2022-2023学年山西省运城市平陆县九年级（上）期中数学试卷及答案

2022-2023学年山西省运城市平陆县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．（3分）一元二次方程的一次项系数是　　

A．2 B．6 C． D．

2．（3分）下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法正确的是　　

A．是圆心角 B．是的弦 C．是圆周角 D．

4．（3分）某种商品每天的销售利润（元与单价（元之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为　　

A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元

5．（3分）在如图所示的方格纸格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到△，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　　

A． B． C． D．

6．（3分）将抛物线向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

7．（3分）某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则表示的意义是　　

A．该厂二月份的增长率 

B．该厂三月份的增长率 

C．该厂一、二月份平均每月的增长率 

D．该厂二、三月份平均每月的增长率

8．（3分）如图，点从右向左运动的运动路线在抛物线上，点第一次到达轴时的坐标为，则当点再次到达轴时的坐标为　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，为线段的中点，点，，到点的距离相等．则与的数量关系为　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）若二次函数的图象开口向下，则的值为 　　．

12．（3分）在平面直角坐标系内，若点和点关于原点对称，则的值为　 　．

13．（3分）如图，点，，在上，，则的度数为 　　．

14．（3分）如图，在中，、，将绕点顺时针旋转得到、则的长为 　　．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，．当线段最长时，点的坐标为 　　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）解方程：．

（2）如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．求的度数．

17．（8分）疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260．若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．

18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求顶点的坐标．

（2）求的面积．

19．（8分）关于的一元二次方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，求此方程的根．

20．（8分）已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．

（1）求证：；

（2）若，，求四边形的面积．

21．（8分）如图，是半的直径，，是圆上两点，且，与交于点．

（1）求证：为的中点．

（2）若，，求的长度．

22．（13分）已知抛物线是常数）．

（1）用含的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标．

（2）当二次函数图象的顶点在轴上时，求的值及此时顶点的坐标．

（3）小明研究发现：无论取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．

23．（13分）综合与实践：

已知与均为等腰直角三角形，其中，连接，是的中点，连接，．

【初步感知】（1）如图1，当，，三点在同一直线上时，和的数量关系为 　　，位置关系为 　　．

【深入探究】（2）如图2，当，，三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．

【拓展提高】（3）如图3，若等腰直角绕点逆时针旋转，当恰好与平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．

2022-2023学年山西省运城市平陆县九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．（3分）一元二次方程的一次项系数是　　

A．2 B．6 C． D．

【答案】

【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项，再找出一次项系数即可．

【解答】解：一元二次方程的一次项系数是．

故选：．

2．（3分）下列是部分星座的符号，其中是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】

【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．

【解答】解：．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．是中心对称图形，故本选项符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：．

3．（3分）如图，是的直径，为圆内一点，则下列说法正确的是　　

A．是圆心角 B．是的弦 C．是圆周角 D．

【答案】

【分析】根据圆心角、圆周角、弦的概念以及三角形的三边关系判断即可．

【解答】解：、顶点在圆心的角叫圆心角，故是圆心角，故选项符合题意；

、弦是连接圆上任意两点的线段，故不是的弦，故选项不符合题意；

、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角，故不是圆周角，故不符合题意；

、根据三角形的三边关系可得，故不符合题意．

故选：．

4．（3分）某种商品每天的销售利润（元与单价（元之间的函数关系式为．则这种商品每天的最大利润为　　

A．0.1元 B．3元 C．25元 D．75元

【答案】

【分析】由函数解析式，根据函数的性质求最值．

【解答】解：，

当时，有最大值，最大值为25，

故选：．

5．（3分）在如图所示的方格纸格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到△，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据旋转角的概念找到是旋转角，从图形中可求出其度数．

【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且，

故选：．

6．（3分）将抛物线向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：将抛物线向右平移3个单位长度．再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：．即．

故选：．

7．（3分）某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则表示的意义是　　

A．该厂二月份的增长率 

B．该厂三月份的增长率 

C．该厂一、二月份平均每月的增长率 

D．该厂二、三月份平均每月的增长率

【答案】

【分析】根据所列方程，可找出该厂2月份生产口罩万箱，3月份生产口罩万箱，进而可得出表示该厂二、三月份平均每月的增长率．

【解答】解：依题意可知：该厂2月份生产口罩万箱，3月份生产口罩万箱，

表示该厂二、三月份平均每月的增长率．

故选：．

8．（3分）如图，点从右向左运动的运动路线在抛物线上，点第一次到达轴时的坐标为，则当点再次到达轴时的坐标为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】利用二次函数的对称性即可求解．

【解答】解：抛物线开口向上，对称轴为直线，

关于直线的对称点为，

点再次到达轴时的坐标为，

故选：．

9．（3分）如图，为线段的中点，点，，到点的距离相等．则与的数量关系为　　

A． B． C． D．

【答案】

【分析】根据题意得到四点、、、共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．

【解答】解：由题意得到，作出圆，如图所示，

四边形为圆的内接四边形，

，

故选：．

10．（3分）如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论，其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】

【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个结论是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：由图象可得，该抛物线与轴有两个交点，则，则，故甲正确；

由图象可知，当时，或，故乙错误；

抛物线与轴相交于点、，

该抛物线的对称轴是直线，

，

，故丙错误；

由图象可得，当时，，

，即，故丁正确；

故选：．

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11．（3分）若二次函数的图象开口向下，则的值为 　　．

【答案】．

【分析】由二次函数的定义可得，由二次函数图象开口向下可得．

【解答】解：为二次函数，

，

．

故答案为：．

12．（3分）在平面直角坐标系内，若点和点关于原点对称，则的值为　　．

【分析】根据关于原点对称点的性质得出，的值进而求出答案．

【解答】解：点和点关于原点对称，

，，

则的值为：．

故答案为：．

13．（3分）如图，点，，在上，，则的度数为 　　．

【答案】．

【分析】根据圆周角定理求解即可．

【解答】解：，

．

故答案为：．

14．（3分）如图，在中，、，将绕点顺时针旋转得到、则的长为 　　．

【答案】．

【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质以及勾股定理即可得到结论．

【解答】解：在中，、，

，，

，

将绕点顺时针旋转得到，

，，

，

，

故答案为：．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，．当线段最长时，点的坐标为 　　．

【答案】．

【分析】利用三角形面积公式得到，则，利用二次函数的性质可判断当时，最大，的最大值为6，然后写出点的坐标．

【解答】解：．

，

，

当时，最大，的最大值为6，

此时点的坐标为．

故答案为：．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（10分）（1）解方程：．

（2）如图，已知，把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．求的度数．

【答案】（1），；

（2）．

【分析】（1）根据解一元二次方程因式分解法解方程即可；

（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质解答即可．

【解答】解：（1）解方程：．

，

，；

（2），把绕着点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合，

，，

．

17．（8分）疫情期间“停课不停学”，因此王老师在线上开通公众号进行公益授课，4月份该公众号关注人数为6000，6月份该公众号关注人数达到7260．若从4月份到6月份，每月该公众号关注人数的平均增长率都相同，求该公众号关注人数的月平均增长率．

【答案】．

【分析】设该公众号关注人数的月平均增长率为，利用6月份该公众号关注人数月份该公众号关注人数该公众号关注人数的月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．

【解答】解：设该公众号关注人数的月平均增长率为，

根据题意得：，

解得：，（不符合题意，舍去），

答：该公众号关注人数的月平均增长率．

18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求顶点的坐标．

（2）求的面积．

【答案】（1）顶点的坐标为，；

（2）的面积为3．

【分析】（1）把函数解析式化为顶点式即可；

（2）令求出、点坐标，令求出点坐标，即可求出和的长度，再利用三角形面积公式即可．

【解答】解：（1），

顶点的坐标为，；

（2）令，即，

解得，，，

，，

，

令，则，

，

，

．

19．（8分）关于的一元二次方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若为正整数，求此方程的根．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可；

（2）利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1）根据题意得且△，

解得且；

（2）为正整数，

，

原方程变形为，解得，．

20．（8分）已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．

（1）求证：；

（2）若，，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析；

（2）24．

【分析】（1）根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，根据菱形的性质得到，设，交于，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式即可得到结论．

【解答】（1）证明：将绕点旋转一定角度得到，

，，

，

，

，

在与中，

，

；

（2）解：由（1）知，，

，

，，

，

四边形是菱形，

，

设，交于，

，

，

，

四边形的面积．

21．（8分）如图，是半的直径，，是圆上两点，且，与交于点．

（1）求证：为的中点．

（2）若，，求的长度．

【答案】（1）详见解答；

（2）．

【分析】（1）根据圆周角定理以及平行线的性质可得，再根据垂径定理可得结论；

（2）利用三角形中位线定理以及勾股定理列方程求解即可．

【解答】（1）证明：是半的直径，是圆上一点，

，即，

，

，

，

即为的中点；

（2）解：设半径为，则，，

，，

是的中位线，

，

在中，由勾股定理得，

，

即，

解得，

．

22．（13分）已知抛物线是常数）．

（1）用含的代数式表示该二次函数图象的顶点坐标．

（2）当二次函数图象的顶点在轴上时，求的值及此时顶点的坐标．

（3）小明研究发现：无论取何值，抛物线的顶点都在同一条直线上．请写出这条直线的解析式，并加以证明．

【答案】（1）；

（2），顶点的坐标为；

（3）．

【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式即可求得答案；

（2）由顶点在轴上，可得到关于的方程，则可求得的值，可求得顶点坐标；

（3）由顶点坐标消去可得到、满足的条件，则可求得答案．

【解答】解：（1），

该二次函数图象的顶点坐标为；

（2）当二次函数图象顶点在轴上时，，

解得：，

此时顶点的坐标为；

（3）直线的函数表达式为，证明如下：

将，代入满足，

取不同值时，点都在一次函数的图象上

即顶点所在的直线的函数表达式为．

23．（13分）综合与实践：

已知与均为等腰直角三角形，其中，连接，是的中点，连接，．

【初步感知】（1）如图1，当，，三点在同一直线上时，和的数量关系为 　　，位置关系为 　　．

【深入探究】（2）如图2，当，，三点在同一直线上时，（1）中得到的结论成立吗？请加以证明．

【拓展提高】（3）如图3，若等腰直角绕点逆时针旋转，当恰好与平行时，（1）中得到的结论还成立吗？请加以证明．

【答案】（1），；

（2）成立，理由见解析；

（3）成立，理由见解析．

【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得，则，同理，则，，然后证，得即可；

（2）延长交于，证，得，，再证是等腰直角三角形，即可解决问题；

（3）过点作，交延长线于，连接、，先证，得，，再证，得，，然后证是等腰直角三角形，即可解决问题．

【解答】解：（1）和的数量关系为：，位置关系为：，理由如下：

，是的中点，

，

，

，，，三点在同一直线上，

，

是的中点，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

，，

，

，

故答案为：，；

（2）（1）中得到的结论成立，理由如下：

延长交于，如图2所示：

，

，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

与均为等腰直角三角形，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，；

（3）（1）中得到的结论还成立，理由如下：

过点作，交延长线于，连接、，如图3所示：

则，

，，

，，

，

是的中点，

，

在和中，

，

，

，，

与均为等腰直角三角形，

，，，

，，

，

，，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

即，

是等腰直角三角形，

，

，．

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