学而思秋季新高一数学同步复习——目标班（人教版）

这是一份必修 第一册全册综合同步练习题，文件包含高一秋季第13讲三角恒等变换三大问题初稿目标班doc、高一秋季第14讲期末考试初稿目标班doc、高一秋季第8讲三角函数公式强化初稿目标班doc、高一秋季第10讲平面向量的线性运算初稿目标班doc、高一秋季第9讲正弦型函数的图象与性质初稿目标班doc、高一秋季第1讲集合中的常用数学思想目标班删解析doc、高一秋季第11讲平面向量数量积与坐标运算初稿目标班doc、高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析doc、高一秋季第3讲函数的单调性与奇偶性一目标班删解析doc、高一秋季第12讲和差角公式与二倍角公式初稿目标班doc、高一秋季第15讲期末复习初稿目标班doc、高一秋季第4讲函数的奇偶性二与对称性目标班删解析doc、高一秋季第6讲对数函数与相关复合函数目标班删解析doc、高一秋季第5讲指数函数与相关复合函数目标班删解析doc、高一秋季第7讲期中复习目标班删解析doc等15份试卷配套教学资源，其中试卷共223页， 欢迎下载使用。

函数14级
指数函数与相关复合函数
满分晋级

函数13级
函数的奇偶性（二）
与对称性
函数12级
函数的单调性
与奇偶性（一）
本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．
4.1函数奇偶性（二）
考点1：函数的奇偶性
<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一般的奇偶性，并由此引出一般的对称性．
如是偶函数，
从图象平移角度来说：意味着函数的图象向右平移一个单位后，有对称轴，故函数的图象有对称轴．
从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，的自变量为，故意味着．
这说明：与关于对称是等价的命题．
⑴ ① 若是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项）
② 若是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项）
A．B．
C．D．
E． F．
⑵ ①若是偶函数，则函数图象的对称轴为_______．
②若是奇函数，则函数图象的对称中心为_________．
⑶ ①若是偶函数，则函数图象的对称轴为_______．
②若是奇函数，则函数图象的对称中心为_________．
⑷ 若的对称中心为，则函数图象的对称中心为 ．
⑸ (目标班专用)若的对称中心为，则函数图象的对称中心为________．图象的对称中心为_______．
⑴ ①B；②A、F；
⑵ ①；②；
⑶ ①；②．
⑷ ；
⑸ 、；
4.2函数的对称性
偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．
一、轴对称
这里我们要讲的是研究方法：
先来看偶函数，偶函数的图形是关于轴对称的，它具有代数形式是，如何从图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量和，由于图象是关于轴对称的，所以在与处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，和可以理解为一个是，一个是，也可以理解为与中点为．
由此角度可以想想，若将对称轴换成呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？

①
②若，则，一定要写成的形式，只需两个括号中的和为即可．
第1种思考方式：若关于对称，则关于对称的两自变量所对应的函数值相等；
第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若和两点关于轴对称，则两自变量满足（∵中点在对称轴上）．
如：，括号中的和为，∴的图象关于对称．
一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：
，则关于轴对称．
再如：若，此时是否有对称轴？有，仍然为．
当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．
例：若是偶函数，则的对称轴为_____．
在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由关于对称．
上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有，则的图象否有对称性？不一定有，因为和的关系不能确定，但严格意义上还是关于对称，因为与可通过去解决．
若，则的图象否有对称性？有，关于对应．
有限制时，不一定对称，如，因为时，的情况无法确定．当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．
本质上来说，当与的值域的并集为时，可以得到对称，否则得不到．
知识点睛
一般的轴对称：
⑴ 函数的图象关于直线对称；
⑵ 若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．
【练习1】⑴若函数满足：，则的图象的对称轴为________；
⑵若函数满足：，则的图象的对称轴为________；
⑶若函数满足：，则的图象的对称轴为________．
⑴；⑵；⑶．
经典精讲
考点2：二次函数的对称性
<教师备案> 二次函数是一类很特殊的轴对称函数，对于二次函数来说，只需要两个特殊点的函数值相等就可得到它的对称轴，这是因为它的对称性+单调性决定的．对于一般的轴对称函数，并没有这样的性质．
【铺垫】函数对任意的均有，那么、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
C
⑴二次函数，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
⑵二次函数，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
⑶设且，则（ ）
A． B．
C． D．
⑷（目标班专用）已知函数（），若，且，则（ ）
A. B.
C. D.的大小不能确定
⑴ D
⑵ C
⑶ B
⑷ B；
考点3：轴对称函数的性质
【铺垫】若函数在上为减函数，且对任意的，有，则（ ）
A． B． C． D．
D
⑴已知函数，当时，，且恒成立，则当
时， ．
⑵已知为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，，则当 时，__________．
⑶设函数对于一切实数都有，如果方程有且只有三个不相等的实数根，那么这三根之和等于 ．
⑷（目标班专用）已知函数满足①；②时，为增函数；③，，且，则与的大小关系是 ．
⑴
⑵ ．
⑶ ．
⑷．
二、中心对称


对称中心：每个点绕着对称中心旋转后还在图象上．
奇函数中两自变量的中点是中间的，两函数值中点是，有．
若将对称中心移到点，可同理，从出发，向左向右距离相等，使其自变量对称，则它们对应的函数值的中点应为，所以．当自变量关于对称时，函数值关于对称．
例：，则关于中心对称．
当描述对称性时一定要注意，自变量的和是一个常数时，所表达的一定是对称性，因为对称性就是往两边走．
例：，则是中心对称的，对称中心为．
，则关于中心对称．
知识点睛
一般的中心对称：
⑴ 函数的图象关于点对称．
⑵ 若函数满足，则的图象关于点成中心对称．
【练习2】⑴若函数满足：，则的图象的对称中心为________；
⑵若函数满足：，则的图象的对称中心为________；
⑶若函数满足：，则的图象的对称中心为________．
⑴；⑵；⑶．
经典精讲
考点4：中心对称函数的性质
⑴已知函数当时，，且恒成立，则当
时， ．
⑵已知当时，，且恒成立，则当时，
________．
⑶已知是定义在上的函数且为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数不是奇函数 B．
C．函数的图象关于点对称D．函数的图象关于点对称
⑷已知为定义在上的函数，若函数为奇函数，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．函数为奇函数
⑸（目标班专用）若定义在上的函数满足：对任意，有，则下列说法一定的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是奇函数D．是偶函数
⑴ ；
⑵ ；
⑶ D；
⑷ D
⑸ C；
考点5：含绝对值的函数的对称性
这里研究三种常见的含绝对值的函数：，，：
绝对值的几何意义是数轴上坐标为的两点之间的距离，从这个角度去理解：
绝对值中的两个对应的零点为，表示到这两个零点的距离之和，两零点应关于对称轴对称，故函数的对称轴为．且此函数的最小值为．
同样的，对，表示的是距离之差，当时，函数值一直为，且为最大值；当时，函数值一直为，且为最小值，在时，函数单调递减．
知识点睛
⑴的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
⑵的图象关于直线对称，且函数的最小值为；
⑶的图象关于点对称，且函数的值域为．
<教师备案> 对上面结论的证明：
方法一：可以由函数图象的对称性获得．

（） （）
方法二：代数证明．
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ．
经典精讲
⑴设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
⑵设函数的图象关于点对称，且函数的最大值为，则_______．
⑶用表示，两数中的最小值．若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
⑷（目标班专用）要使得函数的图象有对称轴，的值为____．
⑴ A
⑵ 或；
⑶ D
⑷ 或2或4．
4.3函数的周期性(目标班专用)
三、函数的周期性
的周期为定义为：
定义域为，，且，满足对于任意的，均有．
只要确定为一个周期，那么在每个长为的区间中，函数图象会被不停重复，此区间中的每个性质都会被不停重复下去，所以不可能存在一个周期函数只有一个零点，周期性是一种重复的表达．
若为周期，那么的任何整数倍也都是它的周期．
例：函数的周期，当时，，则当时，______．
答案：．图象重复，但解析式不一样，解析式的形式是相同的．
周期性的描述：自变量的差为常数时，函数值保持不变．如：，差都为；而，差也一定，也都为．
周期性的常见表达：
①，函数的周期；
②半周期表示：若满足后面两式中的任意一个有周期．
考点6：函数的周期性与半周期
知识点睛
1．对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的一个周期．
2．如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期．
3．⑴ 若函数满足：，则函数是周期为的函数；
⑵ 若函数满足：，则函数是周期为的函数．
⑶ 若函数满足：，则函数是周期为的函数．
（其中为常数，且）
【练习3】如果函数满足下面的关系式，写出它的周期：
⑴；⑵；⑶；
⑶；⑷．
⑴；⑵；⑶；⑶；⑷．
经典精讲
⑴若是上周期为的奇函数，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
⑵定义在上的函数满足且．则
= ．
⑶设定义在上的函数满足，若，则 ．
⑷设函数是上的奇函数，且，则 ．
⑴ A
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
【拓展】已知函数满足，且．则 ．
考点7：对称性与周期性综合问题
知识点睛
1．双对称性函数具有周期性．
⑴ 若函数的图象关于点，及点对称，则函数是周期为的函数．
证明：．
⑵ 若函数的图象关于直线及对称，则函数是周期为的周期函数．
证明：．
⑶ 若函数图象关于直线对称，且关于点对称，则函数是周期为 的周期函数．
证明：．
2．注意区别如下四个关系式反映的函数性质：
①：有对称轴；
②：有对称中心；
③：有周期；
④：有周期．
<教师备案> 结论:前面的正负相反的表示对称性，正负相同表示周期性．在等号两边，且表示对称性时，前面的符号相同表示轴对称，符号相反表示中心对称；在等号两边，且表示周期性时，符号相同直接反映周期，符号相反反映半周期．
经典精讲
⑴定义在上的偶函数满足，如果这个函数在上是增函
数，则在上函数是（ ）
A．增函数 B．在上是减函数，在上是增函数
C．减函数 D．在上是增函数，在上是减函数
⑵已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则的值是（ ）
A．0B．2C．D．1
⑶已知是奇函数，且对定义域内任意自变量满足，当时，，则当时，___________；当，时，______．
⑴ A
⑵ C
⑶ ，．
备注：周期性问题只有目标班有，所以习题中没有周期性的问题，下面的练习可以作为学生课上或课后的练习．其中练习3难度较大，也可以当成拓展例题．
【练1】定义在上的函数是偶函数，且．若在区间上是增函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是增函数
B．在区间上是增函数，在区间上是减函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
B；
【练2】定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：①；②的图象关于直线对称；③在是增函数；④在上是减函数．其中正确的判断是_____________（把你认为正确的判断的序号都填上）．
①②；
【练3】是定义在上的以为周期的奇函数，则方程在区间内解的个数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
C
有一个结论：若是定义在上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为，则的值为．因为，所以，．
若的图象的对称轴为，则
①的图象的对称轴为______；②的图象的对称轴为_______；
③的图象的对称轴为______．
①；②；③．
与是关于轴对称的，故有对称轴；
向右平移一个单位得到，故的对称轴为．
因为，从而，故，记，则有，即有对称轴，即有对称轴．
实战演练
【演练1】对于二次函数，及任意的有( )
A．B．
C． D．
B
【演练2】若二次函数的对称轴为且其图象过点，则的值为（ ）
A． B．3 C．2 D．1
A
【演练3】若函数满足，且时，，则时，______．
；
【演练4】 若函数满足，时，，则时，______．
；
【演练5】 已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C． D．
D
大千世界
（2009年全国Ⅰ理11）函数的定义域为，若与都是奇函数，则（ ）．
A．是偶函数 B．是奇函数
C． D．是奇函数
D
∵与都是奇函数，∴，，
∴函数关于点及点对称，函数是周期的周期函数．
∴，，
即是奇函数．故选D．