2023年二轮复习解答题专题九：解直角三角形的应用课题学习

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2023年二轮复习解答题专题九：
解直角三角形的应用课题学习
方法点睛
解直角三角形的实际应用题解题方法
审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.
典例分析
例1 （2022临沂中考）（8分）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：

活动内容
测量主塔顶端到桥面的距离
成员
组长：×××组员××××××××××××
测量工具
测角仪，皮尺等
测量示意图

说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．
测量数据
∠A的大小
28°
AC的长度
84m
CD的长度
12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．

【分析】根据题意和表格中的信息，可以得到AG的长，再根据锐角三角函数即可求得EG的长，本题得以解决．
【解答】解：延长EF交AB于点G，
∵EF⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，
解得EG≈47.7，
即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
专题过关
1．（2022枣庄中考）（8分）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题
测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
活动工具
测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图

测量步骤
如图②
（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；
（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据
sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，由锐角三角函数定义得OP≈1.5x（米），OP≈0.8（x+10）（米），则1.5x＝0.8（x+10），解得x＝，即可解决问题．
【解答】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x（米），
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）（米），
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17（米），
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
2. （2022盘锦中考） 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角

从D处测得路灯顶部P的仰角

测角仪到地面的距离

两次测量时测角仪之间的水平距离

计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；）

【答案】3.5米
【解析】
【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．
【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，

∵，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．
3.（2022周口扶沟二模）九年级数学“综合与实践”的活动课题是“测量物体的高度”，第一小组和第二小组的成员分别采用不同的方案测量古树的高度，下面是他们的研究报告的部分记录内容．
课题：测量古树的高度AB
组别
第一小组
第二小组
示意图

（说明：图中的所有点均在同一竖直平面内，其中点C，B，E，G在同一水平线上，点D，M，F，H在同一水平线上）
方案
用高度为1.4m的测角仪在C处测得古树顶端A处的仰角为40°，并测得点C到古树的水平距离CB为9.76m
用高度为1.4m的测角仪在G处测得古树顶端A处的仰角为45°，在E处测得古树顶端A处的仰角为55°，并测得E，G两点间的距离为2.56m
参考数据
tan40°≈0.84，tan55°≈1.43，
计算过程
在Rt△ADM中，DM＝CB＝9.76，∠ADM＝40°，，
∴AM＝DM•tan40°≈9.76×0.84≈8.2（m）
∴AB＝AM＋BM≈8.2＋1.4＝9.6（m）
……
组员签字



（1）请完成第二小组成员的计算过程．（结果保留一位小数）
（2）你认为哪个小组的测量方案得到的结果更加准确，请说明理由．
【答案】（1）9.9m
（2）理由见详解
【解析】
【分析】（1）设AM＝x，在Rt△AHM中，∠AHM＝45°，可得MH＝AM＝x.在Rt△AFM中根据tan∠AFM＝，可得出FM的值，由MH－MF＝FH即可得出结论；
（2）第一小组测量的只是测角器所在位置与古树底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离；
【小问1详解】
解：设AM＝xm，
在Rt△AHM中，∠AHM＝45°，
∴MH＝AM＝x.
在Rt△AFM中，
tan∠AFM＝，∠AFM＝55°，
∴FM＝≈≈0.7x.
∵MH－MF＝FH＝EG＝256，
∴x－0.7x≈2.56，
解得x≈8.53
∴AB＝AM＋MB≈8.53＋1.4≈9.9（m）.
【小问2详解】
第二小组.
理由：由于树干有一定体积，不易确定点B的位置，故第一小组在测量时无法准确量出CB的长，故计算结果不准确；而第二小组恰好不用测量点E(或点G)到树的距离，故第二小组的测量方案得到的结果更加准确.（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
4. （2022河南社旗一模）手机测距可以测量物体高度、宽度等，这些测距软件是基于几何学原理设计的．测量时只需要输入身高，再用手机拍摄功能将准星对准物体顶端和底部拍摄图片，程序就会计算出物体的高度．某款测距提供的测高模式如下：


点都在同一平面内，手机位置为点，待测物体为，且和均与地面垂直．从点处测得顶端的仰角为，底部的俯角为．
奋进小组的同学想用上述方式手动计算某景区宣传广告牌的高度．如图2，经过测量得到，仰角，俯角，求出广告牌的高度（参考数据：，结果精确到0.1）．
【答案】3.8m
【解析】
【分析】通过矩形ABCD的性质可得AB=ED，通过锐角三角函数的定义求得AE和CE的长度，进而求得CD的长度，即可求得最终结果．
【详解】解：如答图，过点作于点．
则．
，
．
∴四边形是矩形．
，
．
∵在中，，
．
∵在中，，
．
．
答：广告牌高度约．

【点睛】本题主要考查了直角三角形中锐角三角函数的应用，掌握三角函数是解题的关键．
5. （2022河南滑县一模）学完解直角三角形后，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量河南郑州花园口某处黄河的宽度．他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量项目和测量数据如下表：
项目
测量花园口某处黄河的宽度
成员
组长：×××
组员：××× ×××
测量工具
无人机（可测量无人机离水面的高度及俯角）
示意图


说明：遥控无人机并控制在河面（花园口某处黄河的宽度）正上方的D处保持静止（悬停），利用无人机测得无人机距水面的高度，并分别测得俯视河面A，B两处的角度
测量数据



第一次
第二次
平均值
第一次
第二次
平均值
第一次
第二次
平均值









根据以上信息，解答下列问题：
（1）请利用上表中的测量数据，帮助该数学兴趣小组计算出花园口某处黄河的宽度．
（结果保留整数参考数据：，，，）
（2）有同学提出一个方案，直接利用无人机测量花园口某处黄河的宽度，由B处正上方水平匀速飞行到A处正上方，即可知道河面的宽度，请你分析该方案是否可行，并说明理由．
（3）该数学兴趣小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表中的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可）
【答案】（1）
（2）该方案理论上可行，理由:飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，故可行．（答案不难一，合理即可）
（3）数学兴趣小组要完成一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．（答案不唯一，合理即可）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BE和AE的长，进行计算即可求解；
（2）根据飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，即可判断；
（3）一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．
【小问1详解】
解：由题意，可知，，．
在中，，，
∴，
在中，，，
∴．
∴．
答：花园口某处黄河的宽度约为．
【小问2详解】
答：该方案理论上可行，理由:飞机由B处上方水平匀速飞行到A处上方的路程就等于AB的长度，故可行．（答案不难一，合理即可）
【小问3详解】
答：数学兴趣小组要完成一份完整的课题活动报告除上表中的项目外，还需要补充计算结果．（答案不唯一，合理即可）
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用和锐角三角函数，掌握以上知识点并应用到实际问题里是做出本题的关键．
6. （2022鹤壁一模）如图1是鹤壁市玄天洞石塔，原名玲珑塔，是我省现存最大的一座楼阁式石塔，玄天洞石塔坐东朝西，为九级重檐平面四角楼阁式建筑，此塔始建于元朝，重建于明代，时称天塔，因该塔屹立于淇河北岸玄天洞东南，又得名玄天洞石塔，某数学兴趣小组开展了测量“玄天洞石塔的高度”的实践活动，

具体过程如下：
方案设计：如图2，石塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A，D，B三点在同一条直线上）
数据收集：通过实地测量，地面上A，B两点的距离为20m，∠CAD=45°，∠CBD=58°．
问题解决：求石塔CD的高度．
（结果保留一位小数．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】12.3m
【解析】
【分析】设CD=xm，在Rt△ACD中，可得出AD=，在Rt△BCD中，BD=，再由AD+BD=AB，列式计算即可得出答案．
【详解】解：设CD为xm，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
答：石塔的高度约为12.3m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
7.（2022郑州一检） 嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．

课题
测量嵩岳寺塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°．
说明：点E、C、B三点在同一水平线上．
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】嵩岳寺塔的高度约为37.2m
【解析】
【分析】如图所示，延长FD到G与AB交于点G，先证AG=GD，然后设，则，再由，得到，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长FD到G与AB交于点G，
由题意得：，∠AGD=90°，
∵∠ADG=45°，
∴∠GAD=45°，
∴AG=GD，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴嵩岳寺塔的高度约为37.2m．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形应用，解题的关键在于能够根据题意作出辅助线构造直角三角形．
8. （2022濮阳二模）“惠风塔”是濮水小镇精心打造的标志性建筑，晋·王羲之《兰亭集序》：“是日也，天朗气清，惠风和畅．”由此取名“惠风”，取惠风和畅之意．某校数学社团的同学们在游览濮水小镇时，他们想测量“惠风塔”的高度，为此，他们购置了皮尺、测角仪等工具．下表是小颖同学在该活动中画的示意图和记录的相关数据．请你依据测量数据计算出“惠风塔”的高度（结果精确到，，，）．
目标
测量“惠风塔”到地面的高度
测量画
示意图


测量数据
m，m，，

【答案】42.7米
【解析】
【分析】设AE为x m，根据三角函数列方程求得AE的值，进而求出AD即可．
【详解】解：根据题意，得BM=ED=2.1m，∠AEC=90°，
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=CE=xm，
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=，
又∵∠ABE=35°，
∴tan35°=，
解得x≈40.6，
∴AD=AE+ED≈40.6+2.1=42.7（m），
答：“惠风塔”的高度为42.7m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练利用三角函数求值是解题的关键．
9. （2022南阳卧龙一模）嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．

课题
测量嵩岳寺塔的高度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°．
说明：点E、C、B三点在同一水平线上．
请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：，，）
【答案】嵩岳寺塔的高度约为37.2m
【解析】
【分析】如图所示，延长FD到G与AB交于点G，先证AG=GD，然后设，则，再由，得到，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长FD到G与AB交于点G，
由题意得：，∠AGD=90°，
∵∠ADG=45°，
∴∠GAD=45°，
∴AG=GD，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴嵩岳寺塔的高度约为37.2m．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于能够根据题意作出辅助线构造直角三角形．
10. （2022大同二模）在学校的数学“综合与实践”课上，同学们学习了测量学校旗杆的高度．
受到启发后，小宇与小东决定和学习小组成员分别采用不同的方案测量小区内一棵银杏树的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容：


测量内容
测量银杏树的高度
测量工具
测角仪（单位：度）、皮尺（单位：m）等
测量成员
小宇和学习小组成员
小东和学习小组成员
测量方案示意图




示意图说明
如图，银杏树的顶端点C到地面的高度为CF，在测点A、D用仪器测得点A、D处的仰角分别为，点A、B、C、D、E、G、F均在同一竖直平面内，点A、D、B在同一条直线上，点E、G、F在同一条直线上．
测量数据
，



参考数据

请从小宇和小东学习小组的方案中任选其中一个方案，根据数据求出银杏树的高度．mg
【答案】12米
【解析】
【分析】设BC的长为xm，从两种方案中根据正切函数的定义均可以得到关于x的方程，解方程得到x的值后即可得到银杏树的高度．
【详解】1）小宇和学习小组成员的方案：


设BC长为xm，
在中，



在中，




∴
．
答：银杏树的高度为12米．
（2）小东和学习小组成员的方案：


由题可知四边形ADGE、四边形ABFE为矩形，
，
，
设BC的长为xm，
在中，



在Rt中，




∴
．
答：银杏树的高度为12米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义及方程思想方法的运用是解题关键．
11. （2022河南上蔡二模）为了测量学校旗杆（垂直于水平地面）的高度，班里三个兴趣小组设计了三种不同的测量方案，如下表所示．
课题
测量校园旗杆的高度
测量工具
测角仪（测量角度仪器），卷尺，平面镜等
测量小组
A组
B组
C组
测量方案示意图



说明
线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD，FG表示测角仪的高度，点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内，CG表示两次测角仪摆放位置的距离，测角仪可测得旗杆顶端A的仰角
线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，线段CD表示测角仪的高度，DE表示测角仪到旗杆的距离，点F表示平面镜的中心，点E，F，D共线，眼睛在C处，移动平面镜，看向中心F，恰好看到旗杆顶端A，此时用测角仪测得平面镜的俯角，A，B，C，D，E，F六点在同一竖直平面内
线段AB表示旗杆的高度，线段BE表示旗杆底座高度，点A，B，E共线，EC为旗杆与底座某一时刻下的影长，A，B，C，E四点在同一竖直平面内，标杆NM垂直于水平地面，PM为标杆NM在某一时刻的影长
测量数据
为，为，米，米，米
米，米，米，为
米，米，米，米

（1）上述A，B，C三个小组中，用哪个小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，为什么？
（2）请结合所学知识，利用A组测量的数据计算出旗杆的高度AB．（结果保留两位小数．参考数据：，）
【答案】（1）C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由见解析
（2）9.45m
【解析】
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）连接FD与线段AE交于点M，推出四边形FGCD是矩形，再根据锐角三角函数，即可得到结论．
【小问1详解】
解：C小组测量的数据计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，理由如下：
上午10：00测量的旗杆与影长的比值与上午10：30测量的标与影长的比值不相同，因为随着时间的推移，太阳的位置上升，使得太阳光与地面竖直物体之间的夹角增大，从而使得竖直物体的高度与其影长之间的比值变大，两个时间点测量的比值不同，从而根据比值计算出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，如图所示，

是上午10：00旗杆高度与影长的比值，
是上午10：30旗杆高度与影长的比值，
∵在同一时刻，上述两个比值因为太阳处于同一高度，是相同的，
但是在不同时刻，随着太阳高度上升，上述比值是逐渐增大的，
∴，
∴，
∴通过上述比值求出的旗杆高度不是旗杆的真实高度，比真实高度要小；
【小问2详解】
如图所示，连接FD与线段AE交于点M，

根据题意得：=，=，米，米，米，
又∵FG⊥CG，DC⊥CG，
∴四边形FGCD是矩形，
又∵AE⊥CG，且线段AE与FD交于点M，
∴FG = ME = 1.5 m，
∴FM= GE，DM = CE，
设FM = xm，则DM= CE = CG-GE = CG-FM=（14.79-x）m，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即旗杆的高度AB为9.45m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角与俯角问题，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
12.（2022河南西华一模） 具有河南十大地标之称的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度

甲组的测量报告
乙组的测量报告
测量示意图


测量方案
与测量数据
在点D处用距离地面1.6m测角仪测出大门顶端A的仰角
在点O处放一面镜子，在点C处通过镜子反射刚好看到大门的顶端A，CD＝1.6m，BD＝37m，
参考数据
sin55≈0.82，cos55°≈0.57，
tan55°≈1.43
sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，
计算大门高度



（1）数学老师看了他们的测量报告后说：“其中一个小组的测量报告存在问题，不能得到测量结果．”你认为______的测量报告存在问题，并提出修改建议；
（2）请根据正确的测量报告计算出中国文字博物馆大门的高度（结果精确到0.1m）．
【答案】（1）甲，建议：应测量出BD的距离，才能利用tanα=求出AE的长，进而求出大门AB的高
（2）18.7m
【解析】
【分析】（1）甲的测量报告只有CD和∠α无法求出AB的高，故甲的测量报告存在问题，应知道CE即BD的距离才能用锐角三角函数求解；
（2）根据入射角=反射角，可知∠AOB=∠COD=29°，在Rt△OCD中，可以利用正切求出OD，进一步求出OB，再利用正切函数求出AB即可．
【小问1详解】
解：甲的测量报告存在问题；

建议：应测量出BD的距离，才能利用tanα=求出AE的长，进而求出大门AB的高．
故答案为：甲，建议：应测量出BD的距离，才能利用tanα=求出AE的长，进而求出大门AB的高．
【小问2详解】
解：由题意可知∠AOB为反射角，且∠COD=29°，
∴∠AOB=∠COD=29°．
∵tan29°=≈0.55，
∴OD≈2.91，
∵BD=OD+OB，
∴OB≈34.09．
∴tan∠AOB=tan29°= ≈0.55，
∴AB≈0.55×OB≈18.7．
答：中国文学博物馆的大门高度为18.7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用及仰角、俯角知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
13. （2022郑州外国语三模）为测量水城河两岸的宽度，某数学研究小组设计了三种不同的方案，他们在河岸边A处测得河对岸的同学B恰好在正北方向，测量方案及数据如下表：
课题
测量水城河两岸的宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案
方案一
方案二
方案三
测量方案示意图












测量说明
点C，D在点A的正东方向，DE⊥AD．
点C，D在点A的正东方向．
点C在点A的正西方向，点D在点A的正东方向．
测量数据
，
，
．
，
，
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（1）哪一种方案无法计算出河两岸的宽度；
（2）请选择其中一种方案计算出河两岸的宽度（精确到0.1m）．（参考数据：）
【答案】（1）方案一无法计算出河两岸的宽度
（2）约102m
【解析】
【分析】（1）方案一的数据为CD的长，由于△ABC和△DCE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，所以无法计算河宽；
（2）方案二：证明BC=CD=11.8m，解直角三角形求出AB即可．方案三：在Rt△ABC中，得AC=，在Rt△ABD中，得AD=，根据AC+AD=CD，求解即可；
（3）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【小问1详解】
解：方案一无法计算出河两岸的宽度，理由：
∵方案一的数据为CD的长，由于△ABC和△DCE无法建立联系，无法得到△ABC的任何一边长度，所以无法计算河宽；
【小问2详解】
解：按方案二计算：
∵∠ACB=∠ADB+∠DBC，即60°=30°+∠DBC，
∴∠DBC=∠ACB=30°，
∴BC=CD=11.8m，
在Rt△ABC中，
∵sin∠ACB=，∠ACB=60°，
∴AB=BC•sin60°=11.8×≈10.2（m）．
按方案三计算：
在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∠ACB=60°，
∴AC=，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=，∠ADB=30°，
∴AD=，
∵AC+AD=CD=23.5m
∴+=23.5m，即=23.5m，
∴AB≈10.2m
答：河宽约为10.2m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及等腰三角形的性质，解题的关键是学会构建直角三角形，利用解直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14. （2022河南兰考二模）我校九年级“卓越数学”兴趣小组，“双减”之后，开展多项减负提质实践课，周末他们用所学到的知识测量附近一幢楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离被建筑护坡遮挡，不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房AB前有一斜坡CD，它的坡度．他们先在坡面D处测量楼房顶部A的仰角，接着沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房的方向继续行走至E处，再次测量楼房顶部A的仰角，并测量了C、E之间的距离，最后测量了坡面C、D之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表:
项目
内容
课题
测量学校附近楼房的高度
测量示意图

说明:测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
仰角∠ADM的度数
30.1°
299°
30°
仰角的度数
59.9°
60.1°
60°
C、E之间的距离
5.1米
4.9米
5米
C、D之间的距离
11.8米
12.2米
？
…
…

（1）任务一：两次测量C，D之间的距离的平均值是______米；
（2）任务二：请你帮助“卓越数学”小组根据上表中的测量数据，求出该楼房AB的高．（结果精确到0.1米．参考数据:，）
【答案】（1）12； （2）22.3米．
【解析】
【分析】（1）直接用平均数公式计算即可；
（2）过点作于点；作于点，交于点．过点作于点，根据坡比求，解△DCG、△EHP、△AFH即可．
【小问1详解】
解：（米），
故答案为：12；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点；作于点，交于点．过点作于点．则，．

∵，，
∴；
∴在中，，，
在中，∵，即：，，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
在中，，
米．
∴楼房的高为22.3米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当的作辅助线，构建直角三角形．