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新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 考前回扣 回扣6 概率与统计（含解析）
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这是一份新高考数学二轮复习考点突破讲义 第2部分 考前回扣 回扣6 概率与统计（含解析），共5页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理，排列，组合，二项式定理，二项式系数的性质，概率的计算公式，统计中四个数据特征等内容，欢迎下载使用。
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(3)排列数公式：Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)．
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)组合数的计算公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0！＝1，所以Ceq \\al(0,n)＝1.
(4)组合数的性质：①Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；②Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
5．二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
6．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为Ceq \\al(k,n)，当keq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增加而减小．
当n是偶数时，中间的一项 SKIPIF 1 < 0 取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝2n－1.
7．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间包含的样本点个数).
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率计算公式
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)．
(4)条件概率公式
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(5)概率的乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(6)全概率公式
P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
(A1，A2…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω)
(7)贝叶斯公式
P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)
＝eq \f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak).(i＝1,2，…，n)
8．统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．
方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
标准差：
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
9．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi.
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差为eq \r(DX).
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
10．一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))一定过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b，\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，,\(a,\s\up6(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(^))\x\t(x).))
(2)样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
11．独立性检验
利用随机变量χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
12．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
1．关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．
3．二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(3)排列数公式：Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)．
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)组合数的计算公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0！＝1，所以Ceq \\al(0,n)＝1.
(4)组合数的性质：①Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；②Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
5．二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
6．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为Ceq \\al(k,n)，当k
当n是偶数时，中间的一项 SKIPIF 1 < 0 取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝2n－1.
7．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间包含的样本点个数).
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率计算公式
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)．
(4)条件概率公式
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(5)概率的乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(6)全概率公式
P(B)＝eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．
(A1，A2…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω)
(7)贝叶斯公式
P(Ai|B)＝eq \f(PAiPB|Ai,PB)
＝eq \f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak).(i＝1,2，…，n)
8．统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．
方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
标准差：
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
9．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi.
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差为eq \r(DX).
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
10．一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))一定过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(b，\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，,\(a,\s\up6(^))＝\x\t(y)－\(b,\s\up6(^))\x\t(x).))
(2)样本相关系数r具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱．
11．独立性检验
利用随机变量χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
12．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
1．关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．
3．二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．
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