新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用导数解决函数的极值问题（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 利用导数解决函数的极值问题（含解析），共34页。学案主要包含了考点梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0(0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.
【题型归纳】
题型一：求已知函数的极值
1．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得极小值1B．当时，取得极大值1
C．当时，取得极大值33D．当时，取得极大值
2．若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋2)，则函数f(x)有 ( )
A. 最小值f(0) B. 最小值f(－2)
C. 极大值f(0) D. 极大值f(－2)
题型二：根据函数的极值、极值点求参数
4．已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．函数在处有极大值，则的值等于（ ）
A．0B．6C．3D．2
6．若函数有2个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：函数（导函数）图象与极值、极值点的关系
7．函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在，上单调递增
B．函数在，上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
8．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
9．已知函数的定义域为(a，b)，导函数在(a，b)上的图象如图所示，则函数在(a，b)上的极大值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【双基达标】
10．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
11．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数在上是增函数，且在上仅有一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知函数，则当时，函数一定有（ ）
A．极大值，且极大值为B．极小值，且极小值为
C．极大值，且极大值为0D．极小值，且极小值为0
14．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
15．函数在的极大值点为（ ）
A．B．C．D．
16．已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
17．已知函数，则“”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．已知函数，则（ ）
A．在上为增函数B．在上为减函数
C．在上有极大值D．在上有极小值
19．已知在处取得极值，则的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
20．已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
21．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
22．已知函数在处取得极值，且，，若的单调递减区间为；则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
23．已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
24．设，在上有3个根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
25．若函数没有极值，则
A．B．C．D．
【高分突破】
单选题
26．若函数在上无极值，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
27．已知，则
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值D．有极小值，无极大值
28．已知函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
29．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．函数的极值点的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
31．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是
A．B．C．D．
32．已知函数的导函数的图像如下，若在处有极值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
33．若函数的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）
A．B．
C．D．
34．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数B．在内是增函数
C．在时取得极大值D．在时取得极小值
二、多选题
35．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．函数在时，取得极小值-1
B．对于，恒成立
C．若，则
D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1
36．（多选）设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）
A．在单调递增B．在单调递增
C．在上有极大值D．在上有极小值
37．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．单调递增区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
38．已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数的极大值为，极小值为
B．当时，函数的最大值为，最小值为
C．函数的单调减区间为
D．曲线在点处的切线方程为
三、填空题
39．函数在上的极值点为______.
40．写出一个存在极值的奇函数______________.
41．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是_________．
42．已知函数的一个极值点为1，则在[-2，2]上的最小值为_____________．
43．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
44．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
四、解答题
45．已知函数.
（1）当时，求曲线上在点处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若___________，求实数m的取值范围.
①在区间上是单调减函数；②在上存在减区间；③在区间上存在极小值.
46．在①的一个极值点为0，②若曲线在点处的切线与直线垂直，③为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数，且，求在上的最大值与最小值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
47．已知函数，．
（1）求函数的极大值；
（2）求证：；
（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设函数，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出，的值；若不存在，请说明理由．
48．已知函数，从①是函数的一个极值点，②函数的图象在处的切线方程为这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求的单调区间．
49．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求证：.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
求导可得解析式，令，可得极值点，利用表格法，可得的单调区间，代入数据，可得的极值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得，
令，解得或，
当x变化时，、变化如下
所以当时，取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当时，取得极小值，故A错误，
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
由奇函数的定义即可判断①；求导得出时的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出在上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.
【详解】
易得定义域为，对于①，，则为奇函数，①正确；
对于②，当时，，，当时，，单增，
当时，，单减，则时，有极大值，②正确；
对于③，当时，，，单增，③错误；
对于④，由上知，在单调递增，则，又，则，④正确.
则正确的结论有3个.
故选：D.
3．C
【解析】令f′(x)＝－x(x＋2)>0，解得－2