第13章 全等三角形 华东师大版数学八年级上册素养检测(含解析)

这是一份第13章 全等三角形 华东师大版数学八年级上册素养检测(含解析)，共19页。
第13章全等三角形素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023山东青岛五十三中期末)下列语句属于命题的是 (　　)A.你今天打卡了吗?B.请戴好口罩!C.画出两条相等的线段D.同位角相等2.【教材变式·P106T19】如图,AC与BD相交于点O,∠D=∠C,添加下列哪个条件后,仍无法证明△ADO≌△BCO                (　　)A.AD=BC　　　　B.AC=BDC.OD=OC　　　　D.∠ABD=∠BAC3.(2023海南东方期末)下列命题中是假命题的是      (　　)A.同旁内角互补,两直线平行B.若直线a⊥b,则a与b的夹角为直角C.如果两个角互补,那么这两个角一个是锐角,一个是钝角D.若a∥b,a⊥c,则b⊥c 4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于                           (　　)A.2 cm　　　　B.3 cm　　　　C.4 cm　　　　D.5 cm5.(2022广西百色中考)如图,根据尺规作图痕迹,下列结论不一定成立的是                                                               (　　)A.∠B=45°　　　　B.AE=EBC.AC=BC　　　   　D.AB⊥CD6.【教材变式·P99T4】如图,E是∠AOB的平分线上的一点,EC⊥OA于点C,ED⊥OB于点D,连结CD,若∠ECD=25°,则∠AOB=(　　)A.50°　　　　B.45°　　　　C.40°　　　　D.25°7.(2022四川南充期末)如图,点B,C,E在同一直线上,且AC=CE,∠B=∠D=90°,AC⊥CD,下列结论不一定成立的是    (　　)A.∠A=∠2　　　　B.∠A+∠E=90°C.BC=DE　　　　D.∠BCD=∠ACE8.【尺规作图】(2023山东泰安泰山期末)如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是                      (　　)A.AF=BF　　　    　B.∠AFD+∠FBC=90°C.DF⊥AB　　　   　D.∠BAF=∠CAF9.【易错题】如图,已知点P是射线OD上一动点(不与O重合),∠AOD=30°,当△AOP为等腰三角形时,∠A的度数为   (　　)A.120°B.30°或75°C.30°或75°或120°D.120°或75°或45°或30°10.【规律探究题】如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4,……,若∠A=70°,则∠An-1AnBn-1的度数为         (　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.二、填空题(每小题3分,共24分)11.【新独家原创】命题“若=2,则a=4”的逆命题是　　　　　　　　　　　　. 12.【分类讨论思想】将一条长为24 cm的细线围成一边长为9 cm的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为　　　　　　. 13.【开放型试题】(2023北师大附中月考)如图,已知∠1=∠2,请你添加一个条件,使得△ABD≌△ACD,添加的条件可以为　　　　.(添加一个即可) 14.(2023福建泉州永春五中期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,ED⊥AB于点D,BD=BC,若AC=10 cm,则AE+DE=　　　　. 15.(2022山东潍坊昌乐期中)如图,△ABC中,∠B=32°,∠BCA=78°,根据尺规作图的作图痕迹,得∠α=　　　　. 16.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图所示的是由6个边长相等的正方形组成的图形,∠1+∠2+∠3=　　　　. 17.(2022福建福州延安中学期中)如图,△ABC中,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动,当点Q的运动速度为　　　　　　　时,能够使△BPD与△CQP全等. 18.(2023吉林长春吉大附中月考)如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD=6,E是AC边的中点,M是AD边上的动点,则EM+CM的最小值是　　　　. 三、解答题(共46分)19.【新考法】(2023北师大附中月考)(6分)马小虎在整理八年级的数学资料时,找到了一张残缺的试卷,剩下的部分如图1所示,他发现△ABC只留下一条完整的边BC和一个完整的角∠B,请你帮助他还原△ABC.要求在图2中尺规作图,保留作图痕迹,保留作法.                                  图1            图2  20.(2023吉林长春南关期末)(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,过点D作DE∥BC交AB于点E.(1)求证:△BED是等腰三角形;(2)若∠A=36°,直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形.                                                 21.【手拉手模型】(6分)如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,点B,D,E在同一条直线上.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系,并证明;(3)当AD∥EC时,直接写出α的度数.                                           22.【燕尾型】(2023吉林长春一零八学校期中)(8分)如图,点P是∠BAC的平分线AD上的一点,AC=9,AB=5,PB=3,求PC长的取值范围.                                                   23.(2022山西太原期末)(9分)如图,直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线,l与m分别交边AB于点D和点E.(1)若AB=10,则△CDE的周长是多少?为什么?(2)若∠ACB=125°,求∠DCE的度数.                                            24.(11分)(1)【问题发现】如图①,在△ABC中,AC=BC,D、E分别在AC、BC上,若CD=CE,则△CDE和△CAB是顶角相等的等腰三角形,连结AE、BD,则∠AEB、∠C、∠CAE之间的数量关系是　　　　　　　,AD与BE的数量关系是　　　　　; (2)【类比探究】如图②,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.试求∠AEB的度数及AD与BE的数量关系;(3)【拓展延伸】如图③,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请猜想∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由;(4)【解决问题】在(3)的条件下,若BE=4,CM=3,求四边形ABEC的面积.       图①         图②           图③        
答案全解全析一、选择题1.D　A是疑问句,未作出判断,不是命题;B是祈使句,未作出判断,不是命题;C是描述性语句,未作出判断,不是命题;D符合命题的概念,故本选项正确.故选D.2.B　添加AD=BC,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO;添加AC=BD,不能证明△ADO≌△BCO;添加OD=OC,根据A.S.A.可证明△ADO≌△BCO;添加∠ABD=∠BAC,得OA=OB,根据A.A.S.可证明△ADO≌△BCO.故选B.3.C　如果两个角互补,那么这两个角可能都为90°,所以C选项中命题为假命题.故选C.4.B　∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,∴EC=DE,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm.故选B.5.A　由作图痕迹得直线CD是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,AC=BC,AB⊥CD.故B、C、D选项中的结论成立.无法得到∠B=45°,故A选项中的结论不一定成立.故选A.6.A　∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD=25°,∵∠ODE=∠OCE=90°,∴∠ODC=∠OCD=65°,∴∠AOB=180°-∠ODC-∠OCD=50°,故选A.7.D　∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠B=90°,∴∠1+∠A=90°,∴∠2=∠A,故A中结论成立.在△ABC和△CDE中,∴△ABC≌△CDE(A.A.S.),∴BC=DE,∠1=∠E,∵∠2+∠E=90°,∴∠A+∠E=90°,故B,C中结论成立.无法得到∠BCD=∠ACE,故D中结论不一定成立.故选D.8.D　由作图痕迹可知DF垂直平分线段AB,BE平分∠ABC,∴FA=FB,DF⊥AB,∠FBC=∠FBD,∴∠AFD=∠BFD,∵∠FBD+∠BFD=90°,∴∠AFD+∠FBC=90°,故选项A,B,C中说法正确,由已知条件无法得到∠BAF=∠CAF,故选项D中说法不一定正确.故选D.9.C　解决此题时易因没有考虑等腰三角形腰的情况而漏解.分三种情况:①当OA=OP时,∠A=∠OPA=(180°-∠O)=×(180°-30°)=75°;②当AO=AP时,∠APO=∠O=30°,∴∠A=180°-∠O-∠APO=120°;③当PO=PA时,∠A=∠O=30°.综上所述,当△AOP为等腰三角形时,∠A=30°或75°或120°.故选C.10.A　∵∠A=70°,AB=A1B,∴∠BA1A=∠A=70°,∵A1A2=A1B1,∴∠B1A2A1=∠A1B1A2,∵∠BA1A是△A1A2B1的外角,∴∠B1A2A1=,同理可得∠B2A3A2=∠B1A2A1=,∠B3A4A3=∠B2A3A2=,……∴∠An-1AnBn-1=.故选A.二、填空题11.答案　若a=4,则=2解析　将原命题的条件、结论互换位置即可.12.答案　9 cm或7.5 cm解析　分两种情况:当9 cm为等腰三角形的腰长时,底边长=24-9×2=6 cm,∴三角形的三边长分别为9 cm,9 cm,6 cm,能组成三角形;当9 cm为等腰三角形的底边长时,腰长=×(24-9)=7.5 cm,∴三角形的三边长分别为7.5 cm,7.5 cm,9 cm,能组成三角形.综上所述,该等腰三角形的腰长为9 cm或7.5 cm.13.答案　AB=AC(答案不唯一)解析　添加AB=AC,在△ABD和△ACD中,∵AB=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(S.A.S.).(答案不唯一)14.答案　10 cm解析　∵DE⊥AB于点D,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE和Rt△BCE中,∴Rt△BDE≌Rt△BCE(H.L.),∴ED=CE,∴AE+DE=AE+CE=AC=10 cm.15.答案　81°解析　∵∠B=32°,∠BCA=78°,∴∠BAC=70°,由作图痕迹可知,AD是∠BAC的平分线,直线EF是线段BC的垂直平分线,∴∠CAD=∠BAC=35°,BF=CF,∴∠BCF=∠B=32°,∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=46°,∴∠α=∠CAD+∠ACF=81°.16.答案　135°解析　如图,根据题意得DE=BC,EC=AB,GF=GC,∠DEC=∠ABC=∠FGC=90°,∴△CGF为等腰直角三角形,∴∠2=45°,在△ABC和△CED中,∴△ABC≌△CED(S.A.S.),∴∠1=∠DCE,∵∠DCE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°.17.答案　3 cm/s或 cm/s解析　设点Q的运动速度为x cm/s,运动的时间为t s,则BP=3t cm,CQ=xt cm,∴PC=(8-3t)cm,∵点D为AB的中点,∴BD=5 cm,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴当BD=CP,BP=CQ时,△BDP≌△CPQ,即5=8-3t,3t=xt,解得t=1,x=3;当BD=CQ,BP=CP时,△BDP≌△CQP,即5=xt,3t=8-3t,解得t=.综上所述,点Q的运动速度为3 cm/s或 cm/s.18.答案　6解析　∵三角形ABC是等边三角形,AD⊥BC,∴BD=CD,∴直线AD是线段BC的垂直平分线,连结BM,如图所示,则BM=CM,∴EM+CM=EM+BM,根据“两点之间,线段最短”可知,当B,M,E三点共线时,EM+BM的值最小,为BE的长.∵E是AC的中点,∴BE是等边三角形ABC的边AC上的高,∴BE=AD=6,∴EM+BM的最小值为6,即EM+CM的最小值是6.三、解答题19.解析　分别以点B、C为圆心,大于BC长为半径画圆弧,两弧相交于两点,连结这两个点,交∠B的边(非BC所在的边)于一点A,连结AC,△ABC即为所求,如图所示:20.解析　(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB,∴EB=ED,∴△BED是等腰三角形.(2)△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.理由:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=72°,∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC=72°,∠ADE=∠C=72°,∴∠AED=∠ADE.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,∴△ABC,△BDC,△AED是顶角为锐角的等腰三角形.21.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=α,∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴∠1=∠CAE,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.).(2)∠3=∠2+∠1.证明:∵△ABD≌△ACE,∴∠2=∠ABD,∵∠3=∠ABD+∠1,∴∠3=∠2+∠1.(3)∵AD∥EC,∴∠3=∠BEC,∵AD=AE,∴∠3=∠AED,∴∠DAE=180°-2∠3,∵△ABD≌△ACE,∴∠ADB=∠AEC=180°-∠3,∴∠BEC=∠AEC-∠AED=180°-2∠3=∠DAE=α,∴∠AED=∠3=∠BEC=∠DAE=α,∵∠3+∠AED+∠DAE=180°,∴3α=180°,∴α=60°.22.解析　在AC上截取AE=AB,连结PE,如图,∵AC=9,∴CE=AC-AE=AC-AB=9-5=4,∵点P是∠BAC的平分线AD上的一点,∴∠CAD=∠BAD,在△APE和△APB中,∴△APE≌△APB(S.A.S.),∴PE=PB=3,∵4-3<PC<4+3,∴1<PC<7.23.解析　(1)△CDE的周长为10.理由:∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线,∴AD=CD,BE=CE,∴△CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB=10.(2)∵AD=CD,BE=CE,∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,∵∠ACB=125°,∴∠A+∠B=180°-125°=55°,∴∠ACD+∠BCE=55°,∴∠DCE=∠ACB-(∠ACD+∠BCE)=125°-55°=70°.24.解析　(1)∠AEB=∠C+∠CAE;AD=BE.(2)∵△ACB和△DCE均为等边三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴∠ADC=∠BEC,AD=BE,∵△DCE为等边三角形,∴∠CDE=∠CED=60°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=120°,∴∠BEC=120°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°.(3)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,∴△ACD≌△BCE(S.A.S.).∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.∵△DCE为等腰直角三角形,∴∠CDE=∠CED=45°.∵∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ADC=135°,∴∠BEC=135°.∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.∵△DCE是等腰直角三角形,CM⊥DE,∴三角形CDM与三角形CEM都是等腰直角三角形,∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM.(4)由(3)知∠AEB=90°,AE=BE+2CM,∴AE=10,∴四边形ABEC的面积=△ACE的面积+△ABE的面积=AE·CM+AE·BE=×10×3+×10×4=35.