福建省9市2023届高三模拟考试数学试题分类汇编：立体几何-2024高三数学一轮复习

福建省9市2023届高三模拟考试数学试题分类汇编

立体几何

一、单项选择题

1、（福州市2023届高三5月质量检测）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则

（  ）

A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β

C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于

2、（龙岩市2023届高三5月质量检测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

3、（南平市2023届高三第三次质量检测）2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比-热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）.

A.  B.  C.  D.

4、（宁德市2023届高三5月质量检测）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（    ）

A. 24 B. 28 C. 32 D. 36

5、（莆田市2023届高三第四次教学质量检测）在三棱锥中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，平面ABC，，则AB与平面PBC所成角的正弦值为（    ）

A.  B.

C.  D.

6、（泉州市2023届高三教学质量监测（三））图1中，正方体的每条棱与正八面体（八个面均为正三角形）的条棱垂直且互相平分．将该正方体的顶点与正八面体的顶点连结，得到图2的十二面体，该十二面体能独立密铺三维空间．若，则点M到直线的距离等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7、（三明市2023届高三教学质量监测）半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（    ）

A. 该二十四等边体的外接球的表面积为

B. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E，满足关系式

C. 直线与的夹角为60°

D. 平面

8、（厦门市2023届高三适应性练习）已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题

1、（龙岩市2023届高三5月质量检测）如图，已知正六棱台中，，，，则（    ）

A.  B.

C. 平面 D. 侧棱与底面所成的角为

2、（南平市2023届高三第三次质量检测）在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（    ）

A. 平面

B. 平面

C. 平面平面

D. 点E到平面的距离为

3、（宁德市2023届高三5月质量检测）在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（    ）

A. 直线与平面平行

B. 直线与直线垂直

C. 平面截正方体所得的截面面积为

D. 四面体的体积为

4、（泉州市2023届高三教学质量监测（三））在长方体中，，，点、在底面内，直线与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且，则（    ）

A.

B. 点的轨迹长度为

C. 三棱锥的体积为定值

D. 与该长方体的每个面所成的角都相等

5、（三明市2023届高三教学质量监测）如图，在直三棱柱中，，分别是棱的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（    ）

A. 平面         B. 平面

C. 存在点，满足  D. 的最小值为

6、（厦门市2023届高三适应性练习）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（    ）

A.

B. 当时，有且仅有一个点，使得平面

C. 当时，有且仅有一个点，使得

D. 当时，三棱锥的体积为定值

7、（漳州市2023届高三第四次教学质量检测）在棱长为1的正方体中，点为的中点，点，分别为线段，上的动点，则（    ）

A.  B. 平面可能经过顶点

C. 的最小值为 D. 的最大值为

三、填空题

1、（福州市2023届高三5月质量检测）已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为_________.

2、（莆田市2023届高三第四次教学质量检测）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体.则其体积约为________（精确到0.1）．（参考数据：，）

3、（漳州市2023届高三第四次教学质量检测）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，记该正四棱台的侧面积为，其外接球表面积为，则当取得最小值时，的值是______.

四、解答题

1、（福州市2023届高三5月质量检测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是母线，点D在线段BC上，直线//平面.

（1）记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，证明：；

（2）若，，直线到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

2、（龙岩市2023届高三5月质量检测）如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面和平面夹角的余弦值.

3、（南平市2023届高三第三次质量检测）如图，在三棱锥中，点S在底面ABC的投影在三角形ABC的内部（包含边界），底面是边长为4的正三角形，，，与平面所成角为．

（1）证明：；

（2）点D在的延长线上，且，M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

4、（宁德市2023届高三5月质量检测）在四棱锥中，，.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

5、（莆田市2023届高三第四次教学质量检测）如图，在四棱锥中，已知，，，，，△PAD为正三角形，．

（1）证明：平面平面ABCD．

（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．

6、（泉州市2023届高三教学质量监测（三））如图，三棱台中，是的中点，E是棱上的动点．

（1）试确定点E的位置，使平面；

（2）已知平面．设直线与平面所成的角为，试在（1）的条件下，求的最小值．

7、（三明市2023届高三教学质量监测）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

8、（厦门市2023届高三适应性练习）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形．如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥．

（1）求到平面的距离；

（2）当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

9、（漳州市2023届高三第四次教学质量检测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

（1）在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；

（2）若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.

参考答案

一、选择题

1、D   2、C   3、C   4、B   5、A   6、A

7、D   8、B  

二、多项选择题

1、BC   2、ACD   3、ACD   4、BCD   5、AD  

6、AD   7、ACD

三、填空题

1、   2、   3、

四、解答题

1、（1）连接，设，连接，

因为直线//平面，平面，平面平面，

所以//，

又因为为的中点，则为的中点，

所以.

（2）因为直线//平面，直线到平面的距离为，

则到平面的距离为，

又因为为的中点，则到平面的距离为，

由，则，可得，

延长交底面圆周于点，连接，则

因为平面，平面，则，

，平面，

所以平面，

由平面，则，即的边AD的高为，

由题意可得：，

可得为等腰直角三角形，则，

可得，

由，解得，

所以直线与平面所成角的正弦值，

因为//，则直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

故线与平面所成角的正弦值.

2、（1）

解（1）为圆的直径，是圆上异于的点，

故，

又，

而.

平面，平面.

平面平面平面.

（注：也可以由，证明，得出）

（2）

设为的中点，连接，则，

由（1）可知，平面；所以

平面，平面，

如图以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

由题意可得

平面，四边形为矩形，

设平面的一个法向量为

由，令，可得，

即，

设平面的一个法向量为，

由得，令，可得，

即.

设平面与平面的夹角为

则

平面和平面夹角的余弦值为.

3、（1）

作底面，垂足为O，则为与平面所成角，

即，在中，由可得，

因为底面，底面，故,

在中，，则,

在中，由可得，

故，且,

在中，，则≌，

故,而,故点必在上，且为的中点，

底面，底面，故，

又平面,

故平面平面,

故.

（2）

由（1）可知,,且平面,

故平面,

以点O为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由于，故,

则，

则，即，

设平面的法向量为，则，

即，令，则，

由题意可取平面的一个法向量为，

设平面与平面夹角为，

则，

故平面与平面夹角的余弦值为.

4、（1）

解法一：取的中点，连接.

在四边形中，，故四边形为直角梯形，

又，故.

又由，所以四边形为正方形，

故，从而；

又，所以，故.

由平面平面，从而平面，

又平面，所以平面平面.

解法二：取的中点的中点，连接.

在四边形中，，故四边形为直角梯形，

又，故，且，所以四边形为正方形，

故为等腰直角三角形，从而，为等腰直角三角形.

在中，，

又因为，所以，，

又，所以，故，

由平面平面，

从而平面，又平面，所以平面平面.

（2）

解法一：取的中点，连接，

由，所以，

因为平面平面，且平面平面，所以平面.

又为的中点，所以，且，

由（1）知，故.

以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，

则

则，

设，则，

，

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则令，则，

因为二面角的大小为，所以，

由，解得：，

所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.

解法二：过作，则平面.

以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图的空间直角坐标系，

则，

设，则，

，，

设平面的一个法向量为，

则

令，得，

因为二面角的大小为，所以平面与平面所成的角也等于，

平面的一个法向量为，

，因为，解得，

所以线段上存在点，当，即时，使得二面角大小为.

解法三：过点作于，过作于，连接，

由（1）知平面平面，所以平面，平面，故，

又平面平面，

所以平面，又平面，因而，

所以是二面角的平面角.

因为平面平面，二面角大小为，

所以二面角大小为，从而，故，设，

因为，从而，所以，从而，

因为，从而，所以，

即，解得，所以，从而.

所以线段上存在点，当时，使得二面角大小为.

5、（1）连接，

在中，由余弦定理，

即，则，可得，

由题意可得：，则，可得，

，平面，

则平面，且平面，

所以平面平面ABCD．

（2）

在△PAB内作，交于点M，

因为平面PAB，平面PAB，则，

，平面，

则平面，

如图，以A为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，

设，

则，解得，即，

可得，

设平面的法向量，则，

令，则，即，

由（1）可知：平面的法向量，

则，

所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.

6、（1）

连接,

由三棱台中，是的中点可得,所以四边形为平行四边形，故,

平面, 平面,故平面,

又平面，且平面， ，

所以平面平面，又平面平面,平面平面,故,

由于是的中点,故是的中点，

故点在边的中点处，平面;

（2）

因为平面，平面,

所以,又平面,

故平面,由于平面,所以 ,

由（1）知：在边的中点，是的中点,

所以,进而，

连接,由

所以四边形为平行四边形，

故 ,由于平面，因此平面，

故两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设，

则，

故 ，

设平面平面的法向量为，

则，取，则，

又，

故，

当且仅当，即时取等号，

要使的最小值，只需要最大，最大值为，

此时的最小值为 .

7、（1）

连接与相交于点，连接，如图所示：

四边形为菱形，，

为等边三角形，是的中点，有，

、面，，面，又面，

则，又已知，，平面，

所以平面.

（2）

，分别为，的中点，连接，，

由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，

又因为为等边三角形，，平面

以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 

则，，，，由，

， 

设，，

则，

设平面的一个法向量，

则有，

令，则， 

易取平面的一个法向量为  ，

由已知平面与平面的夹角的正弦值为，

则平面与平面的夹角的余弦值为，

则有，

，由解得.

所以，点存在，.

8、（1）

因为，

所以不可能为四边形的对称轴，则为四边形的对称轴，

所以垂直平分，所以．

平面平面

所以平面．

所以到平面的距离．

（2）

存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为．

过作平面，所以两两垂直.

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系

由（1）得平面平面，因为

所以．

设，

，

，

设平面的法向量，

，所以

令，则，

所以平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，，

．

所以或，所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为或．

9、（1）

过点作交圆于点，（ ，分别为，的中点，所以,又，所以,故为平面与平面的交线）

因为是圆的直径，所以，，

所以，所以四边形为矩形，

因为，，所以，

因为平面，为的中点，

所以点到平面距离为，

所以

（2）

以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

所以，，，

，

设平面的法向量为，则

即，不妨取，得

因为与平面所成角的正弦值为，

所以

所以，所以或