新高考数学一轮复习单元复习第八章解析几何《真题模拟卷》(含解析)

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02卷 第八章　解析几何《真题模拟卷》
－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）

一、单选题
1．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点（1，0）和定直线：的距离之比为的点的轨迹方程是；
②点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数（）的点的轨迹是圆；
④若动点满足，则动点的轨迹是双曲线；
⑤若过点的直线交椭圆于不同的两点，，且是的中点，则直线的方程是．
其中真命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
对于①：设动点，直接求出P的轨迹方程即可验证；
对于②：利用几何法求出的最小值即可验证；
对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；
对于④：利用双曲线的定义，进行判断；
对于⑤：用“点差法”求出直线方程进行验证即可.
【详解】
对于①：设动点，由题意可得：，即，整理化简得：，即求出的轨迹方程为：.故①错误；
对于②：设到抛物线的准线的距离为d，则，由抛物线的定义得，,所以，所以，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，最小，此时，故②正确；

对于③：当时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；
对于④：“若动点满足，则动点的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；
对于⑤：当直线的斜率不存在时，直线l：x=1，的中点为（1,0），不符合题意；
设直线的斜率为k，设，则.
因为在椭圆上，所以，两式相减得：，所以
因为是的中点，所以，所以，
所以直线的方程是.故⑤正确.
故选：B
2．已知双曲线，方向向量为的直线与交于两点，若线段的中点为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意写出直线的方程，然后结合点差法求出，进而可以求出双曲线的渐近线方程.
【详解】
由题意知直线的方程为，即，设，则，
作差得，即，
又因为，，
则，即，即，
且，消去，得，
则，当时，，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意，
所以双曲线的渐近线方程是，即，
故选：B.
3．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
4．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，以M为圆心，为半径的圆交y轴于G，H两点，则的长为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】
先求出圆心坐标和半径，再利用勾股定理求解即可
【详解】
易知抛物线的焦点为，
由点在抛物线上，可知，
以M为圆心，为半径的圆交y轴于G，H两点，则
故选：D
5．若是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】
由题意可得，点可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点重合）、可能和点重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点的轨迹方程，即可得到答案．
【详解】
设圆的半径为，
（1）若点A在圆内不同于点处，如图（1）所示，则有，故点的轨迹是以A､为焦点的椭圆，所以B正确；
（2）若点A与重合，则有，故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以A正确；
（3）若点A在圆上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段的垂直平分线必过点，故与重合，故点的轨迹是一个点；
（4）若点A在圆外，如图（4）所示，
则，
所以，故点的轨迹是以A､为焦点的双曲线右支，当的垂直平分线交的延长线于点时，的轨迹是以A､为焦点的双曲线左支，所以C正确；
故选:D.

6．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据垂直渐近线且，可得，从而不妨设，可得及，这样就可得轴，从而可得求解.
【详解】
易知，于是，故离心率，不妨设，则，
，，不难求得，于是轴，所以．
故选：B
7．已知A，B，C是双曲线上的三个点，经过原点O，经过右焦点F，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，连接，构造矩形，根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．
【详解】

设左焦点为，，连接，
则，，，，
因为，且经过原点，
所以四边形 为矩形，
在Rt中， ，代入
，
化简得，
所以在Rt中，，代入
，
化简得，即，
故选：C.
8．点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案．
【详解】
解：由椭圆：，得：，
当点在椭圆上时，周长最大，为，
当点在轴上时，去最小值，为，
又因点为椭圆内部的动点，
所以周长的取值范围为.
故选：C.
9．已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围.
【详解】

如图所示，由已知可知是的角平分线，
且，延长交于，
易知，
由，
所以，
又，，
所以，
在中，
由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以，
所以，
解得.
故选：D
10．双曲线（）的一条渐近线的方程为，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据双曲线方程写出渐近线方程，与已知渐近线方程对应系数相等即可求出，从而求出实轴的长度.
【详解】
因为双曲线（），所以双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线的方程为，即，所以，则，所以实轴长为，
故选：A.
11．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，，当的周长最小时，的面积为（ ）
A． B．9 C． D．4
【答案】A
【分析】
设的右焦点为，根据双曲线的定义可得当，，三点共线时，的周长最小，然后联立直线和双曲线的方程，求出点的纵坐标即可.
【详解】
设的右焦点为，由题意可得，，因为，
所以，.
的周长为，
即当，，三点共线时，的周长最小，
此时直线的方程为，联立方程组.解得或，
即此时的纵坐标为，故的面积为.
故选：A
12．已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于第一、四象限的A，两点，设抛物线焦点为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【分析】
求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，求得A，的坐标，以及的坐标，设的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
解：双曲线的两条渐近线方程为，
由抛物线和，联立可得,，,，
由抛物线的方程可得，
设的倾斜角为，斜率为，
而，
解得或，
设，若，解得，
则，
或，解得，
则，
故选：B．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．
13．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，设，与相交于点.若，且的面积为，则点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，得到，根据，得到，求得， ，又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，结合，列出方程，即可求解.
【详解】
如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，
过抛物线上一点作的垂线，垂足为，可得，
又由且，所以，
所以，解得，代入抛物线方程，可得，
又由且，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以的面积为，解得，
即点到准线的距离是.
故选：D.

14．如图所示，设椭圆的左、右两个焦点分别为，，短轴的上端点为，短轴上的两个三等分点，，且四边形为正方形，若过点作此正方形的外接圆的一条切线在轴上的截距为，则此椭圆方程为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，求得切线l的方程，根据四边形为正方形，可得b，c的关系，根据直线l与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求得b，c的值，根据a，b，c的关系，即可得，即可得答案.
【详解】
因为切线在x轴截距为，在y轴截距为b，
所以切线l的方程为，即，
因为正方形的对角线，
所以，即，
则正方形外接圆方程为：，
所以，解得，
又，
所以椭圆方程为.
故选：B


二、多选题
15．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
【答案】BC
【分析】
按照AB两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公式可判断B；由双曲线的定义结合切线长定理可判断C；利用等面积法可判断D.
【详解】
对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，

则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
【点睛】
易错点点睛：
本题极易忽略点在双曲线两支的情况，导致漏解.
16．已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线，经过点，以上一点为圆心的圆过定点，记，为圆与轴的两个交点（ ）
A．抛物线的方程为
B．当圆心在抛物线上运动时，随的变化而变化
C．当圆心在抛物线上运动时，记，，有最大值
D．当且仅当为坐标原点时，
【答案】ACD
【分析】
由已知，设抛物线方程为，将点代入即可判断A选项；设圆心，求出圆的半径，写出圆的方程，令，可求得、，由此可判断B选项；设，，根据条件可求得，利用基本不等式讨论即可判断C选项；再根据可判断D选项．
【详解】
解：由已知，设抛物线方程为，，解得．
所求抛物线的方程为，故A正确；
设圆心，则圆的半径，
圆的方程为，
令，得，得，，
（定值），故B不正确；
设，，
，，
，
当时，，
当时，，
故当且仅当时，取得最大值为，故C正确；
由前分析，，即，
当且仅当时，，故D正确；
故选：ACD．
17．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相切 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】
根据焦点弦长公式可知，对比到准线的距离可知，由此可知A正确；
将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得坐标，由此得到，与对比可知不恒成立，则B错误；
由向量数乘运算可知，由此可求得坐标，进而得到，知C正确；
将表示为关于的二次函数形式，由二次函数最值可知D正确.
【详解】
由抛物线方程知：，准线方程为：；
由题意可知：直线斜率存在，可设；
对于A，设，，由焦点弦长公式知：；
为中点，到准线的距离，
又，
以线段为直径的圆与直线相切，A正确；
对于B，由得：，则，
，，，；
设中点为，则，又，
不恒成立，以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误；
对于C，若，则，不妨设，，
，，，则，，
，C正确；
对于D，，当时，，D正确.
故选：ACD.
18．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
【答案】AB
【分析】
利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项的正误；求出点的坐标，代入双曲线的方程，求出该双曲线的离心率，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用两点间的距离公式可判断D选项的正误.
【详解】
由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；

不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．
因为点在双曲线上，所以，整理得，
所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，
所以，D错误．
故选：AB．
19．已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，点，在上，点，在上，且，，，，为坐标原点，记，的面积分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据，，则四点在以OP为直径的圆上，从而有；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证的值；从而求得的值，在三角形中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围.
【详解】


由，，四点在以OP为直径的圆上，则，故B正确；
由双曲线方程设，，则，
由，，则
则，，
则，，
则，故C错误；
设，满足，则，
则由点到直线距离知，同理有，
则，故A正确；
故，在三角形中，由余弦定理知，
，
故，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：根据条件写出渐近线方程，本题属于特殊角的相关计算，可以表示出具体的线段和三角形面积，验证是否满足选项答案即可.在求解范围问题时，首先需要求得线段的表达式，然后借助函数或基本不等式求得范围或最值.
20．如图，是坐标原点，是双曲线艾支上的一点，是的右焦点，延长分别交E于两点，已知，且，则（ ）

A．的离心率为
B．的离心率为
C．
D．
【答案】AC
【分析】
首先取双曲线的左焦点，连接，设，结合几何性质，以及双曲线的定义，求得，再结合勾股定理求椭圆的离心率，并结合比例关系，判断面积比值，即可判断选项.
【详解】
如图，取的左焦点，连接，

由对称性可知，，设，
则，

在中，，
解得或舍去，所以．
在中，，，整理得，
故的离心率为正确，不正确．因为是的中点，所以正确，不正确．
故选：AC
21．已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点到抛物线焦点的距离为6
【答案】AC
【分析】
由双曲线的方程，求得，利用双曲线的几何性质，可判定A正确，B错误；根据题意，列出方程，可判定C正确；根据抛物线的定义，可判定D错误.
【详解】
由双曲线，可得，则，
所以双曲线的离心率为，所以A正确；
由双曲线的渐近线为，所以B错误；
由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，
可得，解得，所以C正确；
由抛物线的准线方程为，则点到其准线的距离为，
到焦点的距离也为4，所以D错误.
故选：AC.
22．已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
【答案】ABD
【分析】
当点，分别是的左、右顶点可判断A；利用点差法可判断B；利用基本不等式可判断C；首先求出双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
当点，分别是的左、右顶点时，圆与恰有两条公切线，故A正确；
设，，，则，则，
所以，故B正确；
，故C错误；
当时，，渐近线方程为，即，
点到两条渐近线的距离之积为，
双曲线，点是的右支上位于第一象限，则，
整理可得，代入上式可得，故D正确．
故选：ABD．
23．已知直线：和抛物线：交于，两点，直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】
联立直线与抛物线的方程，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示，，由此可判断选项，利用，即可判断选项，利用到角公式即可判断选项，利用弦长公式即可判断选项．
【详解】
由题意，联立方程组，可得，
由直线和曲线交于，两点，设，，
则，
又表示曲线上的点与原点连线的斜率，
所以，，
故，故选项错误；
又因为，,所以，
则，解得，故选正确；
又，故选项错误；
，故选项正确．
故选：．
24．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
设出右焦点，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得的关系，则离心率可求；设出的坐标，根据对称性写出的坐标，利用点差法可求得的表示，结合的关系可求解出的值.
【详解】
设椭圆的右焦点，

连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，．
由余弦定理可得，
所以，所以椭圆的离心率．
设，，则，，，
所以，又，，相减可得．
因为，所以，所以．
故选：AC．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.

第II卷（非选择题）
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三、填空题
25．、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、．当取最小值时，的周长为______．
【答案】
【分析】
首先利用双曲线的定义转化，转化为求的最小值，即可求得周长.
【详解】
由条件可知，，，
，
当最小时，取得最小值，
由条件可知通径最短，即当直线轴时，最小，此时，
所以的最小值是，此时的周长是.
故答案为：
26．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于A，两点，且，则___________.
【答案】
【分析】
设过的直线方程为，利用韦达定理求得，利用焦半径公式求出，可得，再利用焦半径公式可得答案.
【详解】
设过的直线方程为，，，
则联立方程得
，，
，，
，，
所以，
故，
.
故答案为：.
27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为______．
【答案】
【分析】
设与的内切圆圆心分别为，， 的内切圆与三边分别切于点，，， 利用内切圆的性质得．设直线的倾斜角为，在中，，在中，，由题得得，再由二倍角公式可得答案．
【详解】
设与的内切圆圆心分别为，，连接，，，
的内切圆与三边分别切于点，，，如图，

则，
所以，即，
同理，所以，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，
在中，，
由题得，所以，
解得，所以．
故答案为：﹒
28．设F是抛物线的焦点，A、B是拋物线C上两个不同的点，若直线恰好经过焦点F，则的最小值为_______.
【答案】9
【分析】
设点，设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，消元后利用根与系数的关系可推出，利用基本不等式可求得结果
【详解】
解：由可得焦点，准线方程为，设，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，
所以设直线的方程为，
由，得，，
所以，
所以

，
所以

，当且仅当，即取等号，
所以的最小值为9
故答案为：9
29．椭圆的上下顶点分别为，如图，点在椭圆上，平面四边形满足，且，则该椭圆的短轴长度为________.

【答案】
【分析】
根据题意在以为直径的圆上，设，，结合圆的性质以及所给面积关系可得，，求得圆的方程，代入A点坐标经计算即可得解.
【详解】
根据题意可得，设，，
由可得点在以为直径的圆上，
又原点为圆上的弦的中点，
所以圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上，
所以，又可得，
故圆心坐标为，
所以圆的圆的方程为，
将代入结合可得，
所以，短轴长为.
故答案为：
30．设，为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【分析】
由题意，设，则，利用勾股定理，求出，的关系，再利用勾股定理确定，的关系，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
解：由题意，设，因为，则，
，，
因为
所以，
，
，
，即，即
．
故答案为：．

31．若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为_____________.
【答案】
【分析】
由题设知，，，即可得到，从而计算可得．
【详解】
解：双曲线中，
，，，
，，
因为分别是圆和 上的点，所以，
，
，，
，
所以

故答案为：．

32．设椭圆的左、右焦点分别为，A是椭圆上一点，，若原点到直线的距离为，则该椭圆的离心率为____．
【答案】
【分析】
由，求得，过作，根据题意得到，根据，得到，整理得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】
因为，不妨设点，其中，
代入椭圆方程，可得，解得，
所以，即，
过作，因为原点到直线的距离为，即，
由，可得，即，
又由，整理得，即，
因为，解得，即椭圆的离心率为.
故答案为：.

33．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为__________.
【答案】
【分析】
由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，
从而可求出，由椭圆的定义知，
，
从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程.
【详解】
由椭圆定义可知，且，则，
因为，所以，
所以，所以，
故的方程为.
故答案为：.

34．如图，设是圆上的动点，点是在轴上的投影，是线段上一点，且.当点在圆上运动时，动点的轨迹方程是______．

【答案】
【分析】
设的坐标为，的坐标为，则由可得，代入，整理可得答案
【详解】
解：设的坐标为，的坐标为，
因为点是在轴上的投影，是线段上一点，且，
所以，
因为在圆上，
所以，化简得，
故答案为：
35．过点作圆的切线，己知分别为切点，直线恰好经过椭圆(中心在坐标原点，焦点在轴上)的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是___________.
【答案】
【分析】
①当过点的直线斜率不存在时，求出切点的坐标；
②当直线斜率存在时，设方程为，利用直线与圆相切，求出，然后得到切线方程，联立直线与圆的方程求出切点坐标，再利用点斜式求出直线的方程，然后利用椭圆的性质，转化求解，，得到椭圆方程．
【详解】
解：①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为：切点的坐标；
②当直线斜率存在时，设方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即．直线方程与圆方程的联立，即，解得
所以切点的坐标；所以，所以直线方程为，即
，依题意，与轴的交点即为椭圆右焦点，得，与轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．
故答案为： ．
36．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.

【答案】
【分析】
由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】
由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：.
37．已知过原点的直线与双曲线交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，，则的离心率为______.
【答案】3
【分析】
设双曲线的右焦点为,连结，则四边形为平行四边形，由双曲线的定义可得，，再利用以及余弦定理，可得答案.
【详解】
设双曲线的右焦点为,如图连结
由直线与双曲线都关于原点对称，可得四边形为平行四边形
所以,
由双曲线的定义可得：，所以
,在中， ，
在中，，
化简整理得：，再由，得，得，
故答案为：

38．椭圆的离心率是，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，则椭圆的标准方程是___________．
【答案】
【分析】
由椭圆的离心率可得a，b的值，由题意可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A，B的坐标，求出数量积的表达式，由数量积的运算可得∠AOB的余弦值，进而求出其正切值，由题意可得b的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】
由题意，，
可得，所以椭圆的方程为：，．
由题意可得直线的方程为：，
联立，解得或
所以设，

所以
因为，所以
所以，
所以桓圆的方程为：，．
故答案为：
39．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，左顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，再求离心率即可.
【详解】
，设一条渐近线方程为，所以.
又因为，，
所以，即，故离心率．
故答案为：
40．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则______．
【答案】49
【分析】
将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可
【详解】
解：由于点在曲线上，所以，
则双曲线的方程为，即，则，
所以抛物线方程为，准线方程为，
设，则，
由，得，
所以处的切线方程为，
即，即，
将点代入可得，
同理可得，
所以直线的方程为，
联立抛物线的方程，可得，
所以，
所以

.
故答案为：49
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程，，从而可得切点弦的方程为，考查计算能力，属于较难题

四、双空题
41．已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则_______；周长的取值范围为____________．
【答案】4
【分析】
抛物线与圆的方程联立求得点的坐标；利用抛物线的定义转化，再求周长的取值范围.
【详解】

设与抛物线的准线交于点，则
周长为
又∴周长.
故答案为：；
42．已知圆与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，若直线与抛物线相交于，两点，且与圆相切，切点在劣弧上，当直线的斜率为0时，______；当直线的斜率不确定时，的取值范围是______．
【答案】
【分析】
（1）直接利用焦半径公式求出；
（2）设直线的方程为，与抛物线联立，用焦半径公式表示出，根据直线与圆相切，得到k、b的关系，把表示为b的函数，利用函数求范围即可.
【详解】
依题意得直线方程为，设点，，；
设直线的方程为，
带入抛物线方程得，则，则，
∵直线与该圆相切，∴，即，又，，∴，∵，，∴分别过，的圆的切线的斜率为，，∴，∴，∴，∵，∴，所以的取值范围为．
故答案为：；.
【点睛】
求圆锥曲线的弦长：
（1）“设而不求法”，利用弦长公式求弦长，这是求弦长的一般方法；
（2）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：，（或）.
43．如图所示，与是椭圆方程：的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接，，记直线PA的斜率为当P在左端点时，△是等边三角形．若△是等边三角形，则=__________；记直线PB的斜率为，则的取值范围是________．

【答案】 ，+∞）
【分析】
先由△是等边三角形，求出,
（1）直接判断出P为左端点或右端点，分别用斜率公式求出斜率；
（2）计算出，对利用基本不等式求范围.
【详解】
对于椭圆方程：，.
当P在左端点时，△是等边三角形，所以,
（1）由对称性，若△是等边三角形，则P为左端点或右端点：
当P为左端点时，，
同理可求，当P为右端点时，，
即若△是等边三角形，则=.
（2）设，则.
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，所以.
所以，当且仅当时取等号.
即的取值范围是，+∞）.
故答案为：；，+∞）
【点睛】
解析几何问题常见处理方法：
(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
(2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．
44．已知A、B是抛物线上异于坐标原点O的两点，满足，且面积的最小值为36，则正实数P＝________；若OD⊥AB交AB于点D，若为定值，则点Q的坐标为________．
【答案】3 （3，0）
【分析】
设，根据数量积的运算可得，，由此得，设直线AB：，与抛物线联立得，得出根与系数的关系，表示三角形的面积，由二次函数的性质求得最值，可得点D在以点，为直径的圆上，由此可得答案．
【详解】
设，因为，即，两边平方化简得，
所以，所以，即，解得（舍去），
设直线AB：，联立 得，所以，
所以，所以，
又
，解得，
又因为，所以：直线AB为恒过定点，
因为，所以，所以点D在以点，为直径的圆上，设圆心Q，
则，半径，所以为定值，，
故答案为：3；．
【点睛】
方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.
45．已知点为双曲线在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，4，则双曲线的渐近线方程为___________，若MF､MO分别交双曲线于两点，记直线与的斜率分别为，则___________
【答案】 15
【分析】
设，由已知得，将其代入双曲线方程得，利用转化为a,b的关系，化简整理，分解因式可求得的值，进而得到渐近线的方程；设，又，则表示，利用代点平方差法求解即得.
【详解】
设，则，

则，，
即，将其代入双曲线方程得：，
即，
又，
∴
，
,
∴，,
∴渐进线方程为；
设，又，
则，
将点、的坐标分别代入双曲线方程得，
两式作差得：，
故.
故答案为：；15.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线和点差法的运用，关键有两点：一是系数较大的三项式的分解因式，二是代点平方差法求得.
46．已知､为双曲线：的左､右焦点，点在上，，则的面积为___________，内切圆半径为___________.
【答案】
【分析】
设，，由余弦定理和双曲线定义计算得，进而可得△的面积；
由等面积法可得△的内切圆半径的值.
【详解】
依题意知，，所以.
设，，在△中，
由余弦定理得，即 ①，
由双曲线定义得，平方，得 ②，
联立①②得，，进而可得，
所以，△的面积，
设△内切圆半径为，则△的面积，
所以，解得内切圆半径为.
故答案为：①；②.

【点睛】
方法点睛：
（1）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积公式、双曲线的定义等；
（2）求三角形的内切圆半径经常利用等面积法．
47．双曲线的焦距是__________，渐近线方程是_________．
【答案】
【分析】
求出、、的值，即可得出结果.
【详解】
在双曲线中，，，，
所以，该双曲线的焦距为，渐近线方程为，即.
故答案为：；.
48．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】
【分析】
不妨假设，根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆的定义求出，即可求得离心率．
【详解】

如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以, 由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
49．已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，则双曲线C的离心率为___________；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则___________．
【答案】4 -15
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，代入双曲线方程得到，从而得到；设，由题知：，根据得到，再计算即可得到答案.
【详解】
设，如图所示：

因为，所以.
所以，，即.
所以，整理得：，
，即，解得或.
因为，所以，即.
设，由题知：，
因为，所以，即，
所以
又因为，
所以，
所以.
故答案为：；.
【点睛】
方法点睛：求离心率的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的的值，再求离心率即可；2.齐次式法：根据题意得到的齐次式，再转化为关于的方程求解.
50．已知抛物线的焦点是F，O是坐标原点，点在抛物线C上，OA的垂直平分线交x轴于B点，（1）当AB与x轴垂直时，则_________（用p表示）；（2）若N是线段AF的中点，则_________（用p表示）．
【答案】
【分析】
（1）由AB与x轴垂直，得，由此可求得点坐标，得；
（2）利用可求得横坐标，再结合焦半径公式得，从而可得结论．
【详解】
（1）因为AB与x轴垂直，则，则；
（2）设OA的中点，则MB直线斜率为，解得，而，，则．
故答案为：；．
【点睛】
关键点点睛：本题考查直线民抛物线相交，考查抛物线的焦半径公式．涉及到抛物线上的点到焦点距离时，对抛物线上的点，可根据抛物线的定义求得焦半径．
51．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点，则________；若双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是_________．
【答案】-2
【分析】
由双曲线方程求出实半轴长，再由双曲线定义即可得解；由离心率求出m值，由双曲线方程写出渐近线方程即可得解.
【详解】
由给定方程知，双曲线实半轴长a=1，点P是双曲线左支上，则，由双曲线定义得-2；
依题意：双曲线半焦距c=，则离心率，解得，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：-2；
52．已知椭圆的短轴长为4，离心率为，则实数________，实数_________．
【答案】; ；
【分析】
根据椭圆的性质进行解题即可.
【详解】
因为椭圆的短轴长为4，离心率为，
所以，，
解得，；
故答案为：，；
53．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．

【答案】
【分析】
由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程.
【详解】
如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，
所以直线的方程为．
联立消去整理得，
可设，显然和是该方程的两个根，
则，所以．
（方法一）光线从点到经过的总路程为
．
（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，
故光线从点到经过的总路程为
．

故答案为：；20.
54．已知分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点．
（1）的值为________；
（2）若，且的面积为，求b的值为________．
【答案】20 8
【分析】
（1）根据椭圆的定义，直接求即可得解；
（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.
【详解】
（1）由知，
，
（2）设，
，
可得，
所以，
所以，
所以，
故答案为：（1）20；（2）8.

五、解答题
55．已知斜率为k的直线l与椭圆C：交于A，B两点，线段AB的中点为.
（1）证明：；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且.证明：，，|成等差数列，并求该数列的公差.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；.
【分析】
（1）设，，利用点差法得，，又点在椭圆内，即，，解得的取值范围，即可得.
（2）设，，，可得，由，可得，由椭圆的焦半径公式得，，，即可证明，求得A，B坐标再求公差.
【详解】
解：（1）设，，
∵线段AB的中点为，
∴，
将A，B代入椭圆C：中，可得
两式相减可得，，
即
∴
点在椭圆内，即，
解得.
∴.
（2）证明：设，，，可得，
∵，，∴，，
∴，
∵，可得Р在第四象限，故，，
由椭圆的焦半径公式得，，.
则，∴，
联立可得，所以
所以
所以该数列的公差d满足，
所以该数列的公差为.
56．已知椭圆的右焦点为，右准线与轴交于点，若椭圆的离心率，且．
（1）求椭圆的解析式；
（2）过的直线交椭圆于两点，且与共线，求角的大小．
【答案】（1）；（2）或
【分析】
（1）由题意知，由此可求出，的值，即可求出椭圆方程．
（2）设直线，，，，，则消去，得，然后结合题意利用根与系数和关系进行求解．
【详解】
解：（1）由题意知，解得，，又从而．
所以椭圆方程为
（2）由（1）知，显然直线不垂直于轴，可设直线，
，，，，则消去，得，
则，
于是，
依题意：，故或，
当时，又，故，
所以与的夹角为．
当时，是轴，所以与的夹角为．
即角的大小为或；
57．已知椭圆（，）的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为.
（1）求的方程；
（2）点，在上，且.证明：存在定点，使得到直线的距离为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据椭圆的性质得到关于，，的方程组，解出即可求出椭圆的方程；
（2）分类讨论，先讨论直线与轴垂直时的情况，再讨论直线不与轴垂直时，设直线的方程是，，，，，联立直线和椭圆的方程，结合，求出，整理判断即可．
【详解】
（1）由题设可知
解得：，
又，所以的方程为：
（2）①若直线与轴垂直
由对称性可知，
将点代入椭圆方程，解得
②若直线不与轴垂直
设直线的方程为，
由
消去得.
设，，设，，
则由条件，即
由韦达定理
得
整理得.
即，
故存在定点，使得到直线的距离为定值．
58．已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率．过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点
（1）求实数的值；
（2）求（为原点）面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据已知条件，，结合离心率以及即可求解；
（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式、基本不等式即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：，，可得，，
因为，所以，
因为，所以，可得，
（2）由（1）知：椭圆，上焦点，
设，，直线，
由 可得：，
所以，，
所以，
可得：
所以

当且仅当即时等号成立，
所以（为原点）面积的最大值为.
【点睛】
解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
59．椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点，直线与交于点．

（1）当时，求直线的方程；
（2）当点异于两点时，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先由题意求出椭圆方程，直线不与两坐标轴垂直，设的方程为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出的值，从而可得直线方程；
（2）表示直线，的方程，联立方程组可得而代入化简可得，而，则可得的结果
【详解】
（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线不与两坐标轴垂直，
故可设的方程为，设，
由消去整理得，判别式
由韦达定理得，①
故，解得，
即直线的方程为．
（2）证明：直线的斜率为，故其方程为，
直线的斜率为，故其方程为，
由两式相除得

即
由（1）知，
故
解得．易得，
故，
所以为定值1
60．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，，，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆的定义求得，在中，由余弦定理化简得，再由离心率，得到，联立方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系，根据弦长公式和点到直线的距离公式，结合面积公式，利用基本不等式，即可求解.
【详解】
（1）在椭圆上，，
．
在中，由余弦定理得
，
即
化简，得．①
又椭圆的离心率，．②
由①②，解得，．
．
椭圆的方程为．
（2）由题意，直线的斜率存在且不为．设直线的方程为．
由，消去，得．
由，得
设，．则，


设点到直线的距离为，又，则．

令，则．

当且仅当时等号成立.此时．
面积的最大值．
61．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，短轴的上端点为P，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，是否存在点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在, 或.
【分析】
（1）利用平面向量数量积的坐标公式结合，可得椭圆的方程；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出，进而求出直线与的斜率之积为定值以及的值．
【详解】
（1），设，则，
由，得
结合，得；
由得代人，解得，
所以
故椭圆的方程为
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组消去得，
所以
设则
又直线与斜率分别为
则
要使为定值，则有即
当时，；
当时，
所以存在点或使得直线与的斜率之积为定值．
【点睛】
方法点睛：解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径．
62．已知拋物线：，点是拋物线的焦点，直线与拋物线交于两点．点的坐标为．
（1）分别过，两点作拋物线的切线，两切线的交点为，求直线的斜率；
（2）若直线过抛物线的焦点，试判断是否存在定值，使得．
【答案】（1）；（2）存在.
【分析】
(1)先求出抛物线在A，B两点处的切线方程，再利用直线的特征，得到切点弦方程，从而确定直线的斜率.
(2)先设直线的斜截式方程，再联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理得条件，再分别计算，，根据二者的最终结果来确定是否存在.
【详解】
(1)设，，
由抛物线方程得，．
过点的切线方程为，过点的切线方程为，
因为为两切线的交点，所以，，
所以过，的直线方程为，
化简得：，所以．
(2)由题知，，过点的直线为，
设直线与抛物线交于，
所以，所以，
所以


把代入整理得，，
又，故．
63．已知椭圆过点，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点，点是椭圆上的一个动点，求的最值．
【答案】（I）；（II）；．
【分析】
（I）利用抛物线方程求得，从而求得的值，将点代入椭圆方程联立即可求得椭圆方程；（II）设点的坐标为，代入椭圆方程，利用求模公式将向量的模转化为一元二次函数在区间上的最值问题进行求解即可．
【详解】
解：（I）由抛物线方程可得，则，
又，而，联立解得，，
所以椭圆的方程为；
（II）设点的坐标为，则，所以，
所以
，，
所以当时，，
当时，．
64．如图，椭圆与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为.

（1）若过点且斜率为的直线与抛物线和椭圆交于四个不同的点，从左至右依次为、、、，求的值；
（2）若直线与抛物线相交于、两点，且与椭圆相切，切点在直线右侧，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设点、、、，将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立列出韦达定理，即可求得的值；
（2）设点，可得出切线的方程为，求出的取值范围，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出的表达式及其取值范围，结合抛物线的定义可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意，，直线的方程为，
设、、、，
则，，
，
联立直线与椭圆的方程，消去可得，
，由韦达定理可得，
联立直线与抛物线的方程，消去可得，，由韦达定理可得，
；
（2）先证明椭圆在其上一点处的切线方程为.
联立，消去可得，
因为，整理可得，即，解得.
故直线与椭圆切于点.
由可得，且，解得，
切线，其中，
设，，
则，消去得：，
由韦达定理可得，
因为，所以，，
由抛物线的定义可得.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
65．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，，直线的倾斜角为，已知椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左右顶点为，过点的直线交椭圆于点，过点的直线交椭圆于点，若直线的斜率是直线斜率的两倍，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意可得，在中，由余弦定理可得解方程可得，进而得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，由，可得直线方程为，代入椭圆方程得到纵坐标，运用韦达定理和四边形的面积公式，化简换元，结合对勾函数的单调性，可得最大值．
【详解】
（1）因为，则，设右焦点为，在中，，，
由余弦定理可得，解得，则，，
所以椭圆方程为；
（2）设直线的斜率为，则直线的方程为：，联立，
整理得，①
设，则，即，从而，
由，可得直线方程为，联立，
整理得，，②
设，则， 从而，
由对称性，不妨设 ，
则四边形的面积


设，当时等号成立，
即，设单调递增，
当时，即时，并且满足①②，取得最小值，
此时
【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率和对勾函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题，本题的关键是利用方程联立求得点的纵坐标，并能熟练应用对勾函数求最值.
66．已知椭圆：（）的长轴长为，离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，点，若以为直径的圆恰好经过线段的中点，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）根据条件，列式求，即得椭圆方程；（Ⅱ）法一，设点，的中点，根据，求得，，再求的取值范围；法二，根据几何关系可知,代入坐标公式可得，，再求的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）由椭圆的长轴长，得，又离心率，
所以
所以．
所以椭圆的方程为：．
（Ⅱ）法一：
设点，则
所以的中点
，．
因为以为直径的圆恰好经过线段的中点
所以，则
即．
又因为，
所以
所以，．
函数，的值域为
所以
所以．
法二：
设点，则．
设的中点为，
因为以为直径的圆恰好经过线段的中点
所以是线段的垂直平分线
所以
即
所以．
函数，的值域为
所以．
所以．
67．已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，直线：与轴交于点，与曲线交于，两个相异点，且.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意画出图形，可得，得到点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆，求得与，进一步得到，则曲线的方程可求；
（2）联立直线方程与椭圆方程，可得．由判别式大于0得．再由向量等式可得，代入，即可求得的取值范围．
【详解】
解：（1）如图，

由题意可得：，则，
点的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆，
其中，，，则．
曲线的方程为；
（2）联立，可得．
由，得．
设，，，．
则，①，②
，，，
由，．
，所以．
，
则，③
联立①③，得，，
代入②，得，
即，得，
代入，得，解得，解得或．
存在实数，使，的取值范围是．

68．如图,椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，的最大值为的最小值是，满足:

（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为的垂直平分线与轴交于点，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1） 设，则根据椭圆性质得，，结合条件，即可求出离心率；
（2）由（1）设椭圆方程为，设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦与点坐标，再根据，求出，即可表示出，从而得解；
【详解】
解：（1） 设，则根据椭圆性质得
，而，
所以有，即，即，
所以离心率
（2）由（1）可得，又，所以令，则，，所以椭圆方程为，
根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线的方程为，
并设，，，，
则由直线与椭圆方程，消去并整理得，
从而有，，
所以


，
所以，．
因为，所以，所以．所以
所以
69．已知双曲线：（，）的离心率，其焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）首先表示出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，最后利用离心率与，求出，即可求出双曲线方程；
（2）设直线，，，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，依题意，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：（1）双曲线：（，）的焦点，渐近线方程为，即，因为到渐近线的距离等于，所以，所以，又因为离心率，即，因为，所以，，所以双曲线方程为
（2）由已知可得，直线的斜率存在，设直线，，
，消去得，
所以即，又，所以，，所以以为直径的圆过坐标原点，所以，即，所以，解得，所以直线方程为
70．已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【分析】
（1）由已知得，渐近线为，利用点到直线的距离公式列方程即可求得，进而可得双曲线的方程；
（2）假设存在满足题意，可得，设设，，直线
与双曲线方程联立，消去可得关于的二次方程，得出、代入即可求解.
【详解】
（1）由题意可得：，所以双曲线
所以渐近线方程为，
设，则，即，
因为在双曲线上，所以，即，
所以，解得：，
所以双曲线的方程为：
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，则可得，
，设，，直线，
由可得：，
所以，，
所以，
即恒成立，
整理可得：，
所以
即，
所以，
所以，解得，
所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【点睛】
思路点睛：圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.