北师大初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份北师大初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共22页。
北师大初中数学八年级上册期中测试卷考试范围：第一 二 三章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为(    )

 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米2.如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是，高为，现在要以点为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在点的正上方的点处，则梯子最短需要(    )A. 米
B. 米
C. 米
D. 米3.式子表示(    )A. 的算术平方根 B. 的算术平方根 C. 的平方根 D. 的算术平方根4.若表示，两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果等于
(    )

 A.  B.  C.  D. 5.如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示、如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是(    )
A.  B.  C.  D. 6.如图所示，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.下列说法中，正确的有(    ) 只有正数才有平方根；一定有立方根；没有意义；；只有正数才有立方根．A. 个 B. 个 C. 个 D. 个8.在，，，这四个数中，属于无理数的是(    )A.  B.  C.  D. 9.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若，，则该长方形的面积为(    )

 A.  B.  C.  D. 10.将一根长为厘米的筷子置于底面直径为厘米，高为厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为厘米，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 11.如图，一动点按照，，，，，，的路径运动，则当它运动到点的位置时，坐标为(    )
 A.  B.  C.  D. 12.当时，化简的结果是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.如图，圆柱形玻璃杯高为、底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______．
 14.若、是实数，且，则的值是        ，的值是        ．15.若与的小数部分分别为和，则的值          ．16.已知点在第三象限，且到轴距离是，到轴距离是，则点的坐标是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
在中，
已知，，求；  
已知，，求，．18.本小题分
如图，已知和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接．
求证：；
求证：．
19.本小题分
操作探究：已知在纸面上有一数轴如图所示

折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合；
折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题：
表示的点与数______表示的点重合；
表示的点与数______表示的点重合；
若数轴上、两点之间距离为在的左侧，且、两点经折叠后重合，此时点表示的数是______、点表示的数是______
已知在数轴上点表示的数是，点移动个单位，此时点表示的数和是互为相反数，求的值．20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点逆时针方向旋转到．
求点的坐标；用字母，表示
如图，延长交轴于点，过点作交轴于点，求证：．21.本小题分
中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点、处．

如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为______ ，点的坐标为______ ，点的坐标为______ ．
若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示．22.本小题分
已知满足．
有意义，的取值范围是        ；则在这个条件下将去掉绝对值符号可得        ．
根据的分析，求的值．23.本小题分如图所示，已知、两点的坐标分别是、试根据、两点的坐标先建立它们所在的平面直角坐标系，然后描出点，最后判断的形状．要求：写出判断过程 
 24.本小题分
平面直角坐标系中，，，，且满足：，、分别为轴和轴上动点，满足．
求、、三点坐标；
如图，若为线段中点，求点坐标；
当，在轴和轴上运动时，试探究、和之间的关系．

 25.本小题分

如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面踏板厚度忽略不计，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点位置时，点离地面垂直高度为，离秋千支柱的水平距离为不考虑支柱的直径求秋千支柱的高．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【解答】
解：如图：

小巷左右两侧是竖直的墙，
，
与均为直角三角形，
在中，
米，米，
．
又梯子长度是不变的，
米，
在中，
米，，
，
，
，
米，
米．
故选C．2.【答案】 【解析】解：如图，油罐的底面周长为．
又高为，即展开图中，，
．
故所建梯子最短为．
故选：．
把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．3.【答案】 【解析】解：，
表示的是的算术平方根．
故选：．
根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解．
本题主要考查平方根．掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键．4.【答案】 【解析】【分析】
由数轴可判断出，，然后再根据这两个条件对式子化简．
主要考查绝对值性质二次根式性质的运用．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．本题要注意二次根式的性质：当时，；时，．
【解答】
解：由数轴可判断出，，
．
故选C．5.【答案】 【解析】解：点第一次碰撞后的点的坐标为，
第二次碰撞后的点的坐标为，
第三次碰撞后的点的坐标为，
第四次碰撞后的点的坐标为，
第五次碰撞后的点的坐标为，
第六次碰撞后的点的坐标为，
，
，
小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，
故选：．
根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第次碰到球桌边时，小球的位置．
本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．6.【答案】 【解析】解：，，是等腰直角三角形，且，
．
把绕点顺时针旋转，得到，
．
同理可得出：，，，，
，为自然数．
，，
．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可找出点的坐标，结合旋转的性质即可找出点、、、、、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，为自然数”，依此规律即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、坐标与图形变化中的旋转以及规律型中点的坐标，根据点的变化找出变化规律“，为自然数”是解题的关键．7.【答案】 【解析】【分析】
本题考查平方根和立方根的性质利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可．
【解答】
解：非负数都有平方根，所以是错误的；
任何数的立方根都只有一个，所以是正确的；
时，没意义，所以所以是错误的；
，所以是正确的．
所以正确的有个．
故选B．8.【答案】 【解析】解：在，，，这四个数中，属于无理数的是．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的证明以及运用欲求长方形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，进而可求出该长方形的面积．
【解答】
解：设小正方形的边长为，

，，
，
在中，，
即，
整理得，，
即，
所以长方形面积为，
该长方形的面积为，
故选：10.【答案】 【解析】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故．
故的取值范围是．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．11.【答案】 【解析】略12.【答案】 【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【解答】
解：如图：
将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，

因为，，
则
，
故蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为14.【答案】  或 【解析】解：由题意可知：，，
故，
，
，
当时，
，
当时，
．
所以或，
故答案为：，或．
根据二次根式有意义的条件可求出与的值，然后代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确求出与的值，本题属于基础题型．15.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出、的值是解此题的关键．
先估算出的范围，再求出和的范围，求出、的值，即可求出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为．16.【答案】 【解析】解：第三象限内的点横坐标，纵坐标，
点到轴的距离是，到轴的距离为，
点的纵坐标为，横坐标为，
因而点的坐标是，
故答案为：．
本题根据点在第三象限的特点，横纵坐标都小于，再根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而根据点到坐标轴的距离判断点的具体坐标．
此题用到的知识点为：第三象限点的坐标的符号都为负，点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．17.【答案】解：如图，中，，，，
；

，，
，． 【解析】根据题意画出图形，利用勾股定理即可得出结论；
根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．18.【答案】证明：如图所示：
与都是等腰直角三角形，
，，，，
，，
，
在和中，
，
≌．
，
≌．
．
，
，
即．
，
． 【解析】连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，，，得出由证明≌，得出，
由得，证出，在中．由勾股定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．19.【答案】；
；；，；
往左移个单位：，
解得：．
往右移个单位：，
解得：．
答：的值为或． 【解析】【分析】
此题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两个数的中点所表示数的计算方法是解决问题的关键．
求出表示两个数的点重合时折叠点对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
求出表示的点与表示的点重合时折叠点对应的数，在利用方程求出在此条件下，任意一个数所对应的数；
分两种情况进行解答，向左移动个单位，向右移动个单位，列方程求解即可．
【解答】
解：折叠纸面，使表示的点与重合，折叠点对应的数为，
设表示的点与表示的点重合，
于是有，
解得，
故答案为；
折叠纸面，使表示的点与重合，折叠点对应的数为，
设表示的点与数表示的点重合，于是有，解得，
设表示的点与数表示的点重合，于是有，解得，
设点所表示的数为，点表示的数为，由题意得：
，
解得：，，
故答案为：；；，；
见答案．20.【答案】解：如图，

作轴于，作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
证明：如图，

设，交于点，
，
，
，
，
，
，
即：，
，
≌，
． 【解析】作轴于，作轴于，可证得≌，进一步得出结果；
可推出，，进而得出≌，从而得出结论．
本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．21.【答案】解：，，；
若“马”的位置在点，为了到达点，则所走路线为．
如图：
 【解析】【分析】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．
根据“帅”的坐标为即可确定其他点的坐标；
根据“马”的行走规则即可求出“马”的行走路线．
【解答】
解：结合图形根据“帅”的坐标为，可得“马”的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
故答案为，，；
见答案．22.【答案】   【解析】解：有意义，
，
，
，
；
故答案为：；；
，
，
，
，
．
先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据绝对值的性质化简；
去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．
本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键．23.【答案】解：平面直角坐标系如图所示，，，，，，，，，为等腰直角三角形． 【解析】本题主要考查平面直角坐标系的确定，根据平面直角坐标系中点的坐标确定点的位置，两点间的距离及勾股定理，根据，两点坐标可确定平面直角坐标系，进而可找到点位置，根据两点间的距离公式可求解各边边长的平方，进而根据勾股定理判断三角形的形状，24.【答案】解：，
，，，
，，
点，点，点；
如图，将绕点逆时针旋转得到，

点，点，点，
，
为线段中点，
，
将绕点逆时针旋转得到，
≌，
，，，
，
，
，
在和中
≌
，
，
，
，
，
，
点坐标为；
如图，若点在轴正半轴，点在轴正半轴上，

由可知：，，
，
如图，点在轴负半轴，点在轴正半轴，将绕点逆时针旋转得到，

≌，，
，，，
，
，
在和中
≌
，
；
如图，点在轴正半轴，点在轴负半轴，将绕点逆时针旋转得到，

≌，，
，，，
，
，
在和中
≌
，
． 【解析】由非负性可求，，的值，即可求解；
将绕点逆时针旋转得到，可得，，，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长，即可求点坐标；
分三种情况讨论，由旋转的性质，全等三角形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了非负性，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：设，则由题意可得：
，，
在中，，
即，
解得．
即秋千支柱的高为． 【解析】直接利用，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出关于等式是解题关键．