江苏省南通市崇川初级中学2023_2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

崇川2023~2024九上月考数学

一．选择题（共10小题）

1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c

2. 二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3. 在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　）

A．B．C． D．

4. 若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（　　）

A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位 

B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位 

C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位 

D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

5. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0），A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大的排列是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1

6. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　）

A．a＜0 B．b＞0 C．c＞0 D．a﹣b+c＞0

7. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，轮子的吃水深度CD为2m，则该桨轮船的轮子直径为（　　）

A．10m B．8m C．6m D．5m

8. 二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4

9. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是（　　）

A．m B．m C．m＝1 D．m＝4

10. 如图，等边△ABC的边AB与正方形DEFG的边长均为2，且AB与DE在同一条直线上，开始时点B与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点B与点E重合为止，设BD的长为x，△ABC与正方形DEFG重叠部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A．B．C． D．

二．填空题（共8小题）

11. 二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴是直线 　　　．
12. 二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值为 　　　．
13. 如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于30m）和总长为28m的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为x米，花圃总面积为y平方米，求y关于x的函数解析式 　　　　　　．（用二次函数一般式表示）
14. 古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为　　　米．

15. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 　　　　　．
16. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm，下雨前水面宽为100cm，一场大雨过后，水面宽为240cm，则水位上升 　　　　　cm．
17. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于 　　　．
18. 对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当﹣1≤x≤1时，﹣1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“闭函数”．已知y＝ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，﹣1）和点B（﹣1，1），则a的取值范围是 　　　　　．

三．解答题（共8小题）

19. （8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如表：

（1）二次函数图像所对应的顶点坐标为       ；

（2）当x＝4时，y＝   　；

（3）与x轴的交点 　　　 ；

（4）当函数值y＞0时，x的取值范围  　　　　．

20. 已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．

（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；

（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．

21. 如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．

（1）求证：AC＝BD．

（2）若CD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

22. 卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

（1）求满足条件的抛物线的函数表达式；

（2）如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？

23. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数，所调查的部分数据如表：

（1）求出y与x之间的函数表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

（3）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？

24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B与y轴交于点C，且OC＝2，点P是抛物线上一动点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在第四象限时，求△BCP的最大面积；

（2）当点P在第一象限，且∠PCB＝∠ABC时，求出点P的坐标．

25. 某数学兴趣小组对函数y＝|x2+2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．

（1）根据如表数据填空：m＝　 　，n＝　 　；

（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；

（3）观察该函数的图象，解决下列问题．

①该函数图象与直线y的交点有 　 　个；

②若y随x的增大而减小，求此时x的取值范围；

③在同一平面内，若直线y＝x+b与函数y＝|x2+2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．

26. 党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P（m，n）的坐标满足n＝m2，则称点P为“高质量发展点”．

（1）若点P（m，4）是正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象上的“高质量发展点”求这个正比例函数的解析式；

（2）若函数y＝2x+3﹣p（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围；

（3）若二次函数y＝ax2+（b﹣1）x+2（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令w＝﹣b2﹣8（a﹣1），当t﹣1≤b≤t时，w有最大值﹣t，求t的值．