中考数学二轮复习核心考点专题专题24锐角三角函数与几何图形的综合含解析答案

这是一份中考数学二轮复习核心考点专题专题24锐角三角函数与几何图形的综合含解析答案，共28页。试卷主要包含了如图，点O是正方形的中心，，如图，在Rt中，，，【问题背景】等内容，欢迎下载使用。
专题24�锐角三角函数与几何图形的综合
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
得分



一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（    ）

A． B．
C． D．
2．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　）

A． B． C． D．

评卷人
得分



二、填空题
3．如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为 ．

4．如图，在矩形中，为上的点，，，则 ．


评卷人
得分



三、解答题
5．如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，则的值为_______．
6．把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．

(1)求∠B'EE'的度数；
(2)求∠DAC的正切值．
7．如图，中， 是边上的中线，分别过点作的平行线交于点且交于点连接

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若 求菱形的面积．
8．如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求．

9．【问题背景】
如图1，在边长为1的正方形网格中，连结格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连结格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连结AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为　 　．
【探索延伸】
如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．

10．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的每个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且， ．

(1)在图中补齐四边形；
(2)直接写出四边形的面积为　　　；
(3)连，求．
11．已知：PA=，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

12．如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足．

(1)求证：是的切线；
(2)若是的平分线，，，求的半径．
13．如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
14．如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．

(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
15．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chord of contact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．

(1)为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图1，P是外一点，__________．
求证：__________．
(2)如图2，在（1）的条件下，CD是的直径，连接AD，BC，若，，，求OP的长．
16．如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．


参考答案：
1．D
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，

∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=10，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，
在Rt△BEG中，tan∠ABE=，BE=10，
∴sin∠ABE=，即，
∴EG=8，BG=6，
∴AG=4，
∴点E的坐标为(4，12)，
根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，
点H的坐标为(，)，点D的坐标为(，)，
∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，
设直线l的解析式为y=kx+b，
把(5，2)，(2，8)代入得，
解得：，
∴直线l的解析式为y=-2x+12，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，矩形和菱形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．C
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，设，则，，在中利用勾股定理列方程，即可求出的值，进而可得．
【详解】四边形是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、折叠的性质、勾股定理等，解题关键是利用矩形和折叠的性质得到．
3．
【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，
∵，，
∴
∴AG＝AB＝，
∴BG＝，
∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，
∴∠EGD＝∠HDF
∵∠AGB＝∠EGD，
∴∠AGB＝∠HDF，
在△ABG和△HFD中，，
∴△ABG≌△HFD（AAS），
∴AG＝DH，AB＝HF，
∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，
∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，
在△BCM和△FHM中，，
∴△BCM≌△FHM（AAS），
∴MH＝MC＝CD，BM＝FM，
∴DH＝MH，
∵FH⊥CD，
∴DF＝FM，
∴BG＝DF＝FM＝BM＝，
∴BF＝，
∵M是BF中点，O是BD中点，△BEF是直角三角形，
∴OM＝，EM＝，
∵BD＝，△BED是直角三角形，
∴EO＝，
∴的周长＝EO＋OM＋EM＝3＋＋，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
4．/
【详解】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形；
（2）解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．
6．(1)22.5°
(2)tan∠DAC＝

【分析】（1）由折叠的性质可证明四边形ABEB'为正方形．△AEE'为等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠AE'E＝67.5°，进而∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝22.5°；
（2）设正方形ABEB'的边长为a，由勾股定理得AE＝＝AE'，B'E'＝AE'﹣AB'＝，由同角的余角相等可推出∠DAC＝∠B'EE'，由此tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝，即可求得答案．
【详解】（1）解：由折叠性质可知，∠ABE＝∠AB'E＝90°，AB＝AB'，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAB'＝90°，
∴四边形ABEB'为矩形，
又∵AB＝AB'，
∴四边形ABEB'为正方形，
∴∠B'AE＝∠AEB'＝45°，
又∵沿AC折叠，点E也落到AD上，
∴AE＝AE'，
∴∠AEE'＝∠AE'E＝＝67.5°，
∴∠B'EE'＝∠AEE'﹣∠AEB'＝67.5°﹣45°＝22.5°．
（2）设正方形ABEB'的边长为a，如图所示：

则AB＝BE＝EB'＝B'A＝a，AE＝＝AE'，
∴B'E'＝AE'﹣AB'＝，
由折叠可知，AC垂直平分EE'，
∴∠DAC+∠AE'F＝90°，
又∵∠B'EE'+∠AE'E＝90°，
∴∠DAC＝∠B'EE'，
∴tan∠DAC＝tan∠B'EE'＝＝＝．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练正方形的判定和性质是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)20

【分析】（1）根据得出E且在中，根据是边上的中线，得出四边形是平行四边形，求出从而得出四边形是菱形．
（2）在Rt△ABC中，根据设得出再根据勾股定理求出的值，因为四边形是平行四边形，得最后根据代值计算即可．
【详解】（1）
∴四边形是平行四边形，
且
在中，是边上的中线，


∴四边形是平行四边形，




∴四边形是菱形；
（2）在中，
设

由勾股定理得：

∵四边形是平行四边形，


【点睛】本题主要考查了菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
8．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【详解】小正方形面积为20，大正方形面积为100，
小正方形的边长是，大正方形的边长是10，

即，，
，，
，
，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角形函数的定义，利用三角函数的定义表示直角三角形的边解题的关键．
9．【问题背景】3；【探索延伸】sin∠APD＝ .
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用正切函数的定义求出tan∠ABE即可．
（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．先证明四边形ABCE是平行四边形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割补法求出△ECD的面积＝，由勾股定理求出CE＝，那么根据三角形的面积公式得出DM＝，然后利用正弦函数定义求出sin∠ECD即可．
【详解】解：（1）如图1，
∵BE∥CD，
∴∠ABE＝∠CPB，
∴tan∠ABE＝tan∠CPB，
∵∠AEB＝90°，
∴tan∠CPB＝tan∠ABE＝＝3，
故答案为3．
（2）如图2，连接CE，DE，作DM⊥CE于M．

∵BC∥AE，BC＝AE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB，
∴∠APD＝∠ECD．
∵△ECD的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×1×3＝，
∴CE•DM＝，
∵CE＝，
∴DM＝，
∴sin∠APD＝sin∠ECD＝．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，有一定难度．
10．(1)见解析
(2)16
(3)2

【分析】（1）由， ，利用勾股定理以及网格特点即可确定点位置，即可求解；
（2）所求四边形的面积等于长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面积；
（3）利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理得出，再根据正切函数的定义求解．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）

，
故答案为：16；
（3）如图，

∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了网格与几何问题，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，锐角三角函数定义，难度适中．确定出D点的位置是解题的关键．
11．（1），；（2）的最大值为6
【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB=180°-∠APP'=135°．
【详解】(1)①

如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，
∴AE＝PE＝×＝1，
∵PB＝4，
∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝．
②解法一：

如图，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′＝PA＝2，
∴PD＝P′B＝＝＝；
解法二：

如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．
在Rt△PDF中，可得，
PD＝＝＝．
(2)如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝  PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）

此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．
【点睛】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中通过添加辅助线，确定P′B取得最大值时点P′的位置．
12．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，与相交于点，如图，由，可得，根据圆周角定理可得，由已知，可得，根据三角形内角和定理可得，等量代换可得，即可得出答案；
（2）根据角平分线的定义可得，由已知可得，根据垂径定理可得，，，在中，根据正弦定理可得，即可算出的长度，根据勾股定理可算出的长度，设的半径为，则，在中，，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，与相交于点，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是的平分线，
，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，
，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
13．(1)相切，证明见详解
(2)6

【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论；
（2）分别作交AB于点M，交AB于N，根据求出OP，AP的长，利用垂径定理求出AB的长，进而求出BP的长，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：

，
，，
，
，
，即，
，
，
为半径，经过点O，
直线与的位置关系是相切．
（2）分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示：

，
，
，，

，，
，
，
，

，
．
【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．
14．(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为．

【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接OD

∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵

解得，（舍去）
∴

∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
15．(1)PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB
(2)OP的长为

【分析】（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP=∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答．
【详解】（1）解：已知：如图，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，
求证：OP垂直平分AB，
证明：连接OA、OB，

∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP=∠BOP，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分AB；
故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；
（2）解：连接OA、OB，

∵OA=OD，
∴∠ADC=∠DAO=50°，
∴∠AOD=180°-∠ADC-∠DAO=80°，
∵OB=OC，
∴∠DCB=∠OBC=70°，
∴∠BOC=180°-∠DCB-∠OBC=40°，
∴∠AOB=180°-∠AOD-∠BOC=60°，
由（1）得：
∠BOP=∠AOP=∠AOB=30°，
∵∠OBP=90°，OB=OC=2，
∴OP=，
∴OP的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
16．（1）相切，见解析；（2）
【分析】（1）如图1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．求出OE的长，与半径半径，可得结论．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．利用面积法求出BP，可得结论．
【详解】解：（1）如图1﹣1中，连接AP，过点O作OH⊥AB于H，交CD于E．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°，
∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵OA＝OP，AH＝HB，
∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴OE⊥CE，EH＝AD＝4，
∴OE＝EH＝OH＝4﹣＝，
∴OE＝OP，
∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图2中，延长AE交BC的延长线于T，连接PQ．

∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC，∠AED＝∠TEC，
∴△ADE≌△TCE（ASA），
∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+4＝8，
∵∠ABT＝90°，
∴AT＝＝＝4，
∵AP是直径，
∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ，PB⊥AB，
∴PB＝PQ，
设PB＝PQ＝x，
∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
∴×4×8＝×4×x+×4×x，
∴x＝2﹣2，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形、相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的证明方法：已知垂直证半径，已知半径证垂直，利用三角形面积不同的表示方法构建方程解决问题是难点．