新高考数学一轮复习精品教案第16讲 数列通项（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精品教案第16讲 数列通项（含解析），共29页。教案主要包含了知识点总结，典型例题，技能提升训练等内容，欢迎下载使用。
一、观察法
根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.
二、利用递推公式求通项公式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①叠加法：形如 SKIPIF 1 < 0 的解析式，可利用递推多式相加法求得 SKIPIF 1 < 0
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②叠乘法：形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的解析式， 可用递推多式相乘求得 SKIPIF 1 < 0
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列
构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.
④利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系求解
形如 SKIPIF 1 < 0 的关系，求其通项公式，可依据
SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0
【典型例题】
（多选）例1．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn， SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A．Sn＝3n－1B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以3为首项，1为公差的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 也满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
例6．（2022·全国·高三专题练习）在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是首项为4，公比为2的等比数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，两边取倒数得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列有关数列的说法正确的是（ ）
①数列1，2，3可以表示成 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ；
②数列 SKIPIF 1 < 0 ，0，1与数列1，0， SKIPIF 1 < 0 是同一数列；
③数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项是 SKIPIF 1 < 0 ；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【分析】
利用数列的基本概念对四个选项逐一判断即可．
【详解】
解：对于①， SKIPIF 1 < 0 是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列 SKIPIF 1 < 0 ，0，1与数列1，0， SKIPIF 1 < 0 是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列 SKIPIF 1 < 0 的第 SKIPIF 1 < 0 项是 SKIPIF 1 < 0 ，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an= SKIPIF 1 < 0 则解下4个环所需的最少移动次a4数为（ ）
A．7B．10C．12D．22
【答案】A
【分析】
根据通项公式直接求项即得结果.
【详解】
因为数列{an}满足a1=1，且an= SKIPIF 1 < 0
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，
所以a4=2a3-1=2×4-1=7.
故选:A
【点睛】
本题考查根据数列通项求项，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
上式累加可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ，且a1=1，a2=5，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．69B．105C．204D．205
【答案】D
【分析】
可将已知适当变形成为 SKIPIF 1 < 0 ，可构造等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法求得 SKIPIF 1 < 0
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 构成以4为首项，1为公差的等差数列
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 …… SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 …… SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选：D
【点睛】
若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，可考虑用累加法求通项公式，其原理为
SKIPIF 1 < 0 …… SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 …… SKIPIF 1 < 0 ，运算化简即可.
5．（2020·全国·高三阶段练习（文））在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
通过赋值，利用累加法，即可求得结果.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
……
SKIPIF 1 < 0 ，
以上各式累加得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项公式，属基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累乘法计算可得；
【详解】
解：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，
由累乘法可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，符合上式，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式．
【详解】
解：数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所有的项相乘得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
利用 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
9．（2021·安徽·高三阶段练习（文））数列 SKIPIF 1 < 0 中的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）.
A．190B．192C．180D．182【答案】B
【分析】
根据公式 SKIPIF 1 < 0 计算通项公式得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，求和得到答案.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 不满足上式，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
10．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
令 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，由 SKIPIF 1 < 0 ，由作差法可得出 SKIPIF 1 < 0 的表达式，再对 SKIPIF 1 < 0 是否满足 SKIPIF 1 < 0 的表达式进行检验，即可得解.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，①
可得 SKIPIF 1 < 0 ，②
① SKIPIF 1 < 0 ②可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
故对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
11．（2022·全国·高三专题练习）设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】
根据数列 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，可得数列 SKIPIF 1 < 0 从第 SKIPIF 1 < 0 项开始是等差数列，根据通项公式，即可求解 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 从第 SKIPIF 1 < 0 项开始是等差数列，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
先转化为递推关系再求解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
13．（2021·全国·高三专题练习（理））在数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A【分析】
对 SKIPIF 1 < 0 变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，即可得解.
【详解】
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式可能是an＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根据题意，变形数列的前4项，然后归纳出通项公式．
【详解】
解：根据题意，数列的前4项为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则数列的通项公式可以为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
二、多选题
15．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－ SKIPIF 1 < 0
B．an＝ SKIPIF 1 < 0
C．数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
D． SKIPIF 1 < 0 －5050
【答案】BCD
【分析】
利用数列通项和前n项和的关系求解.
【详解】
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝－1(常数)，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 ＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－ SKIPIF 1 < 0 .
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不适合上式，
故an＝ SKIPIF 1 < 0 故B正确，A错误；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故D正确．
故选：BCD
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列选项正确的是（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列B．数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】
根据题设 SKIPIF 1 < 0 的关系，可判断 SKIPIF 1 < 0 是否为等比数列，进而可得 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，应用分组求和及等比数列前n项和得 SKIPIF 1 < 0 ，再写出 SKIPIF 1 < 0 通项，应用裂项法求 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断各选项的正误.
【详解】
由题设知： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABD.
三、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，由累加法可得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
18．（2021·河北·高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和记作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 进行求解即可．
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不符合上式．
所以， SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
19．（2021·山西省长治市第二中学校高三阶段练习（理））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，其前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 的最大的正整数 SKIPIF 1 < 0 等于_________．
【答案】25．
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，化简整理得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】
由题意数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 表示首项为1，公差为1的等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 的最大的正整数 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
20．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，替换 SKIPIF 1 < 0 ，构造 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，即可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，公差为3，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
21．（2022·全国·高三专题练习）若数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
由递推关系式可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
22．（2021·江西·高三阶段练习（文））若正项数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据给定条件将原等式变形成 SKIPIF 1 < 0 ，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】
在正项数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，因此得：数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为2的等比数列，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
23．（2021·全国·模拟预测（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用 SKIPIF 1 < 0 求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
24．（2021·全国·高三专题练习（文））已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根据 SKIPIF 1 < 0 变形得 SKIPIF 1 < 0 ，可构造等比数列 SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列的性质可求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，3为公比的等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查利用构造法求数列的通项公式，以及等比数列的定义应用，属于基础题．
25．（2021·全国·高三专题练习（理））以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.
此表由若干个数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和.若每行的第一个数构成有穷数列 SKIPIF 1 < 0 ，则得到递推关系 SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】256
【分析】
首先利用数列的递推关系式的变换求出数列的通项公式，进一步求出结果.【详解】
由有穷数列 SKIPIF 1 < 0 ，递推关系 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：256.
26．（2021·甘肃·西北师大附中高三阶段练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
利用数列递推式，可得数列 SKIPIF 1 < 0 是以10为首项，1为公差的等差数列，可得数列的通项，再利用函数的单调性，即可求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以10为首项，1为公差的等差数列
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
27．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足： SKIPIF 1 < 0 ，求{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，已知a1=3，（3n+2）an+1=（3n-1）an（n∈N*），an≠0，求an.
【答案】（1）an= SKIPIF 1 < 0 ；（2）an= SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）对an+1= SKIPIF 1 < 0 两边“取倒数”，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累加法求解；
（2）由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用累乘法求解. SKIPIF 1 < 0
【详解】
（1）对an+1= SKIPIF 1 < 0 两边“取倒数”，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
，即 SKIPIF 1 < 0 =2n+ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，
将以上各式累加得，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当n=1也满足，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因an≠0，由（3n+2）an+1=（3n-1）an，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
，
∴n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，逐项累乘，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当n=1也满足，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
28．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋ SKIPIF 1 < 0 ，n∈N*，求通项公式an；
（2）设数列{an}中，a1＝1，an＝ SKIPIF 1 < 0 an－1(n≥2)，求通项公式an.
【答案】（1）an＝－ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)；（2）an＝ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)．
【分析】
（1）由已知条件可得an＋1－an＝ SKIPIF 1 < 0 ，然后利用累加法可求出通项公式an.
（2）由an＝ SKIPIF 1 < 0 an－1，可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，然后利用累乘法可求出通项公式
【详解】
（1）∵an＋1－an＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴a2－a1＝ SKIPIF 1 < 0 ；
a3－a2＝ SKIPIF 1 < 0 ；
a4－a3＝ SKIPIF 1 < 0 ；
…
an－an－1＝ SKIPIF 1 < 0 .
以上各式累加得，an－a1＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 ＝1－ SKIPIF 1 < 0 .
∴an＋1＝1－ SKIPIF 1 < 0 ，
∴an＝－ SKIPIF 1 < 0 (n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)．（2）∵a1＝1，an＝ SKIPIF 1 < 0 an－1(n≥2)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
an＝ SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ×…× SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ×a1＝ SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ×…× SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 ×1＝ SKIPIF 1 < 0 .
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
将题中条件变形为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累乘法求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 满足上式，
所以 SKIPIF 1 < 0
30．（2021·山东·济宁市教育科学研究院高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）根据所给条件先求出首项，然后仿写 SKIPIF 1 < 0 ，作差即可得到 SKIPIF 1 < 0 的通项公式;
（2）根据（1）求出 SKIPIF 1 < 0 的通项公式，观察是由一个等差数列加一个等比数列得到，要求其前 SKIPIF 1 < 0 项和，需采用分组求和法，即可求出前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）
∵ SKIPIF 1 < 0 ，①
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．②
由①－②得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
∴数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）
由（1）知 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
当 SKIPIF 1 < 0 时，得到 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ②，
①减②得， SKIPIF 1 < 0
化简得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
32．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求出 SKIPIF 1 < 0
【详解】
解：（1）设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
相减得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 舍去)
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
33．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差可得数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，进一步可求通项；
（2）运用裂项求和来求和.
【详解】
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
又数列 SKIPIF 1 < 0 的各项为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
所以
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求m的值，并求出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
（1）法一：由已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，根据等比数列的性质确定 SKIPIF 1 < 0 的值，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 通项公式；法二：由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，结合已知求得 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据等比中项的性质求 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 通项公式；
（2）由（1）写出 SKIPIF 1 < 0 通项公式，由奇偶项和为定值，应用并项求和法求 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）法一：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
综上， SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 .
法二：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是等比数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
35．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，并求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1）证明见解析； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 带入 SKIPIF 1 < 0 整理即可得解；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 之间的关系，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用等比数列，直接求和即可得解.
【详解】
（1）由已知 SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对 SKIPIF 1 < 0 也满足．故 SKIPIF 1 < 0 ．