精品解析：广东省深圳市龙岗区东升学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

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2022-2023学年第一学期期末质量监测试题
九年级数学
（时间：90分钟 满分：100分 制卷人：八年级数学组）
一.选择题:（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 如图所示的几何体的主视图是　　

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】从几何体的正面看可得图形:
．
故选B．
【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.
2. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等四边形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意．
故选：A．
3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　）
A. y＝（x﹣1）2+2 B. y＝（x﹣1）2﹣2 C. y＝（x+1）2﹣2 D. y＝（x+1）2+2
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
4. 如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ）

A. 15 B. 12 C. 9 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．
【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点，
面积是3，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．
5. 已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据内项之积等于外项之积对A进行判断；根据分比性质对B进行判断；根据合分比性质对C进行判断；根据合比性质对D进行判断．
【详解】解：A．因为2x＝3y，所以，所以A选项不符合题意；
B．因为2x＝3y，则，所以，所以B选项不符合题意；
C．因为2x＝3y，则，所以，所以B选项符合题意；
D．因为2x＝3y，所以，则，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．
6. 若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A. k＜﹣2 B. k＜2 C. k＞﹣2 D. k＞2
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选择：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限” ．
7. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是(　　)

A. 24 m B. 25 m C. 28 m D. 30 m
【答案】D
【解析】
详解】由题意可得：EP∥BD，
所以△AEP∽△ADB，
所以，
因为EP=1.5，BD=9，
所以，
解得：AP=5，
因为AP=BQ，PQ=20，
所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30，
故选：D．
点睛：本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用，应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

8. 某农产品市场经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克x元，月销售利润可以表示为（　　）
A. （x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元 B. （x﹣40）（10x﹣500）元
C. （x﹣40）（500﹣10x）元 D. （x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元
【答案】D
【解析】
【分析】由题意直接利用每千克利润×销量=总利润，进而即可得出代数式．
【详解】解：设销售单价为每千克x元，则月销售利润=（x-40）[500-10（x-50）]．
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题抽象出二次函数，理解题意并正确表示出销量是解题的关键．
9. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

A. （0，0） B. （1，） C. （，） D. （，）
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短．
在RT△AOG中，AG===，
∴AC=．
∵OA•BK=•AC•OB，
∴BK=4，AK==3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为，直线AD解析式为，
由，解得：，
∴点P坐标（，）．
故选D．
10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论，
①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④，
其中正确结论的个数是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案；
③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=BC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=18075°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正确；
设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y，
∵∠FCD=30°，
∴即，
整理得：
解得：，
则，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，
∵△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°，
∴，
，
S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD



，
∴，故④正确；
故正确的有4个，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键．
二.填空题：（共5小题，每小题3分，计15分）
11. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为______
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义：使等式成立的x的值，是方程的解，将代入方程进行计算即可．
【详解】解：把代入可得，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求参数的问题．熟练掌握一元二次方程的解的定义，是解题的关键．
12. 如图，在中，，点D在上，，且，点E为的中点，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】利用可求出，再计算出，然后根据三角形面积公式得到，从而可求出．
【详解】解：∵
∴，
整理得，
解得（舍去）或，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解法，等高三角形面积的比等于底边的比等知识，灵活运用线段之间的关系是解决问题的关键．
13. 如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是_____________．

【答案】4米
【解析】
【分析】此题是把实际问题转化为解直角三角形问题，首先根据题意作图（如图），得Rt△AFD，Rt△CED，然后由Rt△CED，和坡面CD的坡比为，求出CE和ED，再由Rt△AFD和三角函数求出AF．进而求出AB．
【详解】解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，
在Rt△CED中，设CE=x，由坡面CD的坡比为，得：
DE=x，则根据勾股定理得：
x2+=，
得x=±，﹣不合题意舍去，
所以，CE=米，则，ED=米，
那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，
在Rt△AFD中，由三角函数得：
=tan∠ADF，
∴AF=FD•tan60°=×=米，
∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米，
故答案为4米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确添加辅助线是解题关键．
14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据题意可得：，从而利用平行线性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
【详解】解：如图：连接，

由题意得：
，
∴，
在中，，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图，已知直线：分别与轴、轴交于点，，双曲线与直线不相交，为双曲线上一动点，过点作轴于点，轴于点，分别与直线交于点，，且，则_____

【答案】8
【解析】
【分析】求出点A、B的坐标分别为、，可得，证明，根据相似三角形的性质可得，然后设点，表示出点和点，再分别求出、和，代入求出即可．
【详解】解：在一次函数中，当时，；当时，，
∴点A、B的坐标分别为、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点，则，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴点，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理的应用等知识点，关键是通过设定点E的坐标，确定相关线段的长度，进而求解．
三.解答题（共7小题，计55分）
16. 计算或解下列方程：
（1）
（2）
（3）计算：.
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）用公式法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可；
（3）代入特殊角三角函数值，根据负整数指数幂和二次根式的性质计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，即，
∴或，
∴，．
【小问3详解】
解：原式

．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
17. 为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：时）划分为A：，B：，C：，D：四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：

（1）这次抽样调查共抽取_____________人，条形统计图中的_____________；
（2）在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1300名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
（4）学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）100；42
（2）72°；条形统计图见解析
（3）910； （4）
【解析】
【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用调查的总人数乘以C组人数所占的百分比得到m的值；
（2）用360°乘以B组人数所占的百分比得到B组所在扇形圆心角的度数，再计算出B组人数，然后补全条形统计图；
（3）用1300乘以样本中C组和D组的人数所占百分比的和即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【小问1详解】
解：这次抽样调查的总人数为（人），
所以；
故答案为：100；42；
【小问2详解】
解：B组所在扇形圆心角的度数为；
B组人数为（人），
条形统计图补充完整为：
【小问3详解】
解：（人），
所以估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有910人；
【小问4详解】
解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
18. 深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为30°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（≈1.7）

【答案】24米
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，

由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAB=30°，∠DCF=45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=，
∴AE=≈51（米），
∵AB=57米，
∴BE=AB-AE=6（米），
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF=BE=6（米），
在Rt△DFC中，∠CDF=45°，
∴DF=CF=6（米），
∴BC=EF=DE-DF=30-6=24（米）．
答：教学楼BC的高度约为24米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形.
（2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积.
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵
∴四边形是菱形；
（2）∵矩形中， ，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得， ，
∴，
∴四边形的面积是：．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.
20. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的宽AB长为x米，请你用含x的代数式表示BC的长为___米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45 ，求此时AB的长度．

【答案】（1）24-3x；（2）AB=5m
【解析】
【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出BC；
（2）由（1）得花圃长BC=（24-3x），宽为x，然后再根据面积为45，列一元二次方程方程解答即可．
【详解】解：设花圃的宽AB长为x米，则长BC=22-3x+2=（24-3x）米
故答案为24-3x；
（2）由题意可得：（24-3x）x=45，解得：x1=3、x2=5；
∵当AB=3时，BC=24-3×3=15> 14，不符合题意，故舍去；
当AB=5时，BC=9符合题意
∴AB=5m．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出BC是解答本题的关键．
21. 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，CD＝，∠BCD＝∠DBC，判断四边形ABCD是不是“等邻边四边形”，并说明理由；
（2）如图2，RtABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，现将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，连结，，若平移后的四边形是“等邻边四边形”，求的长．

【答案】（1）是“等邻边四边形”，理由见详解；（2） 或2或 或 ．
【解析】
【分析】（1）根据∠BCD＝∠DBC，可得CD=BD=，由勾股定理可得AD=1，即可求证；
（2）延长 交AB于点D，根据平移的性质和BB′平分∠ABC，，可得 ，从而，然后分四种情况进行讨论——若 时；若 时；若时；若 时，即可求解．
【详解】解：（1）是“等邻边四边形”，理由如下：
∵∠BCD＝∠DBC，CD＝，
∴CD=BD=，
∵∠A＝90°，AB＝1，
在 中，由勾股定理得：
，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD是 “等邻边四边形”；
（2）如图2，延长 交AB于点D，

∵将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∵BB′平分∠ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设，
∴ ，
若 时，
在 中，由勾股定理得：
，
解得： ，（舍去），
∴，
∴ ；
若 时，
；
若时，
在 中，由勾股定理得：
；
∴，
∴；
若 时，
在 中，由勾股定理得：
，
即，
解得： 或 （舍去），
∴ ；
综上所述，若平移后的四边形是“等邻边四边形”， 的长为 或2或 或 ．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．

（1）如图1，若点A坐标为(2，4)．
①求m，k的值；
②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．
（2）如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．
（3）如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．
【答案】（1）①，；②6
（2）1 （3）D为线段GF的中点，理由见解析
【解析】
【分析】(1)①把A(2,4)分别代入入y1=(k＞0)和y2=mx，即可求得答案；
②如图1，延长DA交y轴于点K，利用待定系数法求得直线AD的解析式为y=-x+6，得出K(0,6)，再由S△AOD=S△DOK-S△AOK，即可求得答案；
(2)由题意得：A(s,ms)，D(t，nt)，k=ms2=nt2①，再根据矩形性质可得OA=OD，即s2+m2s2=t2+n2t2②，①②联立即可求得答案；
(3)由题意得：A(s,)，D(t,)，C(-s,-)，运用待定系数法可得直线CD的解析式为y=x+-，得出E(s,-)，再由矩形性质可得：FG∥AE∥y轴，EFAGx轴，进而得出F(t,-)，G(t,)，即可得出结论．
【小问1详解】
解：①∵点A(2，4)在上，
∴，；
∵点A(2,4)在上，
∴，
②∵点D的横坐标为4，
∴当时，，
∴D(4,2)
分别过点A、D作x轴的垂线交x轴于点H、K，
∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵直线AC，BD经过原点且与反比例函数分别交于点A，C，B，D，反比例函数的图像关于原点中心对称，
∴点A，C关于原点对称，点B、D关于原点对称，
∴，，
∴四边形ABCD为平行四边形．
当时，四边形ABCD是矩形．
∵点A，D的横坐标分别为s，t()，
∴点A的坐标为(s,)，点D的坐标为(t,)，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴
又∵A(s,)在上，
∴，
∴
D(t，在上，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：由(2)知，，，则
设CD的表达式为
，解得，
∴CD的表达式为，
∵轴交CD于点E，
∴当时，
∴E(s，)，
∵四边形AEFG是矩形
∴
∴，
∴
∴D为线段GF的中点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图像和性质，待定系数法，三角形面积，矩形的判定和性质，线段的中点坐标，反比例函数与正比例函数图像交点问题等，掌握反比例函数的图像及其性质是解题的关键.