米的花圃．
【分析】（1）设宽为x，再由总长度得出长的式子，面积为x（24-3x）=45，即可得出AD的长度；
（2）设AD的长度，列出方程，运用判别式可得出式子是否成立.
【详解】解：设宽为x，根据题意列方程得，x（24-3x）=45，
解得， ，；
当的长为3米时，AB的长为24-9=15>11，（舍去）；
当的长为5米时，AB的长为24-15=9；
答：的长为米．
不能围成面积为平方米的花圃．
设的长为米，
于是有，
整理得，
∵，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为平方米的花圃．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系，列出方程．
24．(1)1800元
(2)每件商品应降价30元

【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售数量解答；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）（280﹣220）×30＝1800 （元）．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
（2）设每件商品应降价x元，
由题意，得 （280﹣x﹣220）（30+3x）＝3600，
解得 x1＝20，x2＝30．
∵要更有利于减少库存，
∴x＝30．
答：每件商品应降价30元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)3
(2)7
(3)有最大值，最大值为8
(4)2

【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（4）根据，用表示出，写出，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
【详解】（1）解：的最小值为3．
故答案为：3；
（2）

，
，
，
当时，的值最小，最小值为7，
的最小值为7；
（3），
，
，
代数式有最大值，最大值为8；
（4），
，
，
，
，
当时，的值最小，最小值为2，
的最小值为2．
【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
26．（1）2秒或4秒；（2）存在，时间为秒；（3）0秒或秒或6秒
【分析】（1）设秒后，的面积等于，利用割补法表示，建立方程求解即可；
（2）点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上，即为PQ=QD，即PQ2=QD2，根据勾股定理将PQ2、QD2分别用x表示出来，列方程求出x的值即可；
（3）分别表示出，，，然后结合勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】解：（1）设秒后，的面积等于，
则由题意，秒后，，，，
∵，
，
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴经过2秒或4秒后，的面积等于；
（2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：，
∵，
，
∴，
整理得：，
解得：，
∵，
∴运动开始后第秒时，点恰好落在以点为圆心，为半径的圆上．
（3）设秒后，满足条件，其中，
则，，，
①若∠PQD=90°，则，
即：，
整理得：，
解得：或；
②若∠PDQ=90°，则，
即：，
解得：，不合题意，舍去；
③若∠DPQ=90°，则，
即：，
整理得：，
解得：或（不符合题意，舍去）；
综上，当或或时满足为直角三角形
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解．
27．(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1），
，

所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即

或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，


两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．