四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月调研考试（校级联考）数学试题

2023~2024学年度上期高中2022级九月调研考试

数学

考试时间120分钟，满分150分

2023.9.27

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.下列说法正确的是（    ）

A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

C.多面体至少有5个面

D.六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形

3.设直线，平面，则下列条件能推出的是（    ）

A.，且

B.，且

C.，且

D.，且

4.已知，若直线过点，则的倾斜角为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”，为“是合格品”，为“是不合格品”，则下列结果错误的是（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.已知，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为（    ）

A.-1    B.1    C.-2    D.2

10.我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”平面分别为棱的中点，则下列选项正确的是（    ）

A.平面    B.平面

C.平面平面    D.平面平面

11.已知向量满足.设，则（    ）

A.的最小值为    B.的最小值为

C.的最大值为    D.无最大值

12.三棱锥的各顶点均在半径为2的球表面上，，则（    ）

A.有且仅有2个点满足

B.有且仅有2个点满足与所成角为

C.的最大值为

D.的最大值为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为__________.

14.一组数据的平均值为3，方差为1，记的平均值为，方差为，则__________.

15.三棱锥中，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为__________.

16.函数的值域为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.圆的圆心为，且过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）直线与圆交两点，且，求.

18.某山村海拔较高，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村.民政部门为此组建了精准扶贫队对该村进行定点帮扶，扶贫组在实地调研后，立足当地独特优势，大力发展乡村经济，带动全村父老乡亲脱贫奔小康.为了解贫困户的帮扶情况，该地民政部门从本村的贫困户中随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查，得到如下表所示的频数表：

（1）估计本村的贫困户的年收入的众数､第75百分位数；

（2）用分层抽样的方法从这100户贫困户抽取20户贫困户进行帮扶，若再从抽样调查收入在和的贫困户中随机选取2户作为重点帮扶对象，求至少有一户来自收入在千元的概率；

19.已知圆，直线.

（1）若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程；

（2）点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，求直线经过的定点；

（3）过点作两条相异的直线，分别与圆相交于两点，当直线与直线的斜率互为倒数时，求证：线段的中点在直线上.

20.如图，在四棱锥中，面，点是线段中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值

21.圆，过直线交圆于两点，且在之间.

（1）记三角形与三角形的面积分别为与，求的取值范围；

（2）若直线分别交轴于两点，，求直线的方程.

22.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点到点处.分别为的中点，且是与的公垂线.

（1）证明：三棱锥为正四面体；

（2）若点分别在上，且为与的公垂线.

①求的值；

②记四面体的内切球半径为，证明：.

2023~2024学年度上期高中2022级九月调研考试

数学参考答案及评分标准

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.20    15.    16.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

解：（1）设圆的半径为，则，

故圆的标准方程为：；

（2）设圆心到直线的距离为，

则，

由垂径定理得：，

即，解得：或.

18.（12分）

解：（1）众数为；

由于前三组的频率之和为，

前四组的频率之和为

∴第75百分位数在第4组中，

设第75百分位数为，则有：，解得：，

即第75百分位数为13.5；

（2）由频数表及分层抽样可知在收入范围内抽取的户数为，在收入范围内抽取的户数，

记年收入在的3名贫困户分别为A，，，年收入在的2名贫困户分别为，，

则从中随机抽取2户的所有可能结果为：，，，，，，，，，共10种，

其中抽到至少有一名在的贫困户的可能结果：，，，，，，有7种，

故年收入在的贫困户至少有1人被抽到的概率：.

19.（12分）

解：（1）∵，∴，，

即：弦AB所在直线的方程为.

（2）直线l与圆O相离，令，线段OQ中点，

O，C，Q，D四点位于圆上，CD是圆O与圆K的相交弦，

故.

即，由且得直线CD经过定点.

（3）点M在圆O上，ME，MF是斜率互为倒数的两条互异直线，设，

代入，整理得，

，，，

∴，，

，，

故线段EF的中点G在直线上.

20.（12分）

解：（1）取的中点，连接，

因为是线段中点，所以，，

因为，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）因为平面平面，所以，

因为，所以，所以两两垂直，

故以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

因为，，不妨设，

则，

所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，故，

因为平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

结合图形可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

21.（12分）

解：（1）若到直线距离为，则，故，

根据圆的对称性，讨论直线从一条切线位置旋转为一条过圆心直线的过程中，

从逐渐变小为，对应从0逐渐变大为，

所以，故，仅当时等号成立，

结合对勾函数在上递减，在上递增，则值域，

所以的取值范围为.

（2）直线的斜率一定存在且不为0，设，

如下图示，令且，，

易知，，

所以，，结合图知：，

所以，故，

联立，圆，

消去整理得：，

则，即，故，

且，，则，

综上，，可得，故.

22.（12分）

解：（1）连接，

因为菱形中，，

所以和为等边三角形，

因为是中点，所以⊥，

因为是与的公垂线，所以⊥，

因为，且平面，

所以⊥平面，

因为平面，

所以⊥，

由三线合一得，

又，所以三棱锥为正四面体，

（2）不妨设，则，，

由余弦定理得，

设，

所以，

因为，

所以

，

故，

其中，

，

，

即，解得，故；

②取中点，令，则到平面的距离为，

，

设四面体的表面积为S，则，

其中，

而，

，

所以，

即.