2023-2024学年湖北省武汉市江汉区四校联盟九年级（上）联考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市江汉区四校联盟九年级（上）联考数学试卷（10月份）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图交通标志是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是
(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

3.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.某小区新增了一家快递店，第一天揽件件，到第三天统计得出三天共揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.如图，在中，，，将此三角形绕点沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的解析式为，则，的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.一元二次方程的根的情况为(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

8.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.若抛物线：与抛物线：关于直线对称，则，的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.如图，为等边内一点，且，，，、为边、上的动点，且，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.已知点，则点关于原点对称的点的坐标是______．

12.直角三角形的两直角边之和是，面积是，则它的斜边长是______ ．

13.设，是抛物线上两点，则与的大小关系是 ______ ．

14.某读书小组在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了本图书，如果设全组共有名同学，依题意，可列出的方程是______ ．

15.如图，二次函数的图象过点，对称轴直线有以下结论：；；点，在抛物线上，当时，有，则；若有且只有个小于的整数，使得方程有实数根，则，其中正确的是______ 填序号．

16.二次函数的图象的顶点在直线上，该图象与直线，在内各有一个交点，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：．

18.本小题分

已知二次函数，的图象如图所示．
求的取值范围；
若直线与该函数图象只有一个交点，直接写出的取值范围．

19.本小题分
某商店销售一款工艺品，平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，在一定范围内，每件工艺品的单价每降价元，商场平均每天可多售出件．
如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利元，那么每件工艺品单价应降多少元？
能否通过降价使商店每天盈利达到元？请说明理由．

20.本小题分
如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．
求证；
若，，求四边形的面积．

21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，格点在上，请用无刻度的直尺，按要求完成下列画图，并回答相关问题．
将绕点逆时针旋转得到，点随之旋转，画出，并写出点的对应点的坐标______ ；
画的角平分线；
在上取点，使；
找格点，使，直接写出点的坐标______ ．

22.本小题分

跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图是某跳台滑雪场地的截面示意图平台长米即，平台距地面米，以地面所在直线为轴，过点垂直于地面的直线为轴，取米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为运动员看成点在方向获得速度米秒后，从处向右下飞向滑道，点是下落过程中的某位置忽略空气阻力设运动员飞出时间为秒，运动员与点的竖直距离为米，运动员与点的水平距离为米，经实验表明：，．
求滑道对应的函数表达式；
当米每秒，秒时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
在试跳中，某运动员以米每秒的速度从处飞出，其飞行路径近似看作抛物线的一部分，着陆时水平距离为，直接写出飞行路径的函数解析式和的值．

23.本小题分
在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，与交于点，的延长线与交于点．
如图，若是的中点，
求证：；
求证：；
如图，若不是的中点，第一问中，是否仍成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请举个反例．

 

24.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴交于点与轴交于点，，连接、．

判断的形状，并说明理由；
如图，过点作交抛物线于点，点为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
如图，将抛物线沿着射线平移个单位，若点为新抛物线对称轴上一点，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、中的图形都不是中心对称图形，
选项A中的图形是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，解答本题的关键要明确：一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
所以一次项系数、常数项分别为、，
故选A．
先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．

3.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数顶点式，的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据三天共揽件件，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：将绕点沿逆时针方向旋转后得到，
，
，
，
由旋转知，，
故选：．
根据旋转的性质得，进而求出，即可求出答案．
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由，
，
，
抛物线的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，
所得图象的解析式为，
即，
，，
故选：．
根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得．
此题考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程，
，
方程有两相等实数根．
故选：．
把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
方程的两个实数根为，，
，，
，
，
即，
解得，
，
的值为．
故选：．
先根据根的判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得到，，接着利用得到，即，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，也考查了根的判别式．

9.【答案】 

【解析】解：由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，
抛物线：的对称轴为直线，
抛物线：与抛物线：关于直线对称，
，
解得，
点关于直线对称的点在抛物线：上，
把点代入得，
解得，
故选：．
由抛物线：可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线：的对称轴为直线，根据题意得到，点关于直线对称的点，在抛物线：上，进而求得，．
本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，表示出抛物线的对称轴以及轴对称的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：如图：将绕点顺时针旋转得到，连接，，

由旋转可得：，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
如图：
连接，将绕点逆时针旋转得到，

连接，则是等边三角形，，
，，
，
当点、、三点共线时与重合，有最小值．
故选：．
如图中，将绕点顺时针旋转得到得到是等边三角形，根据勾股定理得到，如图中，将绕点逆时针旋转得到得到是等边三角形，，于是得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：已知点，
则点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

12.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的两直角边长分别为，，
根据题意得：，
得：，
直角三角形的斜边长是．
故答案为：．
设直角三角形的两直角边长分别为，，根据“直角三角形的两直角边之和是，面积是”，可得出，利用，可求出的值，再取其算术平方根即可求出结论．
本题考查了勾股定理的应用，根据各边之间的关系，找出两直角边长平方的和是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，是抛物线上两点，
，
，
故答案为：．
将点，点坐标代入解析式可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
故答案为：．
设全组共有名同学，则每个同学需送出本图书，根据全组共互赠本图书，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故正确，
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
代入抛物线得：，故正确，
当时有，且抛物线开口向上，对称轴为直线，
若点和点同在对称轴的右侧，则定有，故错误，
，
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
，
有且只有个小于的整数，
、、，
，
，故正确，
故选：．
根据抛物线的特征确定、、的范围可判断，根据对称轴及抛物线与轴的一个交点确定抛物线与轴的另一个交点可判断，根据对称轴、抛物线的开口方向可得当点、同在抛物线右侧时不成立可判断，求出抛物线的顶点坐标为，可得，再根据有且只有个小于的整数，得到可判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．

16.【答案】或 

【解析】解：二次函数的图象的顶点在直线上，
，
，
，
如图所示：分两种情况：
当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足时，，
时，，
即，
解得：；
当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，
则满足：当时，，
当时，，
即，
解得：；
综上所述，则的取值范围是：或；
故答案为：或．
根据二次函数的图象的顶点在直线上，确定，代入解析式中，分两种情况：
当抛物线的左半部分与两直线在内各有一个交点时，满足：时，，时，，列不等式组求出解集；
当抛物线的右半部分与两直线在内各有一个交点，则满足：当时，，当时，，
列不等式组求出解集即可．
本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数和一次函数的图象的性质，有难度，根据已知条件，利用数形结合的思想解决此题，并与不等式组相结合，利用不等式组的解集确定的取值范围．

17.【答案】解：原方程可化为：，
或；
解得：，． 

【解析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解．
本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

18.【答案】解：配方得：，
当时，，
当时，的取值范围为：；
二次函数的顶点坐标为，
当时，，
即直线与该函数图象只有一个交点，
当时，，
当时，，
当时，直线与该函数图象只有一个交点，
的范围为：或． 

【解析】先配方，求出二次函数的最小值，然后计算时的值即可确定的范围；
根据的最小值和当时的值即可确定的取值范围．
本题考查了二次函数与不等式的关系，利用配方法或顶点坐标公式正确确定顶点坐标是解题的关键．

19.【答案】解：设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，
依题意，得：，整理，得，
解得：，不合题意，舍去．
答：商店想通过销售这种工艺品每天想盈利元，每件工艺品单价应降元；
不能，理由如下：
设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，
依题意，得：，整理，得：，该方程无实数根，即不能通过降价使商店每天盈利达到元． 

【解析】设每件工艺品单价应降元，则当天销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
解：设每件工艺品单价应降为元，则当天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

20.【答案】证明：连接，如图，
为等边三角形，
，，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，，，
，，
在中，
，，，
而，
，
为直角三角形，，
． 

【解析】根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，接着证明≌得到；
利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用进行计算．
本题考查了旋转的性质，勾股定理和等边三角形的性质，灵活掌握旋转的性质是解决问题的关键．

21.【答案】  ， 

【解析】解：如图所示，即为所求，，

故答案为：．
如图所示，则即为所求角平分线；

如图所示，点即为所求的点，

如图所示，，；

故答案为：，；
将绕点逆时针旋转得到，点随之旋转，画出，根据坐标系写出的坐标即可；
根据点的坐标可得到，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而可得，根据旋转的性质，可知旋转角为，连接交于点，则是等腰直角三角形，即，则即为所求角平分线；
连接，根据，的位置，找到点，使得，，连接交于点，则四边形是平行四边形，进而根据，可得；
由可知是的角平分线，找到关于的对称点，连接，则是正方形，根据正方形的性质可得，根据对称性可找到，根据网格上的点结合坐标系即可写出点的坐标．
本题考查了正方形的性质，三角形角平分线的性质，勾股定理，坐标与图形，垂直平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

22.【答案】解：由题意，点的坐标为，且点在滑道所在的抛物线上，
将，代入得：，
解得：，
因此滑道对应的函数表达式为：．
当，时，，，
当时，，，
因此运动员此时没有落在滑道上；
由题意，设运动员的飞行路线抛物线为，
又当，时，，，
此时运动员所在位置的坐标为．
．
．
运动员的飞行路线抛物线为．
令，
．
，
．
．
飞行路径的函数解析式为，的值为． 

【解析】将代入中，求出的值即可得到滑道对应的函数表达式．
当，时求出和，把代入求出的值，比较与 的大小即可判断运动员此时是否已落在滑道上．
依据题意，设运动员的飞行路线抛物线为，求出运动员所在位置的坐标为，再代入可以得解，令，可得与轴的交点坐标，从而可以求的值．
本题考查了利用二次函数解决实际问题．解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
又，
≌，
；
证明：四边形是菱形，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
；
不成立，成立，理由如下：
四边形是菱形，
，，
，
不是的中点，
，
；
如图，在上截取，连接，

由可得≌，
，，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，由等腰三角形的性质可得；
由平行线分线段成比例可得，由，则；由“”可证≌，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得结论．
本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

24.【答案】解：令，则，
点的坐标为，
令，则，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为．
，，
，，，
在中，，
在中，，
，
，
是直角三角形．
设直线的函数解析式为，
，，代入解析式得：
，
解得，
直线的函数解析式为．
设点的坐标为，
如图，过点作轴于点，交于点，则点的坐标为，

，




，
，，
，
，
当时，有最大值，为，
此时，
即点的坐标为；
原抛物线的对称轴为，
在中，，，，
将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，
新抛物线的对称轴为，
点是新抛物线对称轴上的一点，
设点的坐标为，
，，
，
，
．
若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：
，则，
解得，
此时点的坐标为；
，则，
解得，
此时点的坐标为或；
，则，
解得，
此时点的坐标为或．
综上所述，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标为或，，，． 

【解析】令，则，得到；令，则，，得到，，则，，，则，利用勾股定理在中，求得，在中，求得，因此，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形；
采用待定系数法设直线的函数解析式为，把点，代入可求得直线的函数解析式为设点的坐标为
过点作轴于点，交于点，则点的坐标为，根据两点间距离可求得，因此；由于，，根据平行线间距离处处相等可得，所以，根据二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值，进而求得此时点的坐标；
由原抛物线可得对称轴为，将抛物线沿着射线平移个单位，即相当于将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，原抛物线的对称轴也作同样的平移，因此新抛物线的对称轴为，设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则有以下三种情况：，，，分别代入即可得到方程，求解即可解答．
本题考查二次函数与坐标轴的交点，勾股定理与其逆定理，二次函数的性质，二次函数的平移，等腰三角形的性质，综合运用各个知识，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．