辽宁省沈阳市第二中学2023-2024学年高一数学上学期10月阶段测试试题（Word版附解析）

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沈阳二中2023-2024学年度上学期9月阶段测试
高一（26届）数学试题
说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分
2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷（选择题）共60分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 不等式的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
5. 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 已知命题:，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，或
C. ， D. ，或
7. 被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（ ）

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分）
9. 下列选项正确的有（ ）
A. 比较接近1的整数的全体能构成一个集合
B. 由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为2
C. 设，，，，则
D. 若集合，集合，则
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值是2
B. 当时，的最小值是3
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数，满足，则最大值是
12. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A. 设，则为二划分
B. 设，则为的二划分
C. 存在一个二划分，使得对于；对于
D. 存在一个的二划分，使得对于，则；，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每空5分，共20分）
13. 已知集合，则集合个数为________.
14. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
15. 已知集合，，若，则实数a的值为______．
16. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知集合或，．
（1）若，求和；
（2）若是的必要条件，求实数a的取值范围.
18. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
19. 已知关于一元二次方程.
（1）若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；
（2）若上述方程无正数根，求实数的取值范围.
20. 已知命题成立．命题，都有成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围：
（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围
21. 已知关于的不等式，其中；
（1）当，求不等式的解集；
（2）当变化时，试求不等式的解集；
（3）对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用例举法表示此时的集合，若不能，说明理由.
22. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．

沈阳二中2023-2024学年度上学期9月阶段测试
高一（26届）数学试题
说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分
2、客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷（选择题）共60分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合补集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：B
2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
3. 已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用含的代数式表示，结合已知利用不等式的性质即可求得答案.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误，
故选：B.
4. 不等式的解集为（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先将不等式化简为，再分类讨论和 两种情况，即可求得答案.
【详解】不等式即，
当即时，即，
故此时；
当即时，即或 ，
故此时，
故不等式的解集为或，
故选：D
5. 我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可.
【详解】设集合{参加足球队的学生}，
集合{参加排球队的学生}，
集合{参加游泳队的学生}，
则，

设三项都参加的有人，即，，
所以由
即，
解得，
三项都参加的有4人，
故选：C.
6. 已知命题:，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，或
C. ， D. ，或
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】量词命题的否定是改变量词，否定结论，
“，”等价于“，”，
故其否定是“，”等价于“，或”.
故选：D
7. 被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（ ）

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设，可得图3的方程为，解方程即求解.
【详解】由题意知：图3表示的方程为，解得或.
故选：A.
8. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分离参数，将问题转化为，恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】若命题“，”是真命题，
则，，即恒成立，
，当且仅当时等号成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：C．
【点睛】此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最值求解范围，需要注意等价变形.
二、多选题（本题共4小题，共20分.全选对的得5分，部分选对的得2分）
9. 下列选项正确的有（ ）
A. 比较接近1整数的全体能构成一个集合
B. 由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为2
C. 设，，，，则
D. 若集合，集合，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合的性质和定义以及集合间的关系一一分析即可.
【详解】对于A，比较接近没有一个标准，故不符合集合确定性的性质，故A错误；
对于B，因为，，所以当时，这几个数均为0，
当时，它们分别，，，，，
当时，它们分别是，，，，，均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多为2个，故B正确；
对于C，集合包含点，集合不包含点，则，故C错误；
对于D，集合，集合，因为为奇数，为整数，
则，故D正确.
故选：BD.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 设，，则“”是“”的既不充分也不必要条件
B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项：根据得且，由此即可判断；
B选项：根据方程有两个异号根的充要条件即可判断；
C选项：根据得，由此即可判断；
D选项：解不等式，根据解集即可判断求解．
【详解】由得且，故，但，
则“”是“”的必要不充分条件，故A错误；
若二次方程有一正根一负根，则满足，解得：，
所以“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，故B正确；
由可得，故，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
解不等式可得或，，但，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BCD．
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 的最小值是2
B. 当时，的最小值是3
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数，满足，则的最大值是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式求最值即可.
【详解】A选项：，不存在最小值，故A错；
B选项：当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
C选项：，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
D选项：，解得，当且仅当，即，时等号成立，故D错.
故选：BC.
12. 19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理.若集合A、B满足：，则称为的二划分，例如，，则就是的一个二划分，则下列说法正确的是（ ）
A. 设，则为的二划分
B. 设，则为的二划分
C. 存在一个的二划分，使得对于；对于
D. 存在一个的二划分，使得对于，则；，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例结合“二划分”的定义判断A；利用“二划分”的定义判断B；找出两集合符合二划分定义判断C，D.
【详解】对于A，由于，故，不是的二划分，A错误；
对于B，，
，
显然，由于任意一个正整数M，都可写成形式，
其中为素数，，则M必为形式，其中k为正奇数，，
故可得，故B正确；
对于C，存在满足，
对于；对于，C正确；
对于D，选项B中集合，
使得对于，则；
，比如取3，5，则，D正确，
故选：BCD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解二划分的含义，并按照其定义去判断每个选项.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每空5分，共20分）
13. 已知集合，则集合的个数为________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据并集的结果，判断集合中的元素，再求集合的个数.
【详解】由条件可知，集合里一定有元素，所以集合的个数就相当于集合的子集个数，有个.
故答案为：8
14. 命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】原命题为假，则其否定为真，转化为二次不等式的恒成立问题求解.
【详解】命题“，”的否定为：“，”，因为原命题为假命题，所以其否定为真，
所以当即时，恒成立，满足题意；
当即时，只需，
解得：.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知集合，，若，则实数a的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解.
【详解】联立，
解得，
若，
则，
所以.
①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集.
②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集.
故答案为：.
16. 已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可求得等价于.设，根据二次函数的性质可求得，结合题意，即可得出答案.
【详解】由可得，，解得或，
所以等价于.
因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，
所以，是不等式解集的真子集.
设，在上单调递减，
当时，有.
所以，由可得，.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 已知集合或，．
（1）若，求和；
（2）若是必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1），或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据集合交集和并集的定义进行求解即可；
（2）根据必要条件的性质进行求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，或；
【小问2详解】
∵是的必要条件，
∴
∴当时，则有，解得．满足题意．
当时，有，或，
由不等式组可得，不等式组无解．
综上所述，实数a的取值范围是或.
18. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出､的值；
（2）由题意可得，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得或（舍）.
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故
当且仅当，时，即时，等号成立.
依题意有，即，
得，
所以的取值范围为.
19. 已知关于的一元二次方程.
（1）若上述方程的两根都是正数，求实数的取值范围；
（2）若上述方程无正数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列不等式求解即可得实数的取值范围；
（2）根据二次方程的根列不等式求解即可得实数的取值范围.
【小问1详解】
关于关于的一元二次方程有两根，
可得，解得，且
又两根为正根，所以，，即，解得或
故实数的取值范围为；
【小问2详解】
由题意可知：，
若，解得，此时无实数根，满足题意；
若，解得，且，
设此时两实数根分别为，，
则由题意得，，则，解得，
综上：实数的取值范围为.
20. 已知命题成立．命题，都有成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围：
（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求实数m的取值范围
【答案】（1）或
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程有根，由判别式即可得的取值范围；
（2）根据题意，求出为真时的取值范围，由此分真假和假真两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案．
【小问1详解】
根据题意，命题，成立．若为真，则方程有解，
必有，解可得或，
故为真时，的取值范围为或，
【小问2详解】
若，由于 则，
则，
当且仅当时，即，时等号成立，
即的最小值为，
若命题为真命题，必有，可得，
故的取值范围为，；
又由命题和命题有且只有一个命题是真命题，分2种情况讨论，
若真假，则有，解可得，
若假真，则有，解可得，
综合可得：或，
即的取值范围为或．
21. 已知关于的不等式，其中；
（1）当，求不等式的解集；
（2）当变化时，试求不等式的解集；
（3）对于不等式的解集，满足.试探究集合能否为有限集，若能，求出使得集合中元素最少的的所有取值，并用例举法表示此时的集合，若不能，说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）能，，此时
【解析】
【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得出解集；
（2）对的取值进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法解原不等式，可得原不等式的解集；
（3）当时，为无限集，当时，为有限集，利用基本不等式可得出，可知当时，集合中元素个数最少，求出此时的集合，进而可求得集合.
【小问1详解】
解：当时，原不等式即为，即，
解得，故.
【小问2详解】
解：（1）当时，原不等式即为，解得，即；
（2）当时，解方程，得或，
且.
①当时，，则，
解原不等式可得，即；
②当或时，，即，
解原不等式可得或，即；
③当时，，原不等式即为，解得，即.
综上所述，当时，；
当时，；
当或时，；
当时，.
【小问3详解】
解：由（2）可知，当时，为无限集，当时，为有限集，
此时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即当时，，此时，.
22. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数满足以下条件：对集合，内的任意元素，总存在正整数．使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值（直接写结果，无需推导）．
【答案】（1）上位点“坐标”和下位点坐标分别为和
（2）点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明见解析
（3）4039
【解析】
【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得答案；
（2）作差可得，，再根据定义可知结论成立；
（3）结合（2）中的结论，可得，，满足条件，再说明当时，不恒成立，可得出的最小值.
【小问1详解】
由，
根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和．
【小问2详解】
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”，证明如下：
点是点的“上位点”， ，，
，
，点是点的“下位点”，
，
，点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
【小问3详解】
若正整数满足条件，在,时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时，满足条件，
若，由于，
则对，时不恒成立，
因此，的最小值为4039．