山西省金科大联考2024届高三上学期10月质量检测数学试题

金科大联考·2024届高三10月质量检测

数 学

全卷满分150分，考试时间120分钟．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设函数则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．已知一组正数，，，，的方差为，则另一组数据，，，，的平均数为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则（    ）

A． B． C．2 D．4

8．已知定义在R上的函数满足，，当时，，若，其中，，则当取最小值时，（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．关于x的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有（    ）

A． B． C． D．

10．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到愿来的两倍，再把所得到的曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点成中心对称

B．函数在上的值域为

C．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围为

D．函数在上有2个零点

11．已知数列的前n项和为，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．数列的前100项的和为

12．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在R上单调递增

B．是函数的极值点

C．过原点O仅有一条直线与曲线相切

D．若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则______．

14．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．在2021年3月13日下午，江西鷹潭余江区发生里氏级地震，2020年1月1日，四川自贡发生里氏n级地震，若自贡地震所散发出来的相对能量程度是余江地震所散发出来的相对能量程度的100倍，则______．

15．已知椭圆，偶函数，且，则椭圆C的离心率的取值范围是______．

16．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知指数函数在其定义域内单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，当时，求函数的值域．

18．（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求的解析式及a，b的值；

（2）当时，恒成立，求m的取值范围．

19．（本小题满分12分）

近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．

（1）分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；

（2）若预测小张猜中谜语的道数名于小干猜中谜语的道数，求p的取值范围．

20．（本小题满分12分）

在钝角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．

（1）求A；

（2）若点D在边上，，，，求．

21．（本小题满分12分）

如图，已知抛物线与圆交于A，B，C，D四点，直线与直线相交于点E．

（1）求p的取值范围；

（2）求点E的坐标．

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若m为函数的正零点，证明：．

金科大联考·2024届高三10月质量检测·数 学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】C

【解析】由，有，若，有．故选C．

2．【答案】D

【解析】由，可知复数z在复平面内所对应的点位于第四象限．故选D．

3．【答案】B

【解析】由，有．故选B．

4．【答案】C

【解析】由，有，解得，有．故选C．

5．【答案】B

【解析】∵，∴是偶函数，，当，，，？，∴，∴在上单调递增，综上所述．故选B．

6．【答案】B

【解析】由，有且，可得，故数据，，，，的平均数为．故选B．

7．【答案】A

【解析】设，有，可得函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，函数的图象相当于函数的图象向下平移两个单位，可得函数的图象关于点对称，由对称性可知．故选A．

8．【答案】D

【解析】根据可得的图象关于对称，，，∴的周期为4，∵，∴，，，，∴，，，当且仅当，即，时，等号成立，．故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．【答案】AC

【解析】根据题意得，解得，所以满足题意的选项有AC．故选AC．

10．【答案】BC

【解析】，由于，可知A选项错误；

又由当时，，有，可知B选项正确；

当时，，若函数单调递减，必有，可得，可知C选项正确；

又由当时，，可得此函数在上有3个零点，可知D选项错误．故选BC．

11．【答案】ACD

【解析】当时，有，可得；当时，，有，有，可得数列是以2为首项，1为公差的等差数列，有，可得，．

对于A选项，有，故A选项正确；

对于B选项，有，故B选项错误；

对于C选项，有，故C选项正确；

对于D选项，，可得数列的前100项的和为，故D选项正确．故选ACD．

12．【答案】ACD

【解析】由，可得函数单调递增，此时不是极值点，可得选项A正确，选项B错误；对于选项C，设切点P的的坐标为，过P的切线方程为，代入原点的坐标有，整理为，令，有，当时，；当时，，有，可得函数单调递增，又由，，可得函数在区间内有且仅有一个零点，故过原点O仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；对于D选项，若，有，由函数单调递增，有，，令，有，令，有（当且仅当时取等号），可得函数单调递增，又由，可得函数的减区间为，增区间为，可得，故成立，选项D正确，故选ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】

【解析】由，，有，解得

14．【答案】

【解析】设里氏级地震所散发出来的能量为，里氏n级地震所散发出来的能量为，则，①，②，②-①得，又由，有，可得．

15．【答案】

【解析】∵是函数，∴，∴，，，，∴，，又∵，∴，∴．∴．

16．【答案】

【解析】如图，由，，可得，又由，可得点P到底面的垂足为的外心，即的中点D，显然三棱锥外接球的球心O在直线上，设，，在中，有，解得．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵是指数函数，且在其定义域内单调递增，∴，

解得或（舍），∴；

（2），∵，

∴，令，，

∴，，∴，

，

∴的值域为．

18．【答案】（1），，

（2）

【解析】（1）∵，令，

，∴，

∴，

∵，直线的斜率为，切线与此直线垂直，

∴，且．

解得，；

（2）依题意，则．

∵，∴，∴，等价于恒成立，

令，．

∵且，∴，

可得函数在上单调递增，，

∴，m的取值范围为．

19．【答案】（1）分布列见解析；（2）

【解析】（1）设小张猜中谜语的道数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为2，3，4．

有．

，

，

故小张猜中谜语道数的分布列为

设小王猜中谜语的道数为Y，可知随机变量Y服从二项分布，Y的取值分别为0，1，2，3，4；

有，

，

，

，

．

故小王猜中谜语数的分布列为

（2）由（1）可知，，

若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得．

20．【答案】（1）

【解析】（1）由正弦定理及，有，

又由，有，

有，，

则，

有，

又由钝角，有，上式可化为，

有，

有，，

有，可得；

（2）由，，有，

又由，可得，有，

可得，

又由，可得，

有．

21．【答案】（1） （2）

【解析】（1）圆N的方程可化为，

将抛物线M的方程代入圆N的方程有，

由抛物线M与圆N相交有四个交点，必有解得，

故p的取值范围为；

（2）设点A，B的坐标分别为，，

由对称性可知，，点E在x轴上，点E的坐标为，

由（1）可知，，有，可得，

直线的斜率为，直线的斜率为，

有，有，有，可得，

又由，有，

故点E的坐标为．

22．【答案】（1）详解见解析 （2）略

【解析】（1）解：函数的定义域为．

，

①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；

②当时，由，，可得函数的减区间为，

增区间为，；

③当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为；

（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．

又由，等价于证明，

又由，

令，有，

可得

，

令，有，

可得函数单调递减，有，可得当时，．

故有，可得得证．