考点02 全等三角形中的重要模型-八年级数学上册高频考点专题突破（人教版）

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考点02 全等三角形中的重要模型
知识框架

模型讲解
模型1、平移全等模型，如下图：

1．（2021·浙江温州市·八年级期末）如图，，，要说明，需添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．

2．（2021·云南昆明市·八年级期末）如图：已知，且，求证：．

3．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．

4．（2021·广西百色市·八年级期末）如图，已知点是的中点，∥，且．
（1）求证：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度数．

5．（2021·四川泸州市·九年级月考）如图，AB//CD，AB=CD点E、F在BC上，且BF=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCF（2）求证:AE//DF．

6.（2021•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．


模型2. 对称（翻折）全等模型，如下图：

1．（2021·安徽九年级专题练习）如图，四边形的对角线，相交于点O，，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是__________．　

2．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，已知，若要使得，则添加的一个条件不能是（ ）

A． B． C．AB=DC D．AC=DB
3．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，，，请补充一个条件：______，能使用“ASA”方法判定．

4．（2021·浙江金华市·八年级期末）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：　 　；结论：　 　．（均填写序号）
证明：

5．（2021·西安市·陕西师大附中九年级二模）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：．

6．（2021·河南南阳市·八年级期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．




7．（2021·江苏徐州市·八年级期末）已知：如图，点C是线段AB的中点，CD=CE，∠ACD=∠BCE，求证：
（1）△ADC≌△BEC；（2）DA=EB．


模型3. 旋转全等模型，如下图：


1．（2021·河北沧州市·八年级期末）如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）

A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
2．（2020·山西吕梁市·八年级期末）如图，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，D，E在同一条直线上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，则∠ADE的度数为（ ）

A．50° B．65° C．70° D．75°
3．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，已知，，且，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2020·福建厦门市·厦门双十中学八年级月考）已知：如图，C为线段BE上一点，AB//DC，AB=EC，BC=CD． 求证：∠A=∠E ．

5．（2021·江苏镇江市·八年级期末）如图，，
求证：（1）；（2）．

6．（2021·四川广元市·九年级期末）如图，已知和中，，，，，，线段分别交，于点，．（1）请说明的理由；（2）可以经过图形的变换得到，请你描述这个变换；（3）求的度数．

7.（2021•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．



模型4、半角全等模型
【解题技巧】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
1．（2020·武汉市六中位育中学八年级）（1）如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．


2．（2020·河南新乡市·八年级期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF．（2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．


3.（2020·江阴市夏港中学八年级月考）（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：________________．
（2）探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）方法应用：如图3，E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点，连接AE、AF，并且始终保持∠EAF=45°，连接EF并延长与AD的延长线交于点G，说明AG=EG．（正方形四边相等，四个角均为90°）



4．（2020·南昌市心远中学八年级期中）在图1、图2，图3中．点E、F分别是四边形边上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至G，使．则__________．
在图2中，，，，，，；则__________．

归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
实际应用:（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O处，A处、B处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东和南偏东的方向上．且A、B两处分别与指挥中心O的距离相等：其中甲公路是从A处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C、D处，经测量．试求C与D两处之间的距离．




5．（2020·全国九年级专题练习）如图1，在正方形中，分别是上的点，且，则有结论成立；

如图2，在四边形中，分别是上的点，且是的一半， 那么结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．
若将中的条件改为：如图3，在四边形中，，延长到点，延长到点，使得仍然是的一半，则结论是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明


6．（2021·山东东营市·七年级期末）(1)问题背景：
如图 1，在四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F 分别是 BC, CD 上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE， 连结AG，先证明ΔΔADG，再证明ΔΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ．
(2)探索延伸：如图 2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．


模型5、三垂直全等模型
如图：


1．（2021·广东中山市·八年级期末）如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（　　）

A．E为BC中点 B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE
2．（2020·涿州市实验中学八年级期中）在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．（1）求证：；（2）若，则的度数为 ．

3．（2020·广东省龙岭初级中学初一期中）如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．
（1）∠D和∠ECB相等吗？若相等，请说明理由；（2）△ADC≌△BCE吗？若全等，请说明理由；
（3）能否找到与AB+AD相等的线段，并说明理由。

4．（2020·河北省初三三模）如图，和都是直角三角形，， ，顶点在上，边经过点，点，在同侧，．

（1）求证：：（2）若， ， ，求的长．
5．（2020·江西赣州市·八年级期末）已知：，，，．

（1）试猜想线段与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将沿方向平移至图2情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
（3）若将沿方向平移至图3情形，其余条件不变，结论还成立吗？请说明理由．
6.（2021•庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 　 　（直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）


模型6、一线三等角全等模型
1）.一线三直角全等模型，如图：

1．（2021·广西梧州市·八年级期末）如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．（2021·河北邢台市·邢台三中八年级期末）如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（ ）

A．100 B．80 C．60 D．50
3．（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，，，且．
（1）试说明：是等腰直角三角形；（2）若，求的度数．

4．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）将的直角顶点置于直线上，，分别过点 、作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．若， ．求的面积．

5．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，，，，，垂足分别为，，，求，求的长．

6．（2021·河南商丘市·九年级期末）如图（1），已知中，，；是过的一条直线，且，在的异侧，于，于．（1）求证：；（2）若直线绕点旋转到图（2）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线绕点旋转到图（3）位置时（），其余条件不变，问与，的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线在不同位置时与，的位置关系．

7．（2020·浙江温州市·八年级月考）在△ABC中，AO=BO，直线MN经过点O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D. (1) 当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD；(2) 当直线MN绕点O旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；(3) 当直线MN绕点O旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．


2）.一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：

1.（2021•香坊区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．

2．（2021·黑龙江大庆市·七年级期末）如图，在中，，、、三点都在直线上，并且有，求证：．

3．（2021·河南濮阳市·八年级期末）已知：D，A，E三点都在直线m上，在直线m的同一侧作，使，连接BD，CE．（1）如图①，若，，，求证；
（2）如图②，若，请判断BD，CE，DE三条线段之间的数量关系，并说明理由．

4．（2020·安徽滁州市·八年级期末）（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是，的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：；
（3）如图3，在中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，，若的面积是15，则与的面积之和是_________．

5．（2021·河南安阳市·八年级期末）（1）如图1，已知中，，，直线l经过点O，直线l， 直线l，垂足分别为点C，D．依题意补全图l，并写出线段BC，AD，CD之间的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，C，O，D三点都在直线l上，并且有，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，请直接写出点B的坐标．
6．（2020·无锡市胡埭中学八年级月考）（1）如图1，直线m经过等腰直角△ABC的直角顶点A，过点B、C分别作BD⊥m，CE⊥m，垂足分别是D、E．求证：BD＋CE＝DE；

（2）如图2，直线m经过△ABC的顶点A，AB＝AC，在直线m上取两点 D、E，使∠ADB＝∠AEC＝α，补充∠BAC＝ （用α表示），线段BD、CE与DE之间满足BD＋CE＝DE，补充条件后并证明；
（3）在（2）的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB＝∠AEC＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD、CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明．
模型6、手拉手全等模型
1). 等腰（直角）三角形中的手拉手全等模型
如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD≌△ACE.

两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com]
①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；

1．（2020·河南许昌市·九年级期中）问题发现：（1）如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．

拓展探究：（2）如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
2．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）两块等腰直角三角尺与（不全等）如图（1）放置，则有结论：①②；若把三角尺绕着点逆时针旋转一定的角度后，如图（2）所示，判断结论：①②是否都还成立？若成立请给出证明，若不成立请说明理由．

3．（2020·浙江杭州市·八年级开学考试）如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．

（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若B，C，E三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
4．（2021·甘肃庆阳市·八年级期末）在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究：
（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD和CE的数量关系是

（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由：
（3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、
5．（2021·内蒙古赤峰市·九年级期末）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．


2).等边三角形中的手拉手全等模型
如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.

图1 图2
[来源:]
图3 图4
1．（2020·西华县教研室八年级期中）如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．

（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
2．（2020·湖南邵阳市·八年级期中）如图1，若点是线段上的动点（不与，重合），分别以、为边向线段的同一侧作等边和等边.

（1）图1中，连接、，相交于点，设，那么 ；（2）如图2，若点固定，将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于），此时的大小是否发生变化？请说明理由.
3．（2020·江西上饶市·南屏中学八年级月考）如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=a.

（1）当a=60°, 如图①则，∠DPE的度数______________
（2）若△BDE绕点B旋转一定角度，如图②所示，求∠DPE（用a表示）
4．（2019·费县第二中学）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，AC、BD交于点M．(1) 如图1，求证：AC=BD，判断AC与BD的位置关系并说明理由；
(2) 如图2，∠AOB＝∠COD＝60°时，∠AMD的度数为___________.

5．（2020·新疆八年级期中）如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E,直线BM、CN交于F点．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）（2）两小题的结论是否仍然成立，不要求证明．

3).一般三角形中的手拉手全等模型
如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作等边△ADB、△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.

4).正方形中的手拉手全等模型
如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.
1．（2020·辽宁丹东市·七年级期末）已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．

2．（2021·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．
（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ；
（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?

（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.

（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？

3．（2020·山东济宁市·八年级期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由．

4．（2020·河南省鹤壁市湘江中学八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是 ．
（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．

5．（2020·广东广州市·执信中学八年级期中）如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．（1）证明：△ADG≌△CDE；（2）请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；
（3）连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．

6．（2020·山西八年级月考）综合与实践
特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接．

如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ；
拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．