四川省成都市双流区双流棠湖中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

棠湖中学2023年秋期高一第一学月考试

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简集合A，进而求补集即可.

【详解】∵，又，

∴，

故选C

【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.

2. 若，则“”是“”的（　　）条件

A. 充分而不必要 B. 必要而不充分

C. 充要 D. 既不充分又不必要

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分必要条件的判断方法进行判断即可得解.

【详解】当时，成立，即充分性成立；

当时，，则不一定成立，即必要性不成立；

所以“是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

3. 如果，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，依次判断选项，举出反例可得中不能恒成立，由，结合即可证明成立.

【详解】根据题意，依次判断选项：

对于A，当时，不成立，

对于B，当时，不成立，

对于C，当时，不成立，

对于D，若，而，必有恒成立，

故选：D.

4. 如图中的阴影部分表示的集合是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据图和集合之间的关系进行判断.

【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于或不属于的元素构成，

所以用集合表示为.

故选：B.

【点睛】本题主要考查图表达集合的关系和运算，比较基础.

5. 已知集合，，则满足的集合的个数为（    ）

A. 4 B. 8 C. 7 D. 16

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设列举法表示出集合，再由集合的包含关系，判断元素与集合的关系得只需讨论元素是否为集合的元素研究集合即可.

【详解】由题设，，又，

所以，只需讨论元素是否为集合的元素研究集合的个数，即可得结果，

所以集合的个数为.

故选：B

6. 已知正实数a、b满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.

【详解】由，则，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：A.

7. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.

【详解】由题意可得：命题“”为真命题，

即对恒成立，

则，解得或，

即实数的取值范围为或，

故选：C.

8. 已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，分析可得原题意等价于对一切，恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.

【详解】∵，，则，

∴，

又∵，且，

可得，

令，则原题意等价于对一切，恒成立，

∵的开口向下，对称轴，

则当时，取到最大值，

故实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】结论点睛：

对，恒成立，等价于；

对，恒成立，等价于.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列各组中M、P表示不同集合的是（    ）

A. ，

B.

C. ，

D. ，

【答案】BD

【解析】

【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.

【详解】选项A中，根据集合的无序性可知；

选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；

选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P；

选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故．

故选：BD．

10. 已知，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断AB选项；根据推理法判断C选项；根据特殊值的思路判断D选项.

【详解】因为，则，，故AB正确；

在的前提下，若成立，则成立，则成立，而成立，所以成立，故C正确；

当，时，，，故D错.

故选：ABC.

11. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】先由题意及根与系数关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.

【详解】因为不等式的解集为，

所以，故，此时，所以A正确, B正确；

，解得：或.所以D正确；C错误.

故选：ABD

12. （多选题）已知，，，则的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】转化条件，则且,分和打开，然后用基本不等式求出其最值，从而得到答案.

【详解】由，得，则且.

当时,=

=.

当且仅当，即时取等号.

当时,=

=.

当且仅当即时取等号.

综上，.

故选：CD.

第II卷 非选择题

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 方程组解集中含有两个元素，则的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

在方程组中消去，得出，由题意可知，关于的一元二次方程有两个实数解，得出，解出即可.

【详解】将代入得，

由题意可知，关于的一元二次方程有两个实数解，

，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用二元二次方程组解集元素个数求参数，将问题转化为一元二次方程根的个数问题是解题的关键，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于基础题.

14. 已知命题,使得是假命题，则实数的最大值是____________

【答案】

【解析】

【分析】由命题“，使得”是假命题，得“，使得”是真命题，从而可求出结果.

【详解】因为命题“，使得”是假命题，

所以“，使得”是真命题，

故.

【点睛】本题主要考查根据命题真假判断参数的范围，属于基础题型.

15. 某班共人，其中人喜欢篮球，人喜欢乒乓球，人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为______．

【答案】

【解析】

【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案.

【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球人数为，则，解得.

故答案为：.

16. 已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.

【详解】∵表示不超过的最大整数，

∴，，即，

又是的充分不必要条件，，

∴AB，故，即的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知．

（1）求证：；

（2）求证：．

【答案】（1）证明过程见解析；   

（2）证明过程见解析.

【解析】

【分析】作差法证明不等式即可.

【小问1详解】

，

所以，证毕.

【小问2详解】

，

因为，所以，

又因为，

所以，

所以.

18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：已知集合，，              .求满足条件的实数的取值集合.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】选①，按a是否为0分类讨论即可；选②，根据条件确定出集合B中元素即可；选③，利用集合A中元素都不在集合B中，列式解之即可作答.

【详解】选①，因为，，，

于是当时，，符合题意，即，

当时，，则有或，解得或，

所以的取值集合为；

选②，因为，，，

于是得，且，则，且，即，解得，

所以的取值集合为；

选③，因为，，

则有，且，即，且，解得，且，

所以的取值集合为且.

19. 已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）先利用分式不等式的解法求出集合，然后由并集的定义求解即可；

（2）利用，得到，然后由子集的定义，列出不等关系，求解即可．

【详解】解：（1）因为集合，

当时，，

所以；

（2）因为，所以，

①当时，则，解得；

②当时，则有，解得．

综上所述，的取值范围为，．

20. 已知集合，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）解方程可得或，利用分类讨论即可；（2）由，所以，列出不等式，即可求出的取值范围.

【详解】解方程可得或，

当时，；当时，.

（1）由题可知，当时，，显然不符合；

当时，因为，所以，，所以，所以或，所以实数的取值范围为.

（2）因为，所以，当时，显然满足题意；

当时，由，所以，，所以，所以，所以实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查集合之间的关系，解题的关键是熟练掌握集合与元素，集合与集合间关系.

21. 在对某老旧小区污水分流改造时，需要给该小区重新建造一座底面为矩形且容积为立方米的三级污水处理池（平面图如图所示），有关部门为了建造此污水处理池拨款万元.已知池的深度为米，如果池四周围墙的建造单价为元/平方米，中间两道隔墙的建造单价为元/平方米，池底的建造单价为元/平方米，池盖的建造单价为元/平方米，建造此污水处理池相关人员的劳务费以及其他费用是元（水池所有墙的厚度以及池底池盖的厚度按相关规定执行，计算时忽略不计）

（1）如果将污水处理池的宽建成米，那么万元的拨款是否够用？

（2）能否通过合理的设计污水处理池的长和宽，使拨款够用？并说明你的理由.

【答案】（1）不够用    （2）将污水处理池建成长为米，宽为米时拨款刚好够用，理由见解析

【解析】

分析】（1）根据题意结合单价直接计算即可得出；

（2）设污水处理池的宽为米，表示出总费用，利用基本不等式可求.

【小问1详解】

（1）如果将污水处理池的宽建成米，则长为（米）.

建造总费用为：

（元）.

因为，

所以如果污水处理池的宽建成米，那么万元的拨款是不够用的.

【小问2详解】

设污水处理池的宽为米，建造总费用为元，则污水处理池的长为米.

则

.

因为，等号仅当，即时成立，

所以时建造总费用取最小值，

所以将污水处理池建成长为米，宽为米时，建造总费用最低，最低为元，此时拨款刚好够用.

22. 设二次函数，，的最小值为，方程的两个根分别为、．

（1）求的值；

（2）若关于的不等式的解集为，函数在上不存在最小值，求的取值范围；

（3）若，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）由已知可得，利用配方法可求得该函数的最小值，即可求得的值；

（2）设，则，且，根据题意可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围；

（3）分析可得，，利用函数的单调性可得出的取值范围.

【小问1详解】

由题意可知，

所以，，可得.

【小问2详解】

不妨设，则，

则在上不存在最小值，

所以，或，

因为，且，可得.

【小问3详解】

，，所以，，

因为，若，则，不合乎题意，

所以，，则，

当时，由于函数、均为增函数，

故函数在上单调递增，所以，.