广西南宁市青秀区2022—2023学年下学期八年级期中数学试卷

2022-2023学年广西南宁市青秀区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）

A．，， B．2，3，4 C．6，7，8 D．9，12，15

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C．×＝ D．4÷2＝2

5．（3分）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝16，则△BOC的周长为（　　）

A．8 B．12 C．14 D．16

6．（3分）矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线相等 B．对角相等 

C．对角线互相平分 D．对边相等

7．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）

A． B．3 C． D．5

8．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．只有一个实数根 D．没有实数根

9．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，配方后可得（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣4）2＝3 D．（x﹣4）2＝1

10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝10，AD＝6，则BC的长为（　　）

A．16 B．12 C．10 D．8

11．（3分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（　　）

A．56元 B．57元 C．59元 D．57元或59元

12．（3分）如图，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边的长为（　　）

A．3cm B．6cm C． D．

二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13．（2分）计算：　             　．

14．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是 　      　．

15．（2分）已知直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，则斜边长为 　     　cm．

16．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝6，则OC的值为 　   　．

17．（2分）如图，已知在平面直角坐标系中，A（﹣1，0）、B（2，0），菱形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为 　                  　．

​

18．（2分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变．MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为3和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 　                　．

三．解答题（共8小题，满分72分）

19．（6分）计算：．

20．（6分）4x（2x+1）＝3（2x+1）．

21．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．

（1）请作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）计算△A1B1C1的面积；

（3）借助已知点的坐标，直接作出直线y＝x的函数图象（不需要说明理由）．

22．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝．

23．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．

（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．

24．（10分）已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC的延长线上一点，过点A作AF∥BE，交线段ED的延长线于点F，连接AE、CF．

（1）求证：CF＝AE．

（2）若AF＝CF＝4，∠AFD＝30°，则四边形AECF的面积是 　              　．

25．（10分）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．

（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．

26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）用t的代数式表示：AE＝　     　；DF＝　     　；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

2022-2023学年广西南宁市青秀区八年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）

1． 解：A、是最简二次根式，此选项正确；

B、∵＝2，故不是最简二次根式，此选项错误；

C、＝2，故不是最简二次根式，此选项错误；

D、＝3，故不是最简二次根式，此选项错误．

故选：A．

2． 解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，故此选项符合题意；

D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

3． 解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；

B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；

C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；

D、92+122＝152，能构成直角三角形，故正确．

故选：D．

4． 解：A.与不能合并，所以A选项不符合题意；

B．3﹣＝2，所以B选项不符合题意；

C．×＝2，所以C选项不符合题意；

D．4÷2＝2＝2，所以D选项符合题意．

故选：D．

5． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，

∵AC+BD＝16，

∴OB+OC＝8，

∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+8＝14，

故选：C．

6． 解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．

故选：A．

7． 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B＝90°，

∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，

∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．

故选：B．

8． 解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0，

∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

9． 解：∵x2﹣4x+3＝0，

∴x2﹣4x＝﹣3，

则x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，

故选：A．

10． 解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，

∴BC＝2BD，AD⊥BC，

在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，

∴BD＝＝＝8，

∴BC＝2BD＝16，

故选：A．

11． 解：将销售单价定为x元/件，则每星期可卖出[20（60﹣x）+300]件，

根据题意得：（x﹣40）[20（60﹣x）+300]＝6080，

整理得：x2﹣115x+3304＝0，

解得：x1＝56，x2＝59．

∵要使顾客获得实惠，

∴x＝56．

故选：A．

12． 解：给各点标上字母，过点A作AE⊥BD于点E，如图所示．

在Rt△ABE中，AE＝3cm，∠ABE＝30°，

∴AB＝2AE＝6cm．

在Rt△ABC中，AB＝BC＝6cm，

∴AC＝＝＝6（cm）．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13． 解：原式＝2﹣

＝．

故答案为：．

14． 解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，

故x的取值范围是x≤3．

故答案为：x≤3．

15． 解：∵直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，

∴斜边长＝＝10（cm）．

故答案为：10．

16． 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°，AC＝BD＝2OC，

∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝6，

∴BD＝2AB＝12，

∴OC＝6，

故答案为：6．

17． 解：∵A（﹣1，0）、B（2，0），

∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，OB＝2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝AB＝3，

∵∠BOC＝90°，

∴OC＝＝＝，

∴C（0，），

∵点D在第二象限，CD∥x轴，且CD＝3，

∴D（﹣3，），

故答案为：（﹣3，）．

18． 解：连接BE，BD，

由勾股定理得：BD＝＝，

在Rt△MBN中，点E是MN的中点，

∴BE＝MN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为：﹣2，

故答案为：﹣2．

三．解答题（共8小题，满分72分）

19． 解：

＝2+2×1﹣2

＝2+2﹣2

＝2．

20． 解：∵4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，

∴（2x+1）（4x﹣3）＝0，

则2x+1＝0或4x﹣3＝0，

解得x1＝﹣，x2＝．

21． 解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下：

（2）∵2×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×2＝，

∴△A1B1C1的面积为；

（3）作直线OB，则直线OB即为函数y＝x的图象，如图：

22． 解：原式＝

＝

＝

当时，原式＝．

23． 解：（1）把x＝1代入方程得，

a+c﹣2b﹣a+c＝0，

化简得c＝b，

则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．

（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，

则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，

Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，

4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，

化简可得b2+a2＝c2，

则该三角形△ABC的形状为直角三角形．

24． （1）证明：∵D点为AC的中点，

∴AD＝CD，

∵AF∥BE，

∴∠FAD＝∠ECD，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（AAS），

∴AF＝CE，

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴CF＝AE；

（2）解：∵四边形AECF为平行四边形，AF＝CF＝4，

∴四边形AECF为菱形，

∴AD⊥EF，EF＝2FD，

∵∠AFD＝30°，

∴AD＝AF＝2，

∴AC＝2AD＝4，FD＝＝＝2，

∴EF＝2FD＝4，

∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×4×4＝8，

故答案为：8．

25． 解：（1）设每台A型机器每天搬运货物x吨，则每台B型机器每天搬运货物（x+10）吨，

由题意得：，

解得：x＝90，

当x＝90时，x（x+10）≠0，

∴x＝90是分式方程的根，

∴x+10＝90+10＝100，

答：每台A型机器每天搬运货物90吨，每台B型机器每天搬运货物100吨；

（2）设购买A型机器m台，购买总金额为w万元，

由题意得：，

解得：10≤m≤12，

w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；

∵﹣0.5＜0，

∴w随m的增大而减小，

∴当m＝12时，w最小，此时w＝﹣0.5×12+60＝54，

∴购买A型机器12台，B型机器18台时，购买总金额最低是54万元．

26． 解：∵直角△ABC中，∠C＝90°﹣∠A＝30°．

∵CD＝4t，AE＝2t，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2t，

故答案为：2t，2t；

（2）∵DF⊥BC

∴∠CFD＝90°

∵∠B＝90°

∴∠B＝∠CFD

∴DF∥AB，

由（1）得：DF＝AE＝2t，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即当t＝10时，▱AEFD是菱形；

（3）分两种情况：

①当∠EDF＝90°时，如图1，DE∥BC．

∴∠ADE＝∠C＝30°

∴AD＝2AE

∵CD＝4t，

∴DF＝2t＝AE，

∴AD＝4t，

∴4t＝60﹣4t，

∴t＝

②当∠DEF＝90°时，如图2，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠DEA＝30°，

∴AD＝AE，

∴60﹣4t＝t，

解得t＝12．

综上所述，当t＝s或12s时，△DEF是直角三角形．