山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期十月份学情诊断数学试题

这是一份山东省泰安第一中学2023-2024学年高二上学期十月份学情诊断数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泰安一中2022级高二上学期十月份学情诊断数学试题一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．2．已知两条直线和，若，则实数的值为（    ）A．或1 B． C．1 D．3．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ）A．    B．C．    D．4．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ）A．1 B．2 C． D．5．过点作直线l与两坐标轴的正半轴相交，所围成的三角形面积为2，则这样的直线l有（    ）A．1条 B．2条 C．3条 D．0条6．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）A． B． C． D．7．已知直线l经过，且在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ）A．或 B．或 C．或 D．8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）A． B． C． D．二、多选题:共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．在下列四个命题中，正确的是（    ）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大10．在同一平面直角坐标系中，表示直线与的图象可能是（    ）A． B．C． D．11．下列说法错误的是（    ）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过两点的所有直线，其方程均可写为D．己知，若直线与线段有公共点，则12．已知正三棱柱的所有棱长均相等，D，E分别是的中点，点P满足，下列选项正确的是（    ）A．当时，为锐角                  B．当时，C．当时，有且仅有一个点P，使得   D．当时，∥平面   第II卷（非选择题）三、填空题: 共4小题，每小题5分，共20分.13．设，向量，，，且，，则      .14．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是           .  15．已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是                 . 四、解答题:共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知的三个顶点坐标分别为，，．求：(1)AB边中线所在的直线方程；(2)BC边的垂直平分线所在的直线方程．  18．（12分）求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程.  19.（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.求平面BAM与平面AMC夹角的余弦值.    20．（12分）设直线l的方程为，若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程.    21．（12分）如图，正三角形 与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点． (1)求点 到平面 的距离；(2)已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．   22.（12分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点，.(1)证明：；(2)当为何值时，平面与平面夹角的正弦值最小?       10月月考参考答案：1----8．DBAB    5．A6．C【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C7．A【详解】由直线l在x轴上的截距的取值范围为可知直线过的斜率为，过点的斜率，且过点的斜率不存在；故线l的斜率或.故选:A8．A【详解】解：∵平面的方程为．∴平面的一个法向量为，同理，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，则，设直线与平面所成的角为，则．故选：A．9．AB     10．AC11．AC【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线垂直，充分性成立；若两直线垂直，则，解得：或，必要性不成立；“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错误；对于B，由直线得：，直线的斜率，即，又，，B正确；对于C，平行于坐标轴的直线，即或时，直线方程不能写为，C错误；对于D，由得：，直线恒过定点；    ，，结合图象可知：，，D正确.故选：AC.12．BD【详解】如图，设该三棱柱棱长为2，易得AD⊥BC，，以D为坐标原点，分别为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系.于是，，则.对A，若，则，所以，正负不定，不一定为锐角，故错误；对B，若，，则，故正确；对C，若，，，若，则，而，则或，则点P不唯一，故错误；对D，，设平面ADE的法向量为，则，取b=1，则，，所以，由可知，，则，而平面，所以∥平面.故正确.故选：BD.13．     14．.       15．【详解】因为，所以，，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：16． 17．(1)(2)【详解】（1）中点坐标为，所以边中线所在直线方程为，即.（2）中点坐标为，，所以边的垂直平分线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线方程为，即.18．或【详解】设直线在轴上的截距分别为，当时，直线经过原点，则直线斜率，直线方程为，即；当时，可设直线方程为，则，直线方程为；综上所述：直线方程为或.19． 【详解】∵PA⊥平面ABCD，，平面ABCD∴，∵底面ABCD是矩形∴AB⊥AD∴如图所示，选点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∵PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点∴，，，，，∴，∵BM⊥PD.∴，即，解得：∴∵AB⊥平面PAD，PD平面PAD∴AB⊥PD∵BM⊥PD，∴PD⊥平面ABM∴平面ABM的法向量为设平面ACM的法向量为则，即，令得：，，所以则设二面角的大小为，由题意知，为锐角则20．由题意知，令，解得，解得； 令，解得，解得或.综上有.∴， 当且仅当，即时取等号.∴（为坐标原点）面积的最小值是6，此时直线方程，即. 21．(1)(2)【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面ABE，∴平面ABCD，平面ABCD，∴.平面ABCD，平面ABCD，∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．则，，，，，，，，设是平面ACE的一个法向量，则，令，得，设点B到平面EAC的距离为d，则，∴点B到平面EAC的距离为（2）因为轴垂直平面,所以设平面的法向量为 ，，设，，则，∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，，由，解得，∴．22．【答案】(1)见解析；(2)解析：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设()．(1)因为，所以，所以．(2)设平面的法向量为，因为，所以，即．令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的二面角的平面角为，则．当时，取最小值为，此时取最大值为．所以，此时．