新高考数学三轮复习考前冲刺逐题训练压轴题突破练3（含解析）

压轴题突破练3

1．(2022·泰安模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”．在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立．在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立．已知甲参加“四人赛”活动，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第四名的概率为；甲参加“双人对战”活动，每局比赛获胜的概率为.

(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X，求X的分布列与均值；

(2)“挑战答题”比赛规则如下：每位参赛者每次连续回答5道题，在答对的情况下可以持续答题，若第一次答错，则答题结束，积分为0分，只有全部答对5道题可以获得5个积分．某部门为了吸引更多职工参与答题，设置了一个“得积分进阶”活动，从1阶到n(n≥10)阶，规定每轮答题获得5个积分进2阶，没有获得积分进1阶，按照获得的阶级给予相应的奖品，记乙每次获得5个积分的概率互不影响，均为，记乙进到n阶的概率为Pn，求P12.

解　(1)甲参加“四人赛”时，每局比赛获得第三名的概率为1－＝，

依题意，X所有可能的取值为5,4,3,2，

P(X＝5)＝×＝，

P(X＝4)＝×＋×＋×＝，

P(X＝3)＝×＋×＋×＝，

P(X＝2)＝×＝，

所以X的分布列为

所以E(X)＝5×＋4×＋3×＋2×＝.

(2)依题意，P1＝，P2＝，

“进到n＋1阶”的情况包括：第一种情况是进到n阶后下一轮未获得5个积分，其概率为Pn；第二种情况是进到n－1阶后下一轮获得5个积分，其概率为Pn－1，两种情况互斥，

所以Pn＋1＝Pn＋Pn－1(n≥2，n∈N*)，

则Pn＋1－Pn＝Pn＋Pn－1－Pn

＝－(Pn－Pn－1)，

所以＝－(n≥2，n∈N*)，

又P2－P1＝，

所以数列{Pn＋1－Pn}是首项为，公比为－的等比数列，

所以Pn＋1－Pn＝×n－1，

故P12＝P1＋(P2－P1)＋…＋(P11－P10)＋(P12－P11)

＝＋＋×＋…＋×10

＝＋×

＝＋，

即P12＝＋.

2．(2022·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．

(1)求抛物线E的方程；

(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．

解　(1)由题意可得

解得p＝2.

故抛物线E的方程为y2＝4x.

(2)由题意知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，F(1,0)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

由

消去x得y2－4ty－4＝0.

所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.

由AC垂直于l可知，直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，

由

消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.

所以y1＋y3＝－，y1y3＝.

所以|AC|＝

＝

＝

＝

＝·|ty1＋2|

＝·(ty1＋2)．

同理可得|BD|＝·(ty2＋2)，所以

|AC|＋|BD|＝·[t(y1＋y2)＋4]

＝(t2＋1)＝8，

令f(x)＝，x>0，

则f′(x)＝，x>0，

所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝2时，f(x)取得最小值，

即当t＝±时，

|AC|＋|BD|取得最小值，最小值为12.