新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数图象的对称性（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 三角函数图象的对称性（含解析），共40页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
三角函数的图象和性质
正、余弦函数关于其零点中心对称，在最值点x0处关于直线x＝x0对称；正切函数关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0)) (k∈Z)中心对称，需要注意的是当k为奇数时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))不在y＝tanx的定义域内.
【题型归纳】
题型一：求三角函数的对称轴、对称中心
1．函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．y＝f(x)的递增区间为，k∈Z
B．
C．成立的区间可以为
D．y＝f(x)其中一条对称轴为
3．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．在区间上单调递增D．的图像关于直线对称
题型二：利用三角函数的对称性求参数
4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（ ）
A．B．C．D．

题型三：利用三角函数的对称性求最值
7．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数对任意的x都有，则等于（ ）
A．3或0B．或0C．0D．或3
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
题型四：由正弦函数的对称性求单调性
10．关于函数，有下列命题：
①直线是图象的一条对称轴
②存在，使得恒成立；
③在区间上单调递增
④的图象可以由函数向右平移个单位得到
则其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．已知函数(，）满足，，且在区间上是单调函数，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．已知直线是函数的一条对称轴，则的一个单调递减区间是
A．B．C．D．
【双基达标】
13．已知（）既不是奇函数也不是偶函数，若的图像关于原点对称，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
14．已知函数，下面结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上是增函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数是偶函数
15．已知函数满足，则（ ）
A．B．0C．D．2
16．若函数在区间内单调，且是的一个对称中心，则的值可以是（ ）
A．6B．C．9D．
17．函数图象的对称中心的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
18．函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．
C．D．
19．已知函数f(x)＝2cs(3x－)，下面结论错误的是( )
A．函数的最小正周期为
B．函数图像关于(－，0)中心对称
C．函数图像关于直线x＝对称
D．将y＝2cs3x图像上的所有点向右平移，可得到函数y＝f(x)的图像
20．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象关于对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
21．设函数，则下列结论正确的是
A．的一个周期为B．的图象关于直线对称
C．的一个零点是D．在单调递增
22．函数的一个对称中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
23．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0)B．(，0)
C．(，0)D．以上选项都不对
24．如果函数的图像关于点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
25．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
26．关于函数，有以下四个命题：
①函数是偶函数；②的图像关于直线对称；③要得到函数的图像只需将的图像向右平移个单位；④在区间内的单调递增区间是和．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
27．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上是单调递增的
D．函数图象的对称中心为
28．已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．函数的最小正周期为
C．曲线关于对称D．
29．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
30．已知函数（，），若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
31．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
32．已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
33．已知函数，，则（ ）
A．的最大值为B．在区间上只有个零点
C．的最小正周期为D．为图象的一条对称轴
34．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
35．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（）
A．①③B．①②③C．②③D．①②④
二、多选题
36．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
37．下列关于函数的相关性质的命题，正确的有（ ）
A．的定义域是
B．的最小正周期是
C．的单调递增区间是
D．的对称中心是
38．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于轴对称，则实数的值可能为（ ）
A．B．C．D．
39．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．点是的对称中心
B．直线是的对称轴
C．在区间上单调减
D．的图象向右平移个单位得的图象
三、填空题
40．已知函数的部分图像如图所示，将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得函数图像向左平移个单位长度，的到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是___________.（写序号）
（1）点是图像的一个对称中心
（2）是图像的一条对称轴
（3）在区间上单调递增
（4）若，则的最小值为
41．方程的所有根的和为___________．
42．函数的图象的一个对称中心为__________．
43．关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
44．设定义在上的函数，给出以下四个说法：
①的周期为；
②在区间上是增函数；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称．
以其中两个说法作为条件，另两个说法作为结论，写出一组你认为正确的一个命题（写成“”的形式）______．（其中用到的说法用序号表示）
45．已知函数，给出下列四个命题：
①函数是周期函数； ②函数的图象关于原点对称；
③函数的图象过点； ④函数为R上的单调函数.
其中所有真命题的序号是___________.
四、解答题
46．已知函数，其中常数.
(1)令，将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.
(2)求出（1）中的对称中心和对称轴.
(3)若在上单调递增，求的取值范围.
47．已知函数.
(1)填写上表，并用“五点法”画出在上的图象；
(2)先将的图象向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，最后将得到的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求的对称轴方程.
48．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
49．已知函数，.求：
(1)的图像的对称轴方程；
(2)的图像的对称中心坐标.
50．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.
函数性质
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
图象(一
个周期)
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最值
(k∈Z)
当x＝eq \f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；
当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1
当x＝2kπ时，ymax＝1；
当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
无
函数性质
y＝sinx
y＝csx
y＝tanx
对称性
(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ＋eq \f(π,2)；
对称中心：
(kπ，0)
对称轴：
x＝kπ；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
无对称轴；
对称中心：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
最小正
周期
2π
2π
π
单调性
(k∈Z)
单调递增区间
[2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2)]；
单调递减区间
[2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3π,2)]
单调递增区间
[2kπ－π，2kπ]；
单调递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
单调递增区间
(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
x
π
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
解：对于函数，令，
解得，故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.
故选：C
2．C
【解析】
【分析】
根据函数图象，应用五点法求得，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、C，代入法判断对称轴.
【详解】
由题设，，则，故，
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，
所以；
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，则.
综上，，B错误；
令，，可得，，
所以递增区间为，，A错误；
，则，，
所以，，当有，C正确；
，故不是对称轴，D错误.
故选：C
3．C
【解析】
【分析】
根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．
【详解】
由
对A项的最小正周期为，故A错；
对B项的最大值为，故B错；
对C.项当时，有，因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增，故C正确；
对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
先求出平移后的函数解析式，利用对称性可得的最小值.
【详解】
因为函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数解析式为；
由函数的图象关于轴对称，所以，
即，
因为，所以当时，取到最小值.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解．
【详解】
解：，
将函数的图像向左平移个单位，得到，
因为该函数关于轴对称，所以，，解得，，
又因为，所以的最小值为．
故选：B．
6．A
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性结合的取值范围可得出的值，利用函数的对称轴可得出的表达式，结合函数的单调性可求得的取值范围，可得出的值，进而可确定的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为是上的奇函数，则，
所以，，
因为的图象关于直线对称，则，可得，
当时，，
因为函数在区间内是单调函数，则，解得，
所以，，，故，因此，.
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
根据振幅即可得到，再由可得，再由特值可得，可得，根据题意由的图象关于直线对称可得，即可得解.
【详解】
根据函数的部分图象，
可得，，∴．
再结合五点法作图，可得，
求得，故．
将的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
若满足，则的图象关于直线对称，
故，即，，
故的最小值为，
故选：D．
8．D
【解析】
【分析】
是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值．
【详解】
任意实数都有恒成立，
是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值．
故选：．
9．A
【解析】
【分析】
利用平移变换得出，再由对称轴的性质得出，，结合得出的最小值.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象对应的函数为
因为函数的图象的一条对称轴是直线
所以，
解得，，又
所以当时，取最小值，为
故选：A
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用对称轴的性质结合得出的最小值.
10．B
【解析】
【分析】
对①、②、③、④一一分析：
对于①用代入法验证；对于②用函数的周期验证；对于③求单增区间验证；对于④利用相位变换验证.
【详解】
对于①：因为时，，所以直线不是图象的一条对称轴，所以①不对．
对于②：因为的最小正周期为，所以使得恒成立时，即，而时，，所以②不对．
对于③：因为时，，所以在区间上单调递增，所以③正确．
对于④：因为函数向右平移个单位得到函数，所以④不对．
综上所述，真命题的个数为1．
故选：B．
【点睛】
(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．
11．C
【解析】
先由题意得出的表达式，易知是奇数，再根据选项求出的解析式，判断在上是否单调即可.
【详解】
解：，
关于对称，
又，
关于对称，
设的周期为，
，
而，
；
对A，当时，，
又关于对称，
，
解得：，
又，
，
，
当时，，显然不单调，所以A错误；
对B，是奇数，显然不符合；
对C，当时，，
又关于对称，
，
解得：，
又，
，
，
当时，，显然单调，所以C正确；
对D，是奇数，显然不符合.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令 (或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对 。的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
12．B
【解析】
【分析】
利用周期公式计算出周期，根据对称轴对应的是最值，然后分析单调减区间.
【详解】
因为，
若取到最大值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，故B符合；
若取到最小值，则，即，此时处最接近的单调减区间是：即，此时无符合答案；
故选B.
【点睛】
对于正弦型函数，对称轴对应的是函数的最值，这一点值得注意.
13．C
【解析】
【分析】
结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.
【详解】
可设满足, 且（）,则,
注意到五点作图法的最左边端点为,而,,
故有,,
当时，，，此时；
当时，，，此时,
故选：C．
14．B
【解析】
【分析】
先化简函数得，然后逐个分析判断即可
【详解】
解：，
对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，在区间上是减函数，所以B错误；
对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确；
对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确，
故选：B
15．B
【解析】
由可知函数关于x＝对称，根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可求，然后代入即可求解．
【详解】
解：由f（﹣x）＝f（+x）可知函数关于x＝对称，
根据正弦函数对称轴处取得函数的最值可知， ,
故.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的对称性的简单应用，属于基础试题．
16．A
【解析】
【分析】
由对称中心得到(k∈Z)，当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，
当时，根据正弦函数的单调性结合的范围得到，求得，从而求得的值.
【详解】
,解得,(k∈Z)
若,则，解得；
若，则，解得；
故，或，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
17．D
【解析】
【分析】
由可得解.
【详解】
令，得，
故函数图象的对称中心的坐标为.
故选:D.
18．D
【解析】
【分析】
根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.
【详解】
令，可得．
所以当时，，故满足条件，
当时，，故满足条件；
故选：D
19．C
【解析】
【分析】
A：y＝Acs(ωx＋φ)＋B的最小正周期为；
B：f(x)的对称中心处函数值为零；
C：f(x)的对称轴过函数图像最高点或最低点；
D：根据函数图像平移对解析式的影响“左加右减”即可判断﹒
【详解】
A：y＝Acs(ωx＋φ)＋B的最小正周期为，∴f(x)的最小正周期T＝，A正确；
B：f(－)＝2cs[3×(－)－]＝0，所以(－，0)是f(x)的中心对称，B正确；
C：f()＝0，所以f(x)关于(，0)中心对称，C错误；
D：将y＝2cs3x图像上的所有点向右平移变为y＝2cs3(x－)＝2cs(3x－)，D正确﹒
故选：C．
20．A
【解析】
【分析】
先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，再由图象的平移可得的图象，由的图象的对称轴列方程结合即可求得的最小值.
【详解】
，
所以，
因为函数的图象关于对称，所以，
所以，因为，所以时，最小，
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
根据周期公式计算可知，选项A错误；根据的余弦值可知，选项B正确且选项C错误；根据区间的长度大于半个周期可知，选项D错误.
【详解】
因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
的最小正周期为，在内不可能是单调的，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性，对称轴，零点和单调性，属于基础题.
22．D
【解析】
【分析】
解方程即得解.
【详解】
解：令，
令，
所以函数的一个对称中心的坐标是.
故选：D
23．C
【解析】
【分析】
根据正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)求出函数y=tan(3x+)图象的对称中心，即可得到选项.
【详解】
解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；
令3x+=，解得，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
根据三角函数的对称性，带值计算即可.
【详解】
根据题意，，即，
解得；当时，取得最小值.
故选：B.
25．C
【解析】
【分析】
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
26．B
【解析】
【分析】
代入解析式，利用函数的奇偶性即可判断①；根据函数的对称性可判断②；根据三角函数的平移变换原则可判断③；根据单调区间可判断④.
【详解】
对于①，因为函数，
所以
，函数不是偶函数，故①不正确；
对于②，时，，
所以函数图像关于对称，故②正确；
对于③，将的图像向右平移个单位，
得到
，故③不正确；
对于④，，
由，
解得，
当时，，
当时，，
所以在区间内的单调递增区间是和，故④正确.
所以②④正确.
故选：B
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质，掌握三角函数的图像与性质是解题的关键，属于中档题.
27．D
【解析】
根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.
【详解】
由图象可知A＝2，f（0）＝1，
∵f（0）＝2sinφ＝1，且，
∴，
∴f（x）＝2sin（ωx），
∵f（）＝0且为单调递减时的零点，
∴，k∈Z，
∴，k∈Z，
由图象知，
∴ω，
又∵ω＞0，
∴ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x），
∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，
∴A错，
令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，
令2x,则x，则C错，
令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．
28．C
【解析】
根据二倍角公式及诱导公式可得，结合正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】
函数，
由于，即是奇函数，故A错误；
的最小正周期为，故B错误；
由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；
由于，，，故D错误；
故选：C.
29．D
【解析】
【分析】
由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.
【详解】
将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
30．C
【解析】
【分析】
由已知得，，且，解之讨论k，可得选项.
【详解】
因为的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，所以，所以，故排除A，B；
又，且，解得，
当时，不满足，
当时，符合题意，
当时，符合题意，
当时，不满足，故C正确，D不正确，
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查根据正弦型函数的对称性求得参数的范围，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于的不等式组，解之讨论可得选项.
31．C
【解析】
【分析】
根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.
【详解】
根据五点法作图知：，解得：，；
将向右平移个单位得：，
图象关于对称，，
解得：，
由，可令得的最小值.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
32．D
【解析】
【分析】
令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究.根据正弦函数的图象的对称性质得到,进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到的取值范围，进而得到的取值范围.
【详解】
令，当时，，的图象如图所示，
由对称性可知，∴,
又∵，
∴，
,故，
∴,
故选：.
33．D
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：函数
，
可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；
由可得，即，
可知在区间上的零点为，故B错误；
由，可知为图象的一条对称轴，故D正确．
故选：D
34．A
【解析】
【分析】
写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得．
【详解】
由题意平移后函数式为，
又新函数图象关于点对称，所以，而，
所以的最小值为．
故选：A．
35．C
【解析】
【分析】
由条件利用正弦函数的周期性单调性，以及图像的对称性，的图像变换规律，得出结论.
【详解】
函数的周期，两个相邻的对称轴之间的距离为，故①错误；
令，可得，因此的图象关于直线对称，故②正确；
当时，，可知为增函数，故③正确；
将的图象向右平移个单位后，可得到的图像不关于轴对称，故④错误.
故选：.
【点睛】
本题主要考查的是正弦函数图像和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键，是中档题.
36．CD
【解析】
求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．
【详解】
解：函数的最小正周期为，
画出在一个周期内的图象，
可得当，时，
，
当，时，
，
可得的对称轴方程为，，
当或，时，取得最小值；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，
综上可得，正确的有．
故选：．
【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．
37．AC
【解析】
分别求出函数的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误.
【详解】
对于A选项，令，解得，
则函数的定义域是，A选项正确；
对于B选项，函数的最小正周期为，B选项错误；
对于C选项，令，解得，
则函数的单调递增区间是，C选项正确；
对于D选项，令，解得，
则函数的对称中心为，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题.
38．BD
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可得，根据图象平移有，确定平移后的解析式，根据对称性得到的表达式，即可知可能值.
【详解】
由题意，得：，图象向左平移个单位，
∴关于轴对称，
∴，即，
故当时，；当时，；
故选：BD
39．CD
【解析】
【分析】
由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.
【详解】
由图知：且，则，
∴，可得，
又过，
∴，得，又，
∴当时，.
综上，.
A：代入得：，故错误；
B：代入得：，故错误；
C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；
D：，故正确；
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.
40．（2）（4）
【解析】
【分析】
首先根据函数的图象，求函数的解析式，再根据图象变换规律求函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可判断.
【详解】
由图象可知，，解得：，
，解得：，,
因为，所以，
所以，的图像上所有点的横坐标伸长到原来的，得，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得
当时，，所以不是函数的对称中心，是函数的对称轴，故（1）错误；（2）正确；
当时，，所以在区间上单调递增，在单调递减，故（3）错误；
若，则是函数的最大值和最小值点，所以，故（4）正确.
故答案为：（2）（4）
41．8
【解析】
【分析】
由于函数与都关于点成中心对称，结合图像以为中心的两个函数有8个交点，利用对称性得解.
【详解】
设，，等价于求两个函数的交点的横坐标的和的问题．
显然，以上两个函数都关于点成中心对称，作出两个函数的图象，如图所示，
函数在上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．
函数在上函数值为负数，且与的图象有四个交点、、、，
相应地，在上函数值为正数，且与的图象有四个交点、、、，
且：，
故所求的横坐标之和为8，
故答案为：8．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
42．（答案不唯一）
【解析】
【分析】
先根据二倍角公式将函数进行化简为，再整体法求出对称中心即可．
【详解】
得， 故图象的对称中心为（）当k=1 ,其一个对称中心为
故答案为：（答案不唯一）
43．②③
【解析】
【分析】
利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
44．①④②③（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由①的周期为，得到，再由④的图象关于直线对称，求得判断；再如：由①的周期为，得到，再由③的图象关于点对称，求得判断.
【详解】
解析：答案不唯一，比如：
①的周期为，则，函数．
若再有④的图象关于直线对称，则取得最值，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，此时②③成立，故①④②③．
再如：
若①的周期为，则，函数，
若再有③的图象关于点对称，
则，又因为，所以，
所以，此时②④成立，故①③②④．
故答案为：①④②③（答案不唯一）
45．①②③
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的性质，函数的单调性，对称性，函数的周期的应用判断①、②、③、④的结论．
【详解】
解：函数，
对于①，函数，故①正确；
对于②，由于函数，故②正确；
对于③，当时，，故③正确；
对于④，函数和都不是单调函数，故④错误．
故答案为：①②③．
46．(1)
(2)对称轴：，对称中心：
(3)
【解析】
【分析】
（1）由函数图象变换结论求得函数的解析式；
（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心；
（3）求条件可得，由此可求的取值范围.
(1)
，即.
(2)
.即对称轴为又.即对称中心为：
(3)
当时，
，
解得.
又
即的取值范围为.
47．(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用解析式以及五点作图法即可求解.
（2）根据三角函数的平移、伸缩变换可得，再由正弦函数的对称轴整体代入可得，解方程即可求解.
(1)
（1）由题意可得表格如下：
可得图象如图所示.
(2)
将的图象向上平移1个单位长度得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的可得到的图象，
最后将得到的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
即，
令，解得，
所以的对称轴方程是.
48．(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
(1)
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
(2)
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.
49．(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
先将函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后整体代换ωx＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒
(1)
由，得；
(2)
由，得，
∴对称中心为
50．（1）①③④，理由见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先分析②③④成立时的情况，然后推出矛盾即可确定出满足的三个条件；
（2）先根据（1）求解出的解析式，然后采用整体替换的方法求解出的对称轴方程，然后对进行赋值，确定出在区间上仅有一条对称轴时的取值范围.
【详解】
（1）三个条件是：①③④，理由如下：
若满足②：因为，所以；
若满足③：因为，所以，所以，
若满足④：，
由此可知：若满足②，则③④均不满足，
所以满足的三个条件是：①③④；
（2）由③④知：，
由①知：，所以，所以，
又因为，或，
所以或，
所以，所以，
不妨令，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,
所以的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：已知函数，
若求函数图象的对称轴，则令，；
若求函数图象的对称中心或零点，则令，．
x
0
0
0