湖北省黄冈市黄梅县部分学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份湖北省黄冈市黄梅县部分学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖北省黄冈市黄梅县部分学校八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．9，3，5 C．4，5，6 D．4，5，10
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　）

A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）

A．78° B．80° C．82° D．84°
5．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（　　）
A．∠A＝∠D，BC＝EF，AB＝DE
B．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF
C．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
D．∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF
6．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（　　）

A．480° B．500o C．540o D．600o
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．50°
8．如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，△ABC≌△ADE，AB＝8，AC＝5，BC＝6，则CD＝　 　．

12．如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于 　 　．

13．如图，点E、F分别为BD、CE的中点，若△ABC的面积为32，则阴影部分△AEF的面积是 　 　．

14．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件　 　．（只要求写出一个）

15．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，连结DE．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAD的度数为 　 　．

16．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　 　．

17．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为　 　．
18．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1＝　 　；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值最大为　 　．

三、解答题（本题7小题，共66分）
19．已知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
20．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF．求证：∠ABC＝∠EDF．

21．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．


22．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．

23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）已知AC＝12，BE＝2，求AB的长．

24．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．

25．在四边形ABCD中．

（1）如图1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF．连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，他的结论是 　 　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组线段中，能构成三角形的是（　　）
A．2，5，7 B．9，3，5 C．4，5，6 D．4，5，10
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．
A、2+5＝7，不能构成三角形，此项不符题意；
B、3+5＝8＜9，不能构成三角形，此项不符题意；
C、4+5＞6，能构成三角形，此项符合题意；
D、4+5＜10，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（　　）

A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
解：根据题意知，从△ABD的一个顶点D向底边AB作垂线，垂足A与顶点D之间的线段叫做三角形的高．即AD是△ABD的高，即②正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，掌握三角形的高的概念即可解题，属于基础题．
3．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的数学原理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　）

A．78° B．80° C．82° D．84°
【分析】设∠1＝∠2＝x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．
解：设∠1＝∠2＝x，
∵∠4＝∠3＝∠1+∠2＝2x，
∴∠DAC＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝108°，
∴x+180°﹣4x＝108°，
∴x＝24°，
∴∠DAC＝180°﹣4×24°＝84°．
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
5．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（　　）
A．∠A＝∠D，BC＝EF，AB＝DE
B．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF
C．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
D．∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，进行判断即可；
解：A、利用SSA，不能判断两个三角形全等，符合题意；
B、利用SAS，得到两个三角形全等，不符合题意；
C、利用SSS，得到两个三角形全等，不符合题意；
D、利用HL，得到两个三角形全等，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
6．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（　　）

A．480° B．500o C．540o D．600o
【分析】由四边形的内角和得，∠2+∠3+∠5+∠8＝360°，∠6+∠7+∠9+∠10＝360°，再根据∠8+∠9＝180°，∠10＝∠1+∠4，代入整理即可．
解：如图，

由四边形的内角和得，∠2+∠3+∠5+∠8＝360°，∠6+∠7+∠9+∠10＝360°，
∴∠2+∠3+∠5+∠8+∠6+∠7+∠9+∠10＝720°，
∵∠8+∠9＝180°，∠10＝∠1+∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠5+∠4+∠6+∠7＝720°﹣180°＝540°，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握四边形的内角和与三角形外角的性质是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，△ABC≌△A'BC'，过点C作CD⊥BC'，垂足为D，若∠ABA'＝55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠ABC＝∠A′BC′，可得∠DBC＝∠ABA'＝55°，根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．
解：∵△ABC≌△A'BC'，
∴∠ABC＝∠A′BC′，
∴∠ABC﹣∠A′BC＝∠A′BC′﹣∠A′BC，
∴∠DBC＝∠ABA'＝55°，
∵CD⊥BC'，
∴∠BCD＝90°﹣∠DBC＝35°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和垂线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
9．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（　　）

A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．
解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；
在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；
∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，以下结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC＝∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC＝∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF＝∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明AF＝FB，故④错误，
∴正确结论的有①②③，共3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，△ABC≌△ADE，AB＝8，AC＝5，BC＝6，则CD＝　3　．

【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
解：∵△ABC≌△ADE，AB＝8，AC＝5，BC＝6，
∴AD＝AB＝8，
∴CD＝AD﹣AC＝8﹣5＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．
12．如图，五边形ABCDE的一个内角∠A＝110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于 　290°　．

【分析】根据∠A＝110°，所以∠A的外角为180°﹣110°＝70°，用五边形的外角和减去70°即可解答．
解：∵∠A＝110°，
∴∠A的外角为180°﹣110°＝70°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣70°＝290°，
故答案为：290°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，关键是得出∠D的外角度数及外角和为360°．
13．如图，点E、F分别为BD、CE的中点，若△ABC的面积为32，则阴影部分△AEF的面积是 　8　．

【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【解答】解∵E是BD的中点，
∴S△ADE＝S△ABE，S△CDE＝S△BCE，
∴S△ACE＝S△ADE+S△CDE＝S△ABE+S△BCE＝S△ABC＝16，
∵F是CE的中点，
∴S△AEF＝S△ACE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
14．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，若要判定△ABE≌△ACD，则需添加条件　AD＝AE　．（只要求写出一个）

【分析】添加条件：AD＝AE，再由已知条件AB＝AC和公共角∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD．
解：添加条件：AD＝AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD＝AE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，连结DE．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAD的度数为 　28°　．

【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，由BD平分∠ABC，利用角平分线的定义，可求出∠ABD的度数，在Rt△ABF中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAF的度数，再结合∠EAD＝∠BAC﹣∠BAF，即可求出∠EAD的度数．
解：在△ABC中，∠ABC＝36°，∠C＝44°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣36°﹣44°＝100°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝×36°＝18°．
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABD＝90°﹣18°＝72°，
∴∠EAD＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°．
故答案为：28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
16．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝8，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若EF＝BF，则图中阴影部分的面积为 　24　．

【分析】证明△BAF≌△EDF（AAS），则S△BAF＝S△DEF，利用割补法可得阴影部分的面积．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
在△BAF和△EDF中，
，
∴△BAF≌△EDF（AAS），
∴S△BAF＝S△DEF，
∴图中阴影部分的面积＝S四边形ACEF+S△AFB＝S△ACD＝＝＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定是关键．
17．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为　15，16，17　．
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．
解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝2520°，
解得n＝16，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是15，16，17．
故答案为：15，16，17．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．
18．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1＝　32°　；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值最大为　6　．

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．
解：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，
∴∠A1＝∠A＝64°＝32°；
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A1＝2∠A2，
∴∠A2＝∠A，
∴∠A＝2n∠An，
∴∠An＝（）n∠A＝，
∵∠An的度数为整数，
∵n＝6．
故答案为：32°，6．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
三、解答题（本题7小题，共66分）
19．已知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【分析】（1）根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数n；
（2）根据多边形的内角和公式求解即可．
解：（1）多边形的边数n：360°÷30°＝12，
则n＝12．
（2）这个n边形的内角和为：（12﹣2）×180°＝1800°．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
20．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF．求证：∠ABC＝∠EDF．

【分析】根据等式的性质证得AB＝ED，然后利用SSS证明两三角形全等即可．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+DB＝BE+DB，即AB＝ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS），
∴∠ABC＝∠EDF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择最合适的方法证明两三角形全等．
21．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数．


【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CAE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，即可求得∠DAE；
（2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝85°，∠CGE＝25°，从而可得∠AGF＝∠CGE＝25°，由角平分线的性质可得∠CAD＝42.5°，从而可得∠FAG＝137.5°，由三角形内角和定理即可求得∠DFE．
解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝17.5°；
（2）如图，

∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∴∠FAG＝180°﹣∠CAD＝137.5°，
∵EF⊥BC，
∴∠CGE＝25°，
∴∠AGF＝25°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AGF﹣∠FAG＝17.5°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，角平分线的性质．
22．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．

【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出∠A＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；

（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）已知AC＝12，BE＝2，求AB的长．

【分析】（1）由“HL”可证Rt△DBE≌Rt△DCF；
（2）根据全等三角形的性质得到DE＝DF，又由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）．
（2）解：∵Rt△DBE≌Rt△DCF，
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DAE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△DAF（HL），
∴AE＝AF，
∵AC＝12，BE＝CF＝2，
∴AB＝AE﹣BE＝AC﹣CF﹣BE＝12﹣2﹣2＝8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC＝AB．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠F，然后求出∠1＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠F，∠1＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；

（2）证明：∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
25．在四边形ABCD中．

（1）如图1，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，探究图中EF，BE，DF之间的数量关系．
小林同学探究此问题的方法是：延长CB到点G，使BG＝DF．连接AG，先对比△ABG与△ADF的关系，再对比△AEF与△AEG的关系，可得出EF、BE、DF之间的数量关系，他的结论是 　EF＝BE+DF　；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADF＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠DAB，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点F在CB的延长线上，点E在CD的延长线上，若EF＝BF+DE，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得结论；
（2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得结论；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BF，连接AG，先判定△ADG≌△ABF，再判定△AFE≌△AGE，得出∠FAE＝∠EAG，最后根据∠FAE+∠EAG+∠GAF＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论．
解：（1）结论：EF＝BE+DF．
理由：如图1，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG，

在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AF＝AG，
∴∠FAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SSS），
∴EF＝EG＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF；

（2）仍成立，理由：
如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，

∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠FAG＝∠DAB，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SSS），
∴EF＝EG＝BE+DF；

（3）结论：∠EAF＝180°﹣∠DAB．
理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BF，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABF＝180°，
∴∠ADC＝∠ABF，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴AG＝AF，∠DAG＝∠BAF，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SSS），
∴∠FAE＝∠EAG，
∵∠FAE+∠EAG+∠GAF＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAF）＝360°，
∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，
即2∠FAE+∠DAB＝360°，
∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．