新高考数学一轮复习讲练测专题3.2函数的单调性与最值（练）（含解析）

专题3.2  函数的单调性与最值

1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=在R上（    ）

A．是减函数 B．是增函数

C．先减后增 D．先增后减

【答案】B

【解析】

画出函数图像即可得解.

【详解】

选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.

故选：B.

2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（    ）

A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数

C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增

【答案】A

【解析】

根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.

【详解】

由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.

故选：A.

3．（2021·全国高一课时练习）设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则    （    ）

A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)

C．f(a2+a)<f(a) D．f(a2+1)<f(a)

【答案】D

【解析】

利用排除ABC，作差可知，根据单调性可知D正确.

【详解】

当时，选项A、B、C都不正确；

因为，所以，

因为在上为减函数，所以，故D正确.

故选：D

4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据函数为奇函数且在上单调递减可得求解.

【详解】

易知为上的奇函数，且在上单调递减，

由，

得，

于是得，解得．

故选：C．

5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意作出函数的草图，将，转化为，利用数形结合法求解.

【详解】

因为定义在R上的偶函数满足在内单调递增，

所以满足在内单调递减，又，

所以．

作出函数的草图如下：

由，得，

得，

所以或

所以或

解得或，

即不等式的解集为．

故选：D

6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数（    ）

A．是奇函数，单调递增 B．是奇函数，单调递减

C．是偶函数，单调递减 D．是偶函数，单调递增

【答案】D

【解析】

利用奇偶性和单调性的定义判断即可

【详解】

解：定义域为，

因为，所以为偶函数，

任取，且，则

，

因为，，所以，所以，所以在单调递增，

故选：D

7．（2021·全国高三月考（理））若是奇函数，且在上是减函数，又，则的解集是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

根据函数为奇函数，得到，再由函数在上是减函数，作出函数的图象，再由，等价于，利用数形结合法求解.

【详解】

因为函数为奇函数，

所以，

所以，

因为函数在上是减函数，

所以函数在上是减函数．

作出函数的大致图象如图所示，

而，等价于，即，

则或，

所以或，

解得或．

综上，的解集是．

故选：B

8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是偶函数，递增区间是

B．是偶函数，递减区间是

C．是奇函数，递减区间是

D．是奇函数，递增区间是

【答案】C

【解析】

将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；

【详解】

解：将函数去掉绝对值得，

画出函数的图象，如图，观察图象可知，

函数的图象关于原点对称，

故函数为奇函数，且在上单调递减，

故选：C

9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数，则（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减

C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】B

【解析】

利用定义可判断函数的奇偶性，化简函数在上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数在上的单调性.

【详解】

函数的定义域为，，

所以，函数为偶函数，

当时，，由于函数、在上均为减函数，

所以，函数在上单调递减，

故选：B.

10．（2021·全国高一课时练习）已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.

【详解】

由题意得：解得<m<.

故答案为：

1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据定义域和单调性可知，再根据时的单调性判断出，由此求解出的取值范围..

【详解】

因为，所以时，即，由单调性可知，所以，解得；

当时，为增函数，若单调递增，则只需，所以，解得，

综上可知的取值范围是：，

故选：D.

2．（2021·上海高三二模）已知函数满足：对任意，都有．

命题：若是增函数，则不是减函数；

命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．

则下列判断正确的是（    ）

A．和都是真命题 B．和都是假命题

C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题

【答案】A

【解析】

利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.

【详解】

对于命题：设，因为是上的增函数，所以，

所以，

因为，

所以

所以

故函数不是减函数，

故命题为真命题；

对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，

因为，

所以，

所以也有最大值和最小值，故命题为真命题．

故选：A

3．（2021·全国高三二模（理））已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

先求解出方程的解，然后利用换元法（）将表示为关于的函数，根据条件分析的取值范围，然后分析出关于的函数的单调性，由此求解出的取值范围.

【详解】

因为，所以且，

令，则，且，所以，

又因为且，所以且，

所以，所以，所以，

当时，，

因为在上单调递减，所以在上单调递增，

当时，，当时，，所以；

当时，，

因为、在上单调递增，所以在上单调递减，

当时，，当时，，所以，

综上可知：，

故选：D.

4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数的结论正确的是（    ）

A．在定义域内单调递减 B．的值域为R

C．在定义城内有两个零点 D．是奇函数

【答案】BD

【解析】

根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解.

【详解】

的定义域为，

而和在各段定义域内均为减函数，

故在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A错误；

当 ，时，有，

当时，有，

所以的值域为R，故B正确；

令，可得，

所以在定义城内有一个零点，故C错误；

，

令，易知，此时定义域关于原点对称，

且，故为奇函数，

所以是奇函数，故D正确，

故选：BD.

5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是（    ）

A．f(0)＝－，f(－1)＝－

B．f(x)为R上的减函数

C．f(x)＋为奇函数

D．f(x)＋1为偶函数

【答案】AC

【解析】

取，，得出，，的值进而判断A；由判断B；令结合奇偶性的定义判断C；令，结合g(x)为奇函数，得出，从而判断D.

【详解】

由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A正确；，不是上的减函数，B错误；令，得，，故C正确；令，由C可知g(x)为奇函数，，即，，故D错误.

故选：AC

6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

E.

【答案】AB

【解析】

利用函数单调性的定义：与同号，判断A、B、E的正误；而对于C、D选项，由于的大小不定，与的大小关系不能确定.

【详解】

由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确，E错误；

对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．

故选：AB.

7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数的定义域为，若存在区间使得：

（1）在上是单调函数；

（2）在上的值域是，

则称区间为函数的“倍值区间”．

下列函数中存在“倍值区间”的有（    ）

A．； B．； C．； D．．

【答案】ABD

【解析】

函数中存在“倍值区间”，则在内是单调函数,或，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．

【详解】

函数中存在“倍值区间”，则（1）在内是单调函数，（2）或，

对于A，，若存在“倍值区间”，则，，存在“倍值区间”；

对于B，，若存在“倍值区间”，当时，，故只需即可，故存在；

对于C，；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

若存在“倍值区间”，，

不符题意；

若存在“倍值区间”，不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；

对于D，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，若存在“倍值区间”，，，，，

即存在“倍值区间”；

故选：ABD．

8．（2021·全国高三专题练习（理））已知，，当时，恒成立，则的最小值是_____．

【答案】

【解析】

根据题中条件，先讨论，根据不等式恒成立求出；再讨论，求出得到，再由基本不等式即可求出结果.

【详解】

当时，，即恒成立，

是上的增函数，

∴，

当时，，即恒成立，

是上的增函数，

∴，

∴，∴，当时等号成立．

故答案为：.

9．（2021·全国高三专题练习）对于满足的所有实数p，则使不等式恒成立的x的取值范围为______．

【答案】．

【解析】

将不等式转化为在[-2，2]内关于的一次函数函数值大于0恒成立求参变量的范围的问题．

【详解】

解：原不等式可化为，令，则原问题等价于在上恒成立，

则，即解得：∴或．

即x的取值范围为.

故答案为：.

10．（2021·上海高三二模）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是_______________.

【答案】

【解析】

讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值.

【详解】

分以下三种情况讨论：

①若时，即当时，，

所以，函数在上单调递减，且，

当时，，

此时，函数无最小值；

②若时，即当时，，

当时，，

当时，.

，所以，，整理可得，

，解得（舍去）；

③当时，即当时，，

当时，，

当时，.

因为，所以，，整理可得，

，解得或（舍去）.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

1．（2020·全国高考真题（文））设函数,则（    ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

【答案】A

【解析】

根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，

再根据函数的单调性法则，即可解出．

【详解】

因为函数定义域为，其关于原点对称，而，

所以函数为奇函数．

又因为函数在上单调递增，在上单调递增，

而在上单调递减，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递增．

故选：A．

2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（    ）

A． B．y= C． D．

【答案】A

【解析】

函数，

在区间 上单调递减，

函数 在区间上单调递增，故选A.

3．（2018·全国高考真题（文））设函数，则满足的x的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.

4.(2017课标II)函数 的单调递增区间是（    ）

A. B.    C.    D.

【答案】D

【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .

故选D.

5.(2017天津)已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（    ）

（A）（B）（C）（D）

【答案】

【解析】由题意：，且：，

据此：，结合函数的单调性有：，

即，本题选择C选项.

6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【答案】①②③

【解析】

根据定义逐一判断，即可得到结果

【详解】

表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③