2022-2023学年北京二中高一（上）期中数学试卷（无答案）

这是一份2022-2023学年北京二中高一（上）期中数学试卷（无答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京二中高一（上）期中数学试卷
一、选择题。（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）命题“∀x＞0，x3﹣2x≤1”的否定是（　　）
A．∀x＞0，x3﹣2x≤1 B．∀x≤0，x3﹣2x＞1
C．∃x≤0，x3﹣2x≤1 D．∃x＞0，x3﹣2x＞1
3．（5分）函数的零点所在区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
4．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，则与y＝f（x）表示同一个函数的是（　　）
A．g（x）＝x﹣1 B．y＝
C．s（x）＝（）2 D．
5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C．2a＞2b D．a3＞b3
6．（5分）为得到函数的图象，可以将函数y＝log3x的图象（　　）
A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
7．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝﹣x3 B．y＝ C．y＝2|x| D．y＝log3（﹣x）
8．（5分）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
9．（5分）已知a＝20.3，b＝log32，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（5分）两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b（0＜a＜b）．为便于调控生产，分别将、、中x（x＞0）的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为（　　）
A．H＜G＜A B．G＜H＜A C．A＜G＜H D．A＜H＜G
12．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：．若常数k＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从120°C下降到40℃，大约需要的时间为（　　）（参考数据：ln3≈1.1）
A．36分钟 B．39分钟 C．40分钟 D．44分钟
二、填空题。（本大题共6小题，共30分）
13．（5分）计算＝　 　．
14．（5分）已知函数，则f（x）是 　 　函数（填“奇”或“偶”）；f（x）在区间[1，+∞）上的最小值是 　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝lgx+．若f（a）＝2，则f（）＝　 　．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，且f（7﹣x2）﹣f（6x﹣t）≤0恒成立，则t的最大值为 　 　．
17．（5分）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．
①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是 　 　；
②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是 　 　．

18．（5分）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数a，使函数f（x）为奇函数；
②对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值；
③对任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点；
④对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题。（本大题共5小题，共60分）
19．（12分）已知函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域为A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域为B．
（1）求A和B；
（2）若[a，a+1]⊆A∩B，求a的最大值．
20．（12分）已知函数
（1）求函数f（x）的零点；
（2）用定义证明f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减．
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+x﹣3．
（1）求f（0）和f（﹣2）；
（2）解不等式f（x）＞0；
（3）设函数g（x）＝f（x+1）﹣f（x﹣1），判断g（x）的奇偶性和单调性．（只需写出结论）
22．（12分）设函数f（x）＝21﹣x（22x﹣1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）设m＞0，若，求x的取值范围．
23．（12分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．
（1）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．

2022-2023学年北京二中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（每小题5分，共60分）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{0，1}．
故选：B．
2．（5分）命题“∀x＞0，x3﹣2x≤1”的否定是（　　）
A．∀x＞0，x3﹣2x≤1 B．∀x≤0，x3﹣2x＞1
C．∃x≤0，x3﹣2x≤1 D．∃x＞0，x3﹣2x＞1
【分析】直接利用原命题求出命题的否定．
【解答】解：命题“∀x＞0，x3﹣2x≤1”的否定是∃x＞0，x3﹣2x＞1．
故选：D．
3．（5分）函数的零点所在区间是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【分析】根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可．
【解答】解：对于A，当x＜0时，，2x＞0，∴f（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）内无零点，A错误；
对于B，当x从正方向无限趋近于0时，，则f（x）→+∞；又f（1）＝4﹣2＝2，∴f（x）在（0，1）内无零点，B错误；
对于C，∵f（1）＝4﹣2＝2，f（2）＝2﹣4＝﹣2，且f（x）在（1，2）上连续，∴f（x）在（1，2）内有零点，C正确；
对于D，f（2）＝2﹣4＝﹣2，，∴f（x）在（2，3）内无零点，D错误．
故选：C．
4．（5分）已知函数f（x）＝|x﹣1|，则与y＝f（x）表示同一个函数的是（　　）
A．g（x）＝x﹣1 B．y＝
C．s（x）＝（）2 D．
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为相同函数．
【解答】解：函数f（x）＝|x﹣1|＝，定义域为R，
对于A，函数g（x）＝x﹣1与函数f（x）＝|x﹣1|的对应关系不同，故A错误；
对于B，函数y＝的定义域为{x|x≠1}，与函数f（x）的定义域不同，故B错误；
对于C，s（x）＝（）2的定义域为{x|x≥1}，与函数f（x）的定义域不同，故C错误；
对于D，h（x）＝＝|x﹣1|，与函数f（x）＝|x﹣1|定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确．
故选：D．
5．（5分）已知a＜b＜0，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C．2a＞2b D．a3＞b3
【分析】由a＜b＜0便可得出，即正确选项为A．
【解答】解：∵a＜b＜0；
∴，，2a＜2b，a3＜b3．
故选：A．
6．（5分）为得到函数的图象，可以将函数y＝log3x的图象（　　）
A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度 D．向右平移3个单位长度
【分析】利用对数的运算性质可得＝log3x﹣3，再利用函数的图象的变换可得答案．
【解答】解：∵＝log3x﹣3，
∴要得到函数的图象，可以将函数y＝log3x的图象向下平移3个单位长度，
故选：A．
7．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝﹣x3 B．y＝ C．y＝2|x| D．y＝log3（﹣x）
【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．
【解答】解：函数y＝﹣x3是奇函数，故A不符题意；
函数y＝的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不为偶函数，故B不符题意；
函数y＝2|x|是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，故C符合题意；
是奇函数，故C不符题意；
函数y＝log3（﹣x）定义域为（﹣∞，0），不关于原点对称，不为偶函数，故D不符合题意．
故选：C．
8．（5分）函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】去掉绝对值，根据函数的单调性即可判断．
【解答】解：当x＞0时，y＝ax，因为a＞1，所以函数y＝ax，单调递增，
当x＜0时，y＝﹣ax，因为a＞1，所以函数y＝﹣ax，单调递减．
故选：C．
9．（5分）已知a＝20.3，b＝log32，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】分别与0，1比较即可求出．
【解答】解：a＝20.3＞1，0＜b＝log32＜1，c＝log0.32＜0，
则a＞b＞c．
故选：B．
10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，
∴若x1+x2＝0，
则x1＝﹣x2，
则f（x1）＝f（﹣x2）＝﹣f（x2），
即f（x1）+f（x2）＝0成立，即充分性成立，
若f（x）＝0，满足f（x）是奇函数，当x1＝x2＝2时，
满足f（x1）＝f（x2）＝0，此时满足f（x1）+f（x2）＝0，
但x1+x2＝4≠0，即必要性不成立，
故“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的充分不必要条件，
故选：A．
11．（5分）两个工厂生产同一种产品，其产量分别为a，b（0＜a＜b）．为便于调控生产，分别将、、中x（x＞0）的值记为A，G，H并进行分析．则A，G，H的大小关系为（　　）
A．H＜G＜A B．G＜H＜A C．A＜G＜H D．A＜H＜G
【分析】解方程可依次求得A，G，H，结合基本不等式可得大小关系．
【解答】解：由得：x﹣a＝b﹣x，解得：a＝，即A＝；
由得：x2﹣ax＝ab﹣ax，解得：x＝，即G＝；
由得：bx﹣ab＝ab﹣ax，解得：x＝，即H＝；
又，∴（当且仅当a＝b时取等号），
∴H＜G＜A．
故选：A．
12．（5分）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ（单位：℃）满足：．若常数k＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从120°C下降到40℃，大约需要的时间为（　　）（参考数据：ln3≈1.1）
A．36分钟 B．39分钟 C．40分钟 D．44分钟
【分析】由题意可得，θ0＝30，θ1＝120，θ＝40，故40＝30+（120﹣30）e﹣0.05t，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，
故40＝30+（120﹣30）e﹣0.05t，
∴e﹣0.05t＝，即﹣0.05t＝ln，
∴t＝＝＝40ln3≈44．
故选：D．
二、填空题。（本大题共6小题，共30分）
13．（5分）计算＝　0　．
【分析】根据分数指数幂和对数的运算进行计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣3＝0．
故答案为：0．
14．（5分）已知函数，则f（x）是 　奇　函数（填“奇”或“偶”）；f（x）在区间[1，+∞）上的最小值是 　﹣3　．
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可求得答案．
【解答】解：∵（x≠0），
∴f（﹣x）＝﹣x+＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），
∴f（x）是奇函数；
又y＝x与y＝﹣在区间[1，+∞）上均为增函数，
∴在区间[1，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，
故答案为：奇；﹣3．
15．（5分）已知函数f（x）＝lgx+．若f（a）＝2，则f（）＝　﹣2　．
【分析】由f（a）＝2可得lga+＝2，整体代入f（）即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝lgx+，
∴f（a）＝lga+＝2，
∴f（）＝+＝﹣lga+＝﹣（lga+）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，且f（7﹣x2）﹣f（6x﹣t）≤0恒成立，则t的最大值为 　﹣16　．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得7﹣x2≤6x﹣t恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的增函数，且f（7﹣x2）﹣f（6x﹣t）≤0恒成立，
即f（7﹣x2）≤f（6x﹣t）恒成立，则有7﹣x2≤6x﹣t恒成立，
变形可得t≤x2+6x﹣7＝（x+3）2﹣16恒成立，必有t≤﹣16，
即t的最大值为﹣16；
故答案为：﹣16．
17．（5分）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．
①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是 　[1，2]　；
②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是 　﹣2　．

【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．
②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．
【解答】解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，
可得y的取值范围是[1，2]．
②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），代入计算
可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，
∴f（x）＝﹣x2+2x+1，
当x＜0时，﹣x＞0．
∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1
即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．
令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．
结合图象可得b的最大值为﹣2．
故答案为：[1，2]；﹣2．
18．（5分）已知函数给出下列四个结论：
①存在实数a，使函数f（x）为奇函数；
②对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值；
③对任意实数a和k，函数y＝f（x）+k总存在零点；
④对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（﹣1，m）上单调递减．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【分析】由函数f（x）的解析式作出函数图象，由图象可以直接判断出正确的选项．
【解答】解：由函数f（x）的解析式可得图象如图：

①a＝0时函数f（x）为奇函数，故①正确；
②由图象可知对于任意的实数a，函数f（x）无最值，故②正确；
③当k＝﹣3，a＝8时函数y＝f（x）+k没有零点，故③错误；
④由图象可知，当a＞m时，函数f（x）在（﹣1，m）上单调递减，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题。（本大题共5小题，共60分）
19．（12分）已知函数f（x）＝lg（x﹣1）+的定义域为A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域为B．
（1）求A和B；
（2）若[a，a+1]⊆A∩B，求a的最大值．
【分析】（1）根据对数以及根式的性质建立不等式组由此即可求出函数f（x）的定义域，再根据指数函数的性质得出函数g（x）的单调性，由此即可求出函数g（x）的值域；（2）由（1）求出A，B的交集，然后根据子集的定义建立不等式组，进而可以求解．
【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，只需，解得1＜x≤4，
所以函数f（x）的定义域为A＝（1，4]；
因为函数g（x）＝3x+1在[0，2]上单调递增，
则g（x），g（x），
所以函数g（x）的值域为B＝[2，10]；
（2）由（1）可得A∩B＝[2，4]，
则[a，a+1]⊆[2，4]，所以，解得2≤a≤3，
所以实数a的最大值为3．
20．（12分）已知函数
（1）求函数f（x）的零点；
（2）用定义证明f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减．
【分析】（1）根据题意，令f（x）＝0，求出x的值，即可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得证明．
【解答】解：（1）函数，
若f（x）＝0，则有或，
解可得x＝1或2，即函数的零点为1或2；
（2）证明：在区间（﹣∞，2）上，f（x）＝+1，
设x1＜x2＜2，则有f（x1）﹣f（x2）＝（+1）﹣（+1）＝，
又由x1＜x2＜2，则x1﹣2＜0，x2﹣2＜0，x2﹣x1＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
故函数f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减．
21．（12分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x+x﹣3．
（1）求f（0）和f（﹣2）；
（2）解不等式f（x）＞0；
（3）设函数g（x）＝f（x+1）﹣f（x﹣1），判断g（x）的奇偶性和单调性．（只需写出结论）
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式求出f（0）和f（2）的值，结合奇偶性可得f（﹣2）的值，即可得答案；
（2）根据题意，先分析函数的单调性，结合奇偶性可得答案；
（3）根据题意，分析g（x）的解析式，由此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），当x≥0时，f（x）＝2x+x﹣3，
则f（0）＝﹣2，f（2）＝4+2﹣3＝3，
而f（x）为偶函数，则f（﹣2）＝f（2）＝3，
（2）根据题意，当x≥0时，f（x）＝2x+x﹣3，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，
又由f（1）＝2+1﹣3＝0，
则当x＞1时，f（x）＞0，
又由f（x）为偶函数，则当x＜﹣1时，f（x）＞0也成立，
综合可得：f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；
（3）根据题意，函数g（x）＝f（x+1）﹣f（x﹣1），g（x）为奇函数；
当x≥0时，f（x）＝2x+x﹣3，
则区间[1，+∞）上，g（x）＝f（x+1）﹣f（x﹣1）＝（2x+1+x﹣2）﹣（2x﹣1+x﹣4）＝2x+1﹣2x﹣1+2＝×2x+2，为增函数，
又由g（x）为奇函数，则g（x）在（﹣∞，﹣1]上也是增函数，
故g（x）的递增区间为（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）．
22．（12分）设函数f（x）＝21﹣x（22x﹣1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）设m＞0，若，求x的取值范围．
【分析】（1）根据题意，将函数的解析式变形可得f（x）＝2x+1﹣21﹣x，由函数奇偶性的定义分析可得结论；
（2）根据题意，先分析函数的单调性，结合奇偶性分析可得原不等式等价于x2﹣mx＞，变形可得（mx﹣1）（x﹣m）＞0，结合二次函数的性质分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）为奇函数；
证明：函数f（x）＝21﹣x（22x﹣1）＝2x+1﹣21﹣x，
其定义域为R，
有f（﹣x）＝21﹣x﹣2x+1＝﹣（2x+1﹣21﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；
（2）根据题意，f（x）＝21﹣x（22x﹣1）＝2x+1﹣21﹣x＝2（2x﹣2﹣x）＝2（2x﹣），
易得f（x）是R的增函数；
若，即f（x2﹣mx）＞﹣f（），
f（x）为奇函数，则有f（x2﹣mx）＞f（），
而f（x）是R的增函数，则有x2﹣mx＞，变形可得（mx﹣1）（x﹣m）＞0，
方程（mx﹣1）（x﹣m）＝0的两根为和m，
又由m＞0，分3种情况讨论：
①当0＜m＜1时，＞m，此时不等式的解集为（﹣∞，m）∪（，+∞）；
②当m＝1时，＝m，此时不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
③当m＞1时，＜m，此时不等式的解集为（﹣∞，）∪（m，+∞）；
综合可得：当0＜m＜1时，不等式的解集为（﹣∞，m）∪（，+∞）；
当m＝1时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
当m＞1时，不等式的解集为（﹣∞，）∪（m，+∞）．
23．（12分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．
（1）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用生成集的定义即可求解；
（3）不存在，理由反证法说明．
【解答】解：（1）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}；
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素个数大于等于7个，
又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}；
则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32；
也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积abcd＝30，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．
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