河北省秦皇岛市第十五中学2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份河北省秦皇岛市第十五中学2022-2023学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共16小题，每小题3分共48分）
1. 在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则树的高度为（ ）
A. 4.8mB. 6.4mC. 9.6mD. 10m
【答案】C
【解析】
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】设树高为x米，
所以

x=4.8×2=9.6.
这棵树的高度为9.6米
故选C.
【点睛】考查相似三角形应用，掌握同一时刻物高和影长成正比是解题的关键.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角
C. 相等的圆心角所对的弧相等
D. 三点确定一个圆
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理判断选项A；根据圆周角定理判断选项B；根据圆心角、弧、弦的关系判断选项C；根据不在同一条直线上的三点确定一个圆判断选项D．
【详解】A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；
C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项错误，
故选B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些定理是解决本题的关键．
3. 若一元二次方程的一个根为2，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为2，
，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ）
A. 5∶8B. 3∶8C. 3∶5D. 2∶5
【答案】A
【解析】
【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案．
【详解】解：，
，
∵DE//BC，
，
∵EF//AB，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据位似比的性质可知，用点E的坐标分别乘以即可求解．
【详解】解：∵，相似比为2，
∴点的对应点的坐标是或，即或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．
6. 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若，则 （ ）
A. 160°B. 100°C. 80°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角与圆心角的关系即可求．
【详解】解：∵
∴，
又∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴；
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理．解题关键是掌握圆周角定理及推论．
8. 已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图
所示，则当y1＜y2时，x取值范围是（ ）
A. x＜－1或0＜x＜3B. －1＜x＜0或x＞3
C. －1＜x＜0D. x＞3
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1，3），（3，-1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
【详解】解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=的交点是（-1，3），（3，-1），
∴当y1＜y2时，-1＜x＜0或x＞3；
故选B．
9. 若点、、在反比例函数的图像上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把点的坐标代入函数解析式，分别求出函数值，即可比较大小．
详解】解：根据题意，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用把点的坐标代入函数解析式求函数值比较简单．
10. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
11. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
A. B. 200+200×2x＝1000
C. 200+200×3x＝1000D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴，
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
12. 如图，D、E分别是、上两点，与相交于点O，下列条件中不能使和相似的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】或，
又公用，
∴∽
由及
∴
∴
又公用，
∴∽．
因此下列条件中不能使和相似的是：D。
故选D．
13. 某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表，如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予权之比为．根据四人各自的平均成绩，公司将录取（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少．然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出谁将被公司录取．
【详解】解：甲的平均成绩=(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，
乙的平均成绩=(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，
丙的平均成绩=(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，
丁的平均成绩=(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，
∵88.4>87.6>87.2>86.6，
∴乙的平均成绩最高，
∴公司将录取乙．
故选B．
【点睛】此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
14. 如图，已知是的直径，弦于点，厘米，，那么的半径是（ ）
A. 6厘米B. 厘米C. 8厘米D. 厘米
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据垂径定理可得厘米，设厘米，厘米，在中，根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，弦于点，厘米，
∴厘米，
∵，
∴可设厘米，厘米，
∴厘米，厘米，厘米，
在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴的半径是厘米．
故选：B
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
15. 某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ）
A. 中位数是4，平均数是3.75B. 众数是4，平均数是3.75
C. 中位数是4，平均数是3.8D. 众数是2，平均数是3.8
【答案】C
【解析】
【详解】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，
∵共有5个人，
∴第3个人的劳动时间为中位数，
故中位数为：4，
平均数为：=3.8．
故选：C．
16. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A. 两人都对B. 两人都不对
C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对
【答案】A
【解析】
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似，即可判断．
【详解】解：如图：甲：根据题意得：，，，
，，
，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：，，则，，
，，
，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定以及相似多边形的判定，熟练掌握和运用相似形的判定方法是解决本题的关键．
二、填空题（每空3分，共15分）
17. 直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则此三角形周长为_____．
【答案】24．
【解析】
【分析】⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出四边形CDIF是正方形，则CD＝CF＝2，根据切线长定理，得到AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，然后根据线段的和差关系，即可得到答案.
【详解】解：⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，
则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝2，
∴四边形CDIF是正方形，
∴CD＝CF＝2，
由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，CF＝CD，
∵直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为2，
∴AB＝10＝AE+BE＝BF+AD，
即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝10+2+2+10＝24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆与外心，内切圆与内心，正方形的判定和性质，切线的性质，切线长定理等知识点的综合.解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.
18. 在中，为直角，于点，，，写出其中的一对相似三角形是__________；并写出它的周长比是__________，面积比_____________．
【答案】 ①. 和（答案不唯一） ②. ③.
【解析】
【分析】证明，再根据相似三角形的性质可求出周长和面积的比．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，．
故答案为：（答案不唯一），，．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．
19. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________．
【答案】4
【解析】
【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可．
【详解】∵扇形周长等于铁丝的长为8 cm，扇形的半径是2 cm，
∴扇形弧长是4 cm，
∴.
故答案为：4．
【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式．
三、解答题（本题共7小题，共57分）
20. 如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．
（1）求证：CT为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
【分析】（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线．
（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）证明：连接OT，
∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA．
又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT．∴∠DAT=∠OTA．
∴OT∥AC．
又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT．
∵OT是⊙O的半径，∴CT为⊙O的切线．
（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，
∵CT⊥AC，∴OE∥CT．∴四边形OTCE为矩形．
∵CT=，∴OE=．
又∵OA=2，
∴在Rt△OAE中，．
∴AD=2AE=2．
21. 如图，是的外接圆，为直径，，于，且交于，交于．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数；
（2）由，由垂径定理即可求得，则可得，又由，易证得．
【小问1详解】
解：为直径，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
22. 如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析；.
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可．
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【详解】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为．
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．
23. （2011广西崇左，23，12分）2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸.山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米.
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（注：结果精确到个位）（参考数据：）
【答案】解：（1）∠DAC=180°- ∠BAC - ∠GAE =180°-38°-（90°-23°）=75°；
（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，
则Rt△ADH中，DH=2，AH=.
Rt△ACH中，∠C=45°，故CH=AH=，AC=.
故树高++2≈10米.
【解析】
【详解】试题分析：（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．
（1）延长BA交EF于点G
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．
（2）作AH⊥CD，垂足为H．
∵AD=4，∠HAD=30°
∴HD=2，AH=2
∠CAH=45°
∴CH=2
∴AC=2
∴AB=AC+CD=2+2+2=10.210（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．
考点：解直角三角形的应用
点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．
24. 已知抛物线．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点的坐标；
（2）用描点法画出函数的图象；
（3）写出与轴交点的坐标及与轴交点A、的坐标；
（4）当取何值时：①函数值随的增大而增大？②函数值随的增大而减小？
（5）抛物线是由怎样平移得到的？
【答案】（1）答案见解析
（2）作图见解析 （3），，
（4）① ；②
（5）向右平移2个单位再向上平移3个单位
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质进行回答即可；
（2）画出函数图像即可；
（3）二次函数中，令，得，令，得，得出，再回答即可；
（4）结合函数图像回答即可；
（5）利用二次函数图像平移法则进行平移即可．
【小问1详解】
∵抛物线
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；
【小问2详解】
函数图像如图所示：
【小问3详解】
二次函数中，令，得，
令，得，
解得：，
∴，，
【小问4详解】
由函数图像可知：当时函数值随的增大而增大，当时函数值随的增大而减小；
【小问5详解】
由抛物线向右平移2个单位再向上平移3个单位后得到抛物线．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
25. 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图像交于点M，过M作轴于点H，且．
（1）请直接写出k的值；
（2）设点是反比例函数图像上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）6 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）)对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P，此时PM+PN最小，由N与N1关于y轴的对称，根据N坐标求出N1坐标，设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN1的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标．
【小问1详解】
由可得，即，
，
，
轴，
点M的横坐标为2，
点M在直线上，
点M的纵坐标为3，即，
点M在反比例函数的图像上，
；
【小问2详解】
∵点在函数的图像上，
∴，即点N的坐标为，
作N关于y轴的对称点，连接，交y轴于P（如图），此时最小，
∵N与关于y轴的对称，N点坐标为，
∴的坐标为，
设直线解析式为，把M，的坐标得，
解得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴P点坐标为．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26. (本小题满分14分)在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)求直线AB的解析式；
(2)当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
(3)当t＝2秒时，四边形OPQB的面积为多少个平方单位？
【答案】（1）y＝－x＋6；（2）t＝秒或秒；（3）19.2
【解析】
【详解】（1）已知直线经过点A，B就可以利用待定系数法求出函数的解析式．
（2）以点A、P、Q为顶点的三角形△AOB相似，应分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB两种情况
讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出t的值．
（3）过点Q作QM⊥OA于M，△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面积．候选人
甲
乙
丙
丁
测试成绩
（百分制）
面试
86
92
90
83
笔试
90
83
83
92
动时间（小时）
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1