中考数学专项训练（17）相似三角形常见辅助线模型含解析答案

中考数学专项训练（17）相似三角形常见辅助线模型

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（    ）

A．（，），（，） B．（，），（，）

C．（，），（，） D．（，），（，）

二、填空题

2．在中，，D是底边上一点，E是线段上一点，且，则与的数量关系为            ．

3．如图，，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点．设，，则关于的函数解析式是          ．

4．在四边形中，，，则      ．

三、解答题

5．如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值．

6．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：

7．如图，在的边和边上各取一点D和E，且使延长线与延长线相交于F，求证：

8．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．

9．如图从顶点C向和的延长线引垂线和，垂足分别为E、F，求证：

10．中，∠ACB=90°，，P是上一点，Q是上一点（不是中点），过Q且，交于M、N，求证：．

11．如图，在梯形中，，若的平分线于点H，，且四边形的面积为21，求的面积．

12．在中，，D是斜边的中点，E是边上一动点，连接，当时，求的长．

13．如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC•FB．

14．已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于.求证：.

15．如图，中，是边上中线，E是上一点，连接且交的延长线于F点．求证：．

16．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．

问题引入：

（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=　 　；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=　 　（用图中已有线段表示）．

探索研究：

（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．

拓展应用：

（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．

17．已知点D是的中点，过D点的直线交于E，交的延长线于F，求证：

18．已知：在等腰三角形中，是高，求证：

参考答案：

1．C

【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题．

【详解】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、

∵点A坐标（-2，1），点C纵坐标为4，

∴AF=1，FO=2，AE=3，

∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，

∴∠EAC=∠AOF，

∵∠E=∠AFO=90°，

∴△AEC∽△OFA，

，

∴点C坐标，

∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，

∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，

∴点B坐标，

故选C．

【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．

2．

【分析】作，交AD于点K；根据题意，得CAK；通过证明AKC，得AK，CK；再根据等腰三角形性质，得，从而得；再根据平行线、相似三角形性质分析，即可得到答案．

【详解】如图，作，交AD于点K，

∵

∴90°，90°，,即

∴CAK

∵，

∴AKC

∴AK，CK

∵，

∴EK

∴，

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴

∴

∴

∴2

故答案为：．

【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的性质，从而完成求解．

3．

【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．

【详解】解：作FG⊥BC于G，

∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；

∴∠BDE=∠FEG，

在△DBE与△EGF中

∴△DBE≌△EGF，

∴EG=DB，FG=BE=x，

∴EG=DB=2BE=2x，

∴GC=y3x，

∵FG⊥BC，AB⊥BC，

∴FG∥AB，

CG：BC=FG：AB，

即，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，熟练掌握辅助线的做法是解题的关键．

4．14

【分析】方法一：延长CD至点E，使DE=BC，利用SAS证明△ADE≌△DBC，再作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求得EF、CF的长，再在Rt△ACF中，利用勾股定理即可求解；

方法二：如图所示，过点C作CE∥BD交AD延长线于E，过点C作CH⊥AD交AD延长线于H，则可以证明△ECD∽△CDB得到，则，，再由含30度角的直角三角形的性质可得，，设，则，，，，再由即可得即可求出CH和AH，再由进行求解即可．

【详解】解：方法一：延长CD至点E，使DE=BC，

∠ADE=180°−∠ADB−∠BDC=60°−∠BDC，

∠DBC=180°−∠BCD−∠BDC=60°−∠BDC，

∴∠ADE=∠DBC，

又∵AD=DB，DE=BC，

∴△ADE≌△DBC(SAS)，

∴∠AEC=∠DCB=120°，AE=CD=6，DE=BC=4，

作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△CEF中，∠FEC=60°，则∠ECF=30°，

∴EF=CE=5，CF==5，

在Rt△ACF中，由勾股定理得AC=；

方法二：如图所示，过点C作CE∥BD交AD延长线于E，过点C作CH⊥AD交AD延长线于H，

∴∠DEC=∠ADB=120°=∠BCD，∠ECD=∠CDB，

∴△ECD∽△CDB，∠CEH=60°

∴，即，

∴，，

∵CH⊥AD，

∴∠CHE=90°，

∴∠ECH=30°，

∴，

∴，

设，则，，，，

∴，

∵，

∴，

解得，

∴，，，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．

5．5:1

【分析】过点D作的平行线交于点P，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，进而可推得BE=5EF，从而可得BE:EF的值．

【详解】过点D作的平行线交于点P，如图

∴，

∵BD:DC=2:1 ，E是 AD 的中点，

∴，

∴

∴

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是作辅助线，构造平行．

6．见解析

【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．

【详解】证明：过D作交于G，则和相似，

∴，

∵，

∴，

由可得和相似，

∴即，

∴

【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．

7．见解析

【分析】过点作，交延长线于点，通过相似三角形的性质即可证明．

【详解】证明：过点作，交延长线于点，

∴

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的构造方法是解题的关键．

8．见解析

【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证．

【详解】如图，过点E作 交BC于点M，

∵，

∴ ，，

∴ ，

∴ ,

即 ，

∵

∴ ，

∴，

∴

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．

9．见解析

【分析】过B作于M，过D作于N，通过构造相似三角形，利用其的性质，即可证明．

【详解】证明：过B作于M，过D作于N

∵

∴

∴，即（1）

同理可得：，

∴，

∴（2），

（1）＋（2）得

在和中

∴

又∴，

∴

【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握辅助线的做法、相似三角形的性质是解题的关键．

10．见解析

【分析】过P作于E，于F，证明，得到。进而得到①，再证明，得到，故②，根据①②即可求解．

【详解】证明：过P作于E，于F，

∵∠ACB=90°，

∴为矩形

∴，PF=EC

∴．

∴

∴

∵，

∴①，

∵在和中，于Q，

∴

又∵，

∴，

∴，

∴

∴②

由①②得

∴．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．

11．27

【分析】延长交于点P，构造相似三角形，转化为相似三角形的面积比进行求解．

【详解】解：延长交于点P，∵，平分

∴，

又∵

∴

∴，且，

∵，∴

∴

∵，∴，

∴

设，则

∵，

∴

∴

∴，

∵，

∴

【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握相似三角形的构造方法及有关性质是解题的关键．

12．3

【分析】作截取，延长至点N，使，连接，，由等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，证明得到，再根据相似三角形的性质和勾股定理，以及解一元二次方程即可求出答案．

【详解】解：作截取，延长至点N，使，连接，，如图所示：

∵，

∴和是等腰直角三角形，

∴45°，

∵点D是AB的中点，由中位线定理，则

，；

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，，

∵，，

∴，

解得：或（舍去），

∴．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，得到．

13．见解析

【分析】延长AC，GF相交于点H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性质得到，即CF•BF＝FG•HF，然后只要证明FG＝HF即可．

【详解】证明：延长AC，GF相交于点H，

∵FG⊥AB（已知）

∴∠FGB＝90°（垂直的定义）

∵∠ACB＝90°（已知）

∴∠FGB＝∠ACB（等量代换）

∵∠1＝∠2（对顶角相等）

∴△HCF∽△BGF（两角对应相等的两个三角形相似）

∴（相似三角形对应边成比例）

即CF•BF＝FG•HF（比例的基本性质）

∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）

∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义）

∴CDHG（同位角相等，两直线平行）

∴∠3＝∠H（两直线平行，同位角相等）

∵∠3＝∠H，∠6＝∠6

∴△ACE∽△AHF（两角对应相等的两个三角形相似）

∴（相似三角形对应边成比例）

∵∠4＝∠5，∠7＝∠7

∴△AED∽△AFG（两角对应相等的两个三角形相似）

∴（相似三角形对应边成比例）

∴（等量代换）

∵E是CD的中点（已知）

∴CE＝DE（中点的定义）

∴FH＝FG

∵CF•BF＝FG•HF（已证）

∴CF•BF＝FG•FG

 即FG2＝FC•FB．

．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法与性质，通过作辅助线证明三角形相似，由相似三角形的对应边成比例，列出比例式，进而得出结论．

14．详见解析

【分析】由轴对称的性质可知．，.然后证明，即可证明结论成立.

【详解】证明：连接，∵，是中线，∴是的对称轴.∴，.∵，∴.∴.又，∴.

∴.即.∴.

【点睛】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可. 证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一.

15．见解析

【分析】过点作交于点，利用两直线平行的性质得出条件证明，再根据平行线的性质证明解答．

【详解】解：证明：过点作交于点，

，

是的中线，

，

，

，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，三角形相似、解题的关键是添加适当辅助线，掌握平行线的性质．

16．（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；（3）=1，理由见解析．

【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；

（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；

（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．

【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，

故答案为：1：2，BD：BC；

（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．

理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．

∴OM∥AN．

∴△OMD∽△AND，

∴．

∵，

∴．

（3）．

理由如下：

由（2）得，

同理可得，．

∴

＝1．

【点睛】本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．

17．见解析

【分析】延长到点，使得，根据，从而得证．

【详解】解：延长到点，使得，如下图：

在和中，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴

【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握辅助线的做法、相似三角形的证明方法是解题的关键．

18．见解析

【分析】作AE⊥BC于E，证得△ACE∽△BCD，得出CE•BC＝CD•AC，再由CE＝BC，证得结论．

【详解】证明：如图，

作AE⊥BC于E，

∴∠AEC＝90°

∵BD是高，

∴∠BDC＝90°

∵∠C＝∠C，∠AEC＝∠BDC＝90°，

∴△ACE∽△BCD．

∴，

∴CE•BC＝CD•AC，

∵，AE⊥BC

∴CE＝BC，

∴BC2＝2AC•CD．

【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”，正确作出辅助线，判定三角形相似是解决问题的关键．