题型02 最值问题之阿氏圆-2023年中考数学重难点专题最后冲刺之最值问题（全国通用）

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背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需
【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
②计算出这两条线段的长度比
③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，
④则，当A、P、C三点共线时可得最小值
针对性训练
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM•CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
二、填空题
2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
3．如图，在⊙O中，点A、点在⊙O上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
4．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是_________．
【答案】
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为5
6．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴，
∴＝＝，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt中，
∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，
∴PB+PC≥，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
7．如图，在△ABC中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．

【答案】
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，
∴BH为⊙B的半径，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，
∴BHAC，
∴BP，
∵，，
而∠PBD＝∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴，
∴PDPC，
∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，
∴PA+PD的最小值为，
即PA的最小值为．
故答案为：．
8．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【详解】如图，连接，在上取一点，使得，
，
在△PDM中，PD-PM＜DM，
当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，
四边形是正方形
在中，
故答案为：．
9．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．
【答案】2
【详解】解法1
如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，
四边形正方形
，
又，
在与△MPC中
，
∽△MPC
故答案为：2．
解法2
如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在△BMP与中
，
△BMP ∽△BPD
，则
在上做点，使，则，连接
在与中
，
∽
，则
如图所示连接
在△BMN与中
，，
△BMN∽
故答案为：2．
10．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________．
【答案】
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当与⊙O相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
∴．
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.
【答案】
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：．
三、解答题
12．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD
（1）求证：△BDC≌△AFC
（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋AD的值；
（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋AD的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）或 ；（3）
【详解】（1）证明： ∵四边形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
②如图3中，当点E，F在边AB上时．
BD＝CF＝，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
综上所述，BD＋AD的值或；
（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，
∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM•CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，
最小值．
13．如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
14．如图，点A、B在⊙O上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在⊙O上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．
∵C是OA的中点，
∴．
∴在△OPC和△OEP中，，
∴△OPC∽△OEP，
∴，即，
∴，.
∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，
在中， ，
∴ 的最小值为．
15．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】(1);(2)或;(3)
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，
∴，
，解得，
抛物线解析式为：，
（2）当，即，
解得，
，
，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为，
设，过点作轴交直线于点，
则，
，
四边形的面积为16，
，解得，
或，
（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，
是抛物线的对称轴，
，
，
，，
，
，
在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
当三点共线时，取得最小值，最小值为，
．
则的最小值为．
16．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．
【详解】（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）
解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
17．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
18．问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．
故答案为：．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，
则有，
∵，
∴∽，得，
∴，故，
仅当B、P、D三点共线时，
的最小值．
（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，
则，∵，
∴∽，∴，
∴，∴，
仅当E、P、B三点共线时，
，
即的最小值为13．
19．如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
【答案】见解析
【详解】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值；
4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
20．已知△CDE与△ABC有公共顶点C，△CDE为等边三角形，在△ABC中，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；
(2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；
(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示：
∵为等边三角形，，
∴，，
四边形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴△DAT为等边三角形，
∵四边形ABDC的面积为，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：延长到使得，连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴△AHC为等边三角形，
∴，，
∵△CDE为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在△ACD和△HCE中，
，∴，
∴，
∵A为中点，M为中点，
∴为△BHE的中位线，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵点F为等边三角形的边中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的长度为定值，
∴在△CDE旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动，
∴如图，连接与⊙C交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．