湖北省武汉市汉阳区二桥中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试卷

这是一份湖北省武汉市汉阳区二桥中学2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖北省武汉市汉阳区二桥中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）（解析版）
一、选择题（3′×10＝30′）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
2．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x＝0 C．x＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣4
4．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
5．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张则这个小组有（　　）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
6．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
7．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（　　）
A．9.5% B．20% C．10% D．11%
8．（3分）若A（3，y1）、、C（﹣3，y3）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（3′×6＝18′）
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是　 　．
12．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m＝　 　．
13．（3分）某人编制了一条短信，发送给若干个人，收到短信的人再转发给同样数目的人，问平均每轮发送给 　 　个人．
14．（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣3mn﹣2m的值是 　 　．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（c＜0）的图象开口向上，对称轴为直线x＝1　 　下列结论中一定正确的是（填序号即可）．
①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a+c＞b（at+b）（t是一个常数）．
16．（3分）如图，B（0，5），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC　 　．

三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
18．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．

19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
20．（8分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足等式b＝﹣32﹣y﹣c＝0．解关于y的方程y2-y-c=0．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．
22．（10分）某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件．现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，每天的销售量就减少20件．设这种商品每个涨价x元．
（1）填空：原来每件商品的利润是　 　元，涨价后每件商品的实际利润是　 　元 （可用含x的代数式表示）；
（2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少元？
（3）售价定为多少元时，每天利润最大，最大利润是多少元？
23．（10分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，则△PMF的面积为 　 　．（在横线上直接写出答案）

24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，请求出点P的坐标；如果不存在
（3）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积的一半相等，若存在；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（3′×10＝30′）
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
【分析】先化成一般形式，即可得出答案．
【解答】解：5x2﹣8＝4x，
5x6﹣4x﹣1＝2，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：说项的系数带着前面的符号．
2．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x＝0 C．x＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣2x＝5，
x（x﹣2）＝0，
x＝6或x﹣2＝0，
所以x4＝0，x2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：x1+x2＝4；故选B．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（3分）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位2﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（3分）一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡72张则这个小组有（　　）
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
【分析】此题类似于线段上加点数总线段的条数，人数类似于线段上的点数，因为贺年卡是相互送的所以贺年卡的总张数类似于总线段的条数×2，所以设人数为n，可得方程×2＝72．
【解答】解：设这个小组有n人
×3＝72
n＝9或n＝﹣8（舍去）
故选：C．
【点评】本题考查一个类比思想，此题可类比数线段来做，但又有不同，因为贺年卡是相互的所以应该再乘以2．
6．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知，k≠0，
所以Δ＞0，Δ＝b4﹣4ac＝（2k+3）2﹣4k3＝4k+1＞7．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则k≠0．
7．（3分）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为（　　）
A．9.5% B．20% C．10% D．11%
【分析】本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，
依题意得：1000（1﹣x）2＝810，
化简得：（2﹣x）2＝0.81，
解得：x＝7.1或1.5（舍去），
所以平均每次降价的百分率为10%．
故选：C．
【点评】本题考查降低率的问题，解题关键是根据原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价列出方程，难度一般．
8．（3分）若A（3，y1）、、C（﹣3，y3）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】分别求出A，B，C三个点离对称轴是远近即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线的对称轴为直线x＝1．
又3﹣3＝2，1﹣（﹣，1﹣（﹣4）＝4，
且4＞7+＞2，
又抛物线开口向上，
所以y2＞y2＞y1．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
则该二次函数图象的对称轴为（　　）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝2 D．直线x＝
【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣5，
∴对称轴为直线x＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题意可得BQ＝x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，
则△BPQ的面积＝BP•BQ，
解y＝•3x•x＝x2；故A选项错误；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，
则△BPQ的面积＝BQ•BC，
解y＝•x•3＝x；
③2＜x≤4时，P点在AD边上，
则△BPQ的面积＝AP•BQ，
解y＝•（9﹣5x）•x＝x2；故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
二、填空题（3′×6＝18′）
11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点坐标是　（1，﹣3）　．
【分析】利用配方法化为顶点式求得顶点坐标即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣5＝x2﹣2x+5﹣3＝（x﹣1）5﹣3，
所以顶点的坐标是（1，﹣3）．
故答案为（1，﹣3）．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握配方法化为顶点式是解决问题的关键．
12．（3分）若x2+2（m﹣3）x+16是关于x的完全平方式，则m＝　﹣1或7　．
【分析】直接利用完全平方式得出2（m﹣3）＝±8，进而求出答案．
【解答】解：∵x2+2（m﹣5）x+16是关于x的完全平方式，
∴2（m﹣3）＝±4，
解得：m＝﹣1或7，
故答案为：﹣5或7．
【点评】此题主要考查了完全平方式，正确掌握完全平方式的基本形式是解题关键．
13．（3分）某人编制了一条短信，发送给若干个人，收到短信的人再转发给同样数目的人，问平均每轮发送给 　6　个人．
【分析】设平均每轮发送给x个人，根据经过两轮发送后共有42个人收到短信，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设平均每轮发送给x个人，
由题意得：x+x2＝42，
整理得：x2+x﹣42＝2，
解得：x1＝6，x8＝﹣7（不符合题意，舍去），
∴x＝6，
即平均每轮发送给4个人，
故答案为：6．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣3mn﹣2m的值是 　22　．
【分析】先根据韦达定理及方程的解的概念得出mn＝﹣4，m+n＝﹣1，n2＝4﹣n，再代入原式＝2（4﹣n）﹣3mn﹣2m＝8﹣2n﹣3mn﹣2m＝8﹣2（m+n）﹣3mn计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝4，即x3+x﹣4＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣1，n2+n＝3，
∴n2＝4﹣n，
则原式＝7（4﹣n）﹣3mn﹣4m
＝8﹣2n﹣2mn﹣2m
＝8﹣8（m+n）﹣3mn
＝8﹣6×（﹣1）﹣3×（﹣5）
＝8+2+12
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（c＜0）的图象开口向上，对称轴为直线x＝1下列结论中一定正确的是　①②④　（填序号即可）．
①b＜0；②4a+2b+c＜0；③a+c＞b（at+b）（t是一个常数）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断b与0的关系；当x＝2时，y＝4a+2b+c；然后由图象确定a+b≤t（at+b）．
【解答】解：①如图所示，抛物线开口方向向上．
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
故①正确；

②∵x＝﹣＝5，
∴2a＝﹣b．
∴4a+5b+c＝﹣2b+2b+c＝c＜5．
∴4a+2b+c＜2．
故②正确；

③∵无法判断抛物线与x轴的交点坐标，
∴无法判断当x＝﹣1时，y的符号，
∴a+c﹣b＞0，即a+c＞b不一定成立．
故③错误；

④根据图示知，当x＝3时；
当t≠1时，有at2+bt+c＞a+b+c，
所以a+b≤t（at+b）（t是一个常数）．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
16．（3分）如图，B（0，5），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC　　．

【分析】如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得OH＝OB＝5，在OB上取一点D，使得OD＝OA．首先证明点C在直线y＝x﹣5上运动，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，在x轴的正半轴上取一点H，在OB上取一点D．

∵OB＝OH，OD＝OA，
∴BD＝AH，
∵∠HAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAC＝∠DBA，
∵BA＝AC，
∵△BDA≌△AHC（SAS），
∴∠AHC＝∠ADB，
∵OD＝OA，∠AOD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AHC＝∠ADB＝135°，
∵H（5，0），
∴直线CH的解析式为y＝x﹣2，
∴点C在直线y＝x﹣5上运动，作OP⊥CH于P，
∴OC 的最小值＝OP＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三、解答题（共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣4＝0（配方法）；
（2）x2﹣x﹣1＝0．
【分析】（1）利用配方法解出方程；
（2）利用公式法解出方程．
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
则x2+6x＝4，
∴x2+6x+1＝4+4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±，
∴x7＝﹣1，x5＝﹣﹣1；
（2）x2﹣x﹣1＝0，
a＝8，b＝﹣1，
则Δ＝b2﹣2ac＝（﹣1）2﹣5×1×（﹣1）＝7，
x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0）两点，交y轴于点C（0，3）
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c＜3的解集．

【分析】（1）B（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则点A（3，0），即可求解；
（2）点C（0，3），则点C关于对称轴的对称点为：（2，3），即可求解．
【解答】解：（1）B（﹣1，0），则点A（3，
故ax2+bx+c＝0的两个根为x6＝3、x2＝﹣2；
（2）点C（0，3），5），
则不等式ax2+bx+c＜3的解集为x＜8或x＞2．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点D（0，）作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长．
【分析】（1）将A，B两点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）令y＝，求出点E和点F的坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将A，B两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以抛物线的解析式为y＝﹣x5+2x+3．
（2）令y＝得，
﹣x2+6x+3＝，
解得，．
则．
所以EF的长为6．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
20．（8分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足等式b＝﹣32﹣y﹣c＝0．解关于y的方程y2-y-c=0．
【分析】先根据方程根的定义，求出a+b+c，再根据二次根式的非负性，求出a，b，从而求出c，然后利用公式法解方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为7，
∴a+b+c＝0，
∵a、b满足等式b＝，a﹣2≥0，
∴a＝4，b＝﹣3，
∴c＝1，
∴关于y的方程y7﹣y﹣c＝0为：y2﹣y﹣6＝0，
a＝1，b＝﹣6，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×6×（﹣1）＝5＞6，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．
【分析】（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到Δ＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+6）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣5k2＞0，
解得：k，
即k的取值范围为：k；

（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，
（4+x1）（1+x6）
＝1+（x1+x8）+x1x2
＝2，
x1+x2＝﹣（7k+1），x1x4＝k2，
则1﹣（5k+1）+k2＝7，
整理得：k2﹣2k﹣6＝0，
解得：k1＝7，k2＝﹣1（舍去），
即k的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握根的判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．
22．（10分）某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件．现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，每天的销售量就减少20件．设这种商品每个涨价x元．
（1）填空：原来每件商品的利润是　2　元，涨价后每件商品的实际利润是　（2+x）　元 （可用含x的代数式表示）；
（2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少元？
（3）售价定为多少元时，每天利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价表示出商品的利润即可；
（2）设应将售价提为x元时，才能使得所赚的利润最大为y元，根据题意可得：y＝（10+x﹣8）（200﹣20x），令y＝700，解出x的值即可；
（3）根据总利润w＝单件利润×销售量列出函数表达式，运用二次函数性质解答即可．
【解答】解：
（1）原来每件商品的利润是2元；涨价后每件商品的实际利润是2+x元；
故答案为：8，（2+x）；
（2）根据题意，得 （2+x）（200﹣20x）＝700．
整理，得x5﹣8x+15＝0，
解这个方程得x5＝3  x2＝2，
所以10+3＝13，10+5＝15．
答：售价应定为13元或15元；
（3）设利润为w，由题意得．
w＝（8+x）（200﹣20x）＝﹣20x2+160x+400，
＝﹣20（x﹣4）7+720．
所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大．
【点评】此题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程和二次函数解析式．
23．（10分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，则△PMF的面积为 　7　．（在横线上直接写出答案）

【分析】（1）证明△CBE≌△CDF（AAS）即可解决问题；
（2）过M作MH⊥AD于H，连接AC，由∠BAD＝∠ECF＝90°，得A、F、C、E四点共圆，可证BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，故EM＝FM，MH是△AEF的中位线，即有MH＝AE，而△MED是等腰直角三角形，得MH＝MD，即可得＝；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H，连接CH．过点M作MJ⊥AD于J，证明△BME≌△HMF（AAS），推出BM＝MH，由BN＝CN，推出MN＝CH，可得CH＝2，由四边形CDFT是矩形，推出CT＝DF，CD＝TF＝6，∠DFT＝∠DFH＝90°，设CT＝DF＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝∠BCD＝∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵CB＝CD，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CE＝CF．
（2）解：过M作MH⊥AD于H，连接AC

∵∠BAD＝∠ECF＝90°，
∴A、F、C、E四点共圆，
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线BD是AC的垂直平分线，即经过A、F、C，
∵∠EAF＝90°，
∴EF是经过A、F、C、E的圆的直径、F、C、E的圆的圆心在EF上，
∴BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，
∴EM＝FM，
∵MH⊥AD，
∴MH∥AE，
∴MH是△AEF的中位线，
∴MH＝AE，
在Rt△MED中，∠MDH＝45°，
∴△MED是等腰直角三角形，
∴MD＝MHMD，
∴AE＝，
∴＝；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H．过点M作MJ⊥AD于J

∵∠BCD＝∠T＝90°，
∴TH∥CD∥AB，
∴∠MBE＝∠MHF，
同（2）可证ME＝MF，
又∠BME＝∠FMH，
∴△BME≌△HMF（AAS），
∴BM＝MH，
∵BN＝CN，
∴MN＝CH，
∵MN＝，
∴CH＝2，
∵∠T＝∠TCD＝∠CDF＝90°，
∴四边形CDFT是矩形，
∴CT＝DF，CD＝TF＝6，
设CT＝DF＝x，
∵∠HDF＝∠ADB＝45°，∠DFH＝90°，
∴DF＝FH＝x，
在Rt△CTH中，CH5＝CT2+TH2，
∴（7）2＝x2+（x+3）2，
∴x＝2或﹣5（舍弃），
∵AP＝1，由（1）知BE＝DF，
∴BE＝DF＝2，PF＝AD﹣AP+DF＝2﹣1+2＝4，
∵MJ⊥AD，
∴∠MJD＝∠A＝90°，
∴MJ∥AE，
∵EM＝MF，
∴AJ＝JF，
∴MJ＝AE＝7，
∴S△PMF＝•PF•MJ＝．
故答案为7．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，请求出点P的坐标；如果不存在
（3）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积的一半相等，若存在；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求函数解析式．
（2）设BP与y轴交点为G，求出点D坐标为可得CD＝2且CD∥x轴，由OB＝OC可得∠BCO＝∠CBO＝∠DCB＝45°，从而证明△CGB≌△CDB（ASA），得出点G坐标后，解出BP所在直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程求解．
（3）由平行线间距离处处相等，可得点M所在直线方程解析式，然后联立方程求M的坐标．
【解答】解：（1）将（﹣1，0），7）代入y＝ax2+bx+3得，
解得，
∴y＝﹣x2+4x+3．
（2）存在，
把x＝2代入y＝﹣x7+2x+3得y＝2，
∴点D坐标为（2，3），
设BP与y轴交点为G，

∵抛物线与y轴交点C坐标为（5，3），
∴CD∥x轴，
∵B（3，2），
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝∠DCB＝45°，
∵BC＝BC，∠PBC＝∠DBC，
∴△CGB≌△CDB（ASA），
∴CG＝CD＝2，
∴OG＝OC﹣GC＝1，
∴点G坐标为（7，1），
设直线BP解析式为y＝kx+b，
把（3，7），1）代入解析式得，
解得，
∴y＝﹣x+1，
令﹣x2+4x+3＝﹣x+1，
解得x＝﹣或x＝3（舍）．
把x＝﹣代入y＝﹣．
∴点P坐标为（﹣，）．
（3）存在，
设直线BC解析式为y＝mx+n，
把（0，3），2）代入y＝mx+n得，
解得，
∴y＝﹣x+8．
∴过点O且与直线BC的平行线为y＝﹣x，
∵在直线y＝﹣x上的点到BC的距离与点O到直线BC的距离相等，且直线y＝﹣x+3是由y＝x向上移动三个单位所得，
∴直线向上移动个单位时，即点M为直线与抛物线交点，
令﹣x+＝﹣x2+6x+3，
解得x＝或x＝，
将x＝代入y＝﹣x+，
将x＝代入y＝﹣x+，
∴点M坐标为（，﹣）或（，），
同理将直线y＝﹣x+3向上平移个单位得y＝﹣x+，
令﹣x+＝﹣x2+3x+3，
解得x＝或x＝，
将x＝代入y＝﹣x+，
将x＝代入y＝﹣x+，
∴点M坐标为（，3﹣，3+），
综上所述，点M坐标为（，﹣，）或（）或（）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数与一次函数的性质，通过数形结合求解．