2023学年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题

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2023年二轮复习解答题专题二十五：抛物线上面积类综合问题方法点睛在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标典例分析类型一：由已知面积来定未知面积类问题例1： （2022青海中考） 如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.          图1                     图2（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）类型二：图形面积的最大值问题例2：（2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
 （1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．类型三：与面积倍分有关的综合题例3：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标． 专题过关1.（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2. （2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，面积记为，的面积记为，当时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为，点C的对应点，点G的对应点，将曲线，沿y轴向下平移n个单位长度（）．曲线与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形是平行四边形，直接写出P的坐标．3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．4. （2022泸州中考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点，直线与轴交于点．（1）求，的值；（2）经过点的直线分别与线段，直线交于点，，且与的面积相等，求直线的解析式；（3）是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段和直线上是否分别存在点，，使，，，为顶点的四边形是以为一边的矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．6. （2022成都中考） 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．（1）当时，求，两点的坐标；（2）连接，，，，若的面积与的面积相等，求的值；（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．7．（2022烟台中考）（14分）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2022泰安中考） 如图，抛物线的图象经过点C，交x轴于点（点A在点B左侧），且连接，D是上方的抛物线一点．
 （1）求抛物线的解析式；（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，垂直于点F，使得中有一个锐角等于与的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由．9. （2022通辽中考） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；（3）点是抛物线上一点，若，求点的坐标．10. （2022包头中考） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标是，顶点C的坐标是，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接，记的面积分别为．当，且直线时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线与y轴交于点H，是否存在点M，使得．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11. （2022营口中考）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
 （1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．12. （2022盘锦中考）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接．
 （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标．13. （2022泰州中考）如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点B(3，1).
 （1）求这两个函数的表达式；（2）当随的增大而增大且时，直接写出的取值范围；（3）平行于轴的直线l与函数的图像相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数的图像相交于点E.若△ACE与△BDE的面积相等，求点E的坐标.14. （2022连云港中考）已知二次函数，其中．
 （1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点的坐标；（2）求证：二次函数的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与轴的负半轴的交点为，求面积的最大值．15. （2022岳阳中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．
求抛物线的解析式；
如图，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
如图，将中抛物线向上平移个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点点在点的左侧．
求点和点的坐标；
若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点点，与点，不重合，试求四边形面积的最大值．
16. （2022娄底中考） 如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．
 （1）请直接写出点，，的坐标；（2）点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．（3）点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．17. （2022常德中考） 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；（3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值18. （2022随州中考） 如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
 （1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．19. （2022黄冈中考） 抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．20. （2022龙东中考） 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．21. （2022哈尔滨中考） 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点，与y轴交于点C．（1）求a，b的值；（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为，过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接、设点P的纵坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接，点F在上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接交y轴于点G，点G为的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接，，延长交于点M，点R在上，连接，若，，求直线的解析式．22. （2022贺州中考）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．23. （2022广东中考） 如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
 （1）求该抛物线的解析式；（2）求面积的最大值，并求此时P点坐标．24. （2022福建中考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．25.（2022南阳卧龙一模） 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
 （1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当最小时，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线第一象限的图象上，则面积的最大值为________．26. （2022西工大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．
 （1）求抛物线W1表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．27. （2022山西百校联考）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．连接，．（1）求抛物线的表达式，并直接写出所在直线的表达式．（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．（3）设点是所在直线上一点，且点的横坐标为．是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．28.（2022山西一模） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．（1）________，________；（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？（3）在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29. （2022山西三模）综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线过点B，C，且与x轴交于另一点A，点D为抛物线上一动点，其横坐标为m．
 （1）求k，b的值和点A的坐标．（2）若点D在第一象限，连接交于点E，连接，，当的面积是的面积的一半时，求m的值．（3）连接，是否存在点D，使得，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022临汾二模） 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为第三象限内抛物线上一动点，点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．（3）若点是抛物线上的动点，点是直线 上的动点，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点的坐标．