精品解析：广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）滨海学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题

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2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）.
A. 3，5，3 B. 4，6，8 C. 7，24，25 D. 6，12，13
【答案】C
【解析】
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要满足勾股定理的逆定理即可．
【详解】A、，故不能组成直角三角形；
B、，故不能组成直角三角形；
C、，故能组成直角三角形；
D、，故不能组成直角三角形．
故选C．
【点睛】考点：勾股定理的逆定理．
2. 的算术平方根是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把化简，再直接求算术平方根即可．
详解】解：
的算数平方根是，
故选D．
【点睛】本题考查的是求一个正数的算术平方根，掌握求算术平方根的方法是解题关键．
3. 在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A. （﹣2，﹣3） B. （﹣2，3） C. （2，3） D. （2，﹣3）
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故选A．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4. 估计﹣1的值在（　　）
A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】由无理数的估算可知，进而问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
5. 下列各数，，，，，，中，无理数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】解：，，，为有理数；
是无理数，是无理数，
，为开方开不尽的数，为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6. 用加减法将方程组中的未知数x消去后，得到的方程是（　　）．
A. 2y＝6 B. 8y＝16 C. ﹣2y＝6 D. ﹣8y＝16
【答案】D
【解析】
【分析】根据二元一次方程组的加减消元法可直接进行求解．
【详解】解：用加减法将方程组中的未知数x消去，则有①-②得：﹣8y＝16；
故选D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解是解题关键．
7. 下列六种说法正确的个数是（　　）
①无限小数都是无理数；
②实数分为正实数和负实数；
③立方根等于它本身的数是±1和0；
④直角三角形的两边分别为6和8，则第三边为10；
⑤任何数都有两个平方根；
⑥﹣1是1的平方根．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的概念、实数的概念、平方根与立方根的意义及勾股定理可直接进行排除选项．
【详解】解：根据无限不循环小数是无理数，故①错误，由实数是正实数、0和负实数的统称，故②错误；立方根等于它本身的数是±1和0，故③正确；因为直角三角形的两边分别为6和8，所以当6和8都是直角三角形的两直角边时，则由勾股定理可知第三边为，当8为直角三角形的斜边，6为该直角三角形的一条直角边，则由勾股定理可知第三边为，故④错误；正数都有两个平方根，故⑤错误；-1是1的平方根，故⑥正确；
∴综上所述：正确的个数有2个；
故选B．
【点睛】本题主要考查无理数的概念、实数的概念、平方根与立方根的意义及勾股定理，熟练掌握无理数的概念、实数的概念、平方根与立方根的意义及勾股定理是解题的关键．
8. 函数y＝自变量x的取值范围是( )
A. x≥1 B. x≥1且x≠3 C. x≠3 D. 1≤x≤3
【答案】B
【解析】
【详解】解：由题意得,
x-1≥0且x-3≠0,
∴x≥1且x≠3.
故选：B.
9. 若且，则函数的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据且，得到a,b的取值范围，再根据一次函数的图像即可求解.
【详解】解：∵，且，
∴a＞0，b＜0.
∴函数的图象经过第一、三、四象限．
故选A．
【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图像.
10. 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地，两车之间的距离S（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图像如图所示，下列说法：
①甲、乙两地之间的距离为560km；
②快车速度是慢车速度的1.5倍；
③快车到达甲地时，慢车距离甲地60km；
④相遇时，快车距甲地320km；
其中正确的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】解：由题意可得出：甲乙两地之间距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，出发后两车之间的距离开始增大知直到快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，故②错误；
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∴（3x+4x）×4=560，x=20，
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60=240km，故④错误，
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240﹣3×60=60km，
故③正确．
故选：B．
二、填空题：（每题3分，共15分，请把答案填在答题卡上的相应位置上，否则不给分）
11. 若y＝（m﹣1）x|m|+m+1是关于x的一次函数，则m等于 ___．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据一次函数的概念：形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的函数，可知m-1≠0，，进而求解即可．
【详解】解：由题意得：
m-1≠0，，
解得：；
故答案为-1．
【点睛】本题主要考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解题的关键．
12. 若+（y﹣2）2＝0，则（x+y）2021＝___．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据算术平方根与偶次幂的非负性可求解x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵+（y﹣2）2＝0，
∴，
∴，
∴；
故答案为-1．
【点睛】本题主要考查算术平方根与偶次幂的非负性及代数式的值，熟练掌握算术平方根与偶次幂的非负性是解题的关键．
13. 直线y=2x－1与两坐标轴围成三角形面积是________．
【答案】
【解析】
【详解】解：令x=0，得y=-1，
令y=0，得x=，
∴直线y=2x－1与坐标轴简单坐标分别为（0，-1），（，0），
故直线y=2x－1与坐标轴围成三角形面积为×1×=
故答案为：
14. 若2a+1和a﹣7是数m的平方根，则m的值为___．
【答案】25或225
【解析】
【分析】由题意易知2a+1+a-7=0，然后求解a的值，进而问题可求解．
【详解】解：∵2a+1和a﹣7是数m的平方根，
∴2a+1+a-7=0或2a+1=a-7，
解得：a=2或a=-8，
∴或 m=225；
故答案为25或225．
【点睛】本题主要考查平方根及一元一次方程的解法，熟练掌握平方根及一元一次方程的解法是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y=x上，OA1=1，且△B1A1A2，△B2A2A3，△B3A3A4，…△Bn A n A n+1…分别是以A1，A2，A3，…An…为直角顶点的等腰直角三角形，则△B10A10A11的面积是________．

【答案】217
【解析】
【分析】根据OA1=1，可得点A1的坐标为（1，0），然后根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，求出A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度，然后找出规律，求出点B10的坐标．结合等腰直角三角形的面积公式解答．
【详解】∵OA1=1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，∴B1（1，1）．
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=．
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，
∴B2（2，2），
同理可得：B3（22，22），B4（23，23），…Bn（2n﹣1，2n﹣1），
∴点B10的坐标是（29，29），
∴△B10A10A11的面积是：×29×29=217．
故答案为217．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了等腰直角三角形的性质．
三、解答题：（共55分，16题12分，17题8分，18题5分，19题7分，20题7分，21题7分，22题9分）
16. 计算
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）-2
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化简，然后再进行二次根式的减法运算；
（2）利用平方差公式及完全平方公式进行二次根式的运算即可；
（3）先算乘方，然后再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及负指数幂，熟练掌握二次根式的运算及负指数幂是解题的关键．
17. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据代入消元法可进行求解方程组；
（2）根据加减消元法可进行求解方程组．
【详解】解：（1）
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为；
（2）
②×2-①得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．
（1）若点D与点A关于y轴对称则点D的坐标为　 　．
（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为　 　．
（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．

【答案】（1）（2，2）；（2）（2，0）；（3）13
【解析】
【分析】（1）和（2）问利用直角坐标系中的平移变换即可找到相应点的坐标,（3）找到AB与x轴的交点H,求出H的坐标,利用四边形ABCD的面积为=S梯形ADCH+S△BHC即可进行求解.
【详解】解：（1）如图所示：D（2，2）；
故答案为（2，2）；
（2）如图所示：C（2，0）；
故答案为（2，0）；
（3）如图所示：设线段AB与x轴的交点为H,根据图像不难发现H为线段AB的中点,
∴H（-,0）
则四边形ABCD的面积为=S梯形ADCH+S△BHC==

【点睛】本题考查了平面直角坐标系中,点的位置变换和面积的求法,中等难度,会作辅助线,将不规则四边形进行分割化成可求面积的四边形是解题关键.
19. 某地自米水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费是 元；
（2）写出该单位水费y(元)与每月用水量x(吨)之间的函数关系式；
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？
【答案】（1）1660元；1400元 （2）y=0.5x（x≤3000）；y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000） （3）3050吨
【解析】
【分析】（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以需分别计算水费，再总和；用水2800吨符合计划用水量，直接计算即可；
（2）根据两种情况分别写出函数式即可；
（3）缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以选择第二个函数表达式带入解答即可.
【详解】解：（1）根据题意，用水3200吨超出计划用水量，所以3000×0.5+200×0.8=1660元；用水2800吨符合计划用水量，所以2800×0.5=1400元；
（2）用水计划内：y=0.5x（x≤3000）
用水超出计划用水量：y=1500+0.8（x-3000）（x＞3000）
（3）缴费1540元大于计划用水量水费1500元，所以1540=1500+0.8（x-3000） 解得 x=3050.
【点睛】此题重点考查学生对一次函数的理解和实际应用，熟练掌握一次函数的实际应用能力是解题的关键.
20. 在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE．
（1）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为________；
（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，可得∠B的度数为__________；
操作二：如图2，李同学拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．

【答案】操作一（1）12cm（2）36°；操作二BE=2.8
【解析】
【分析】操作一：（1）由翻折的性质可知：BD=AD，于是AD+DC=BC，从而可知△ACD的周长=BC+AC；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，由翻折的性质可知∠CBA=2x，然后根据直角三角形两锐角互余可知：x+2x+2x=90°，据此求解即可．
操作二：先利用勾股定理求得AC的长，然后利用面积法求得DC的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AD的长，由翻折的性质可知：DE=DA，最后根据BE=AB-DE-AD计算即可．
【详解】解：操作一：（1）翻折的性质可知：BD=AD，
∴AD+DC=BC=7．
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=BC+AC=7+5=12cm．
故答案为：12cm；
（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x．
由翻折的性质可知：∠BAD=∠CBA=2x，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴x+2x+2x=90°．
解得：x=18°．
∴2x=2×18°=36°．
∴∠B=36°．
故答案为：36°；
操作二：在Rt△ABC中，AC=．
由翻折的性质可知：ED=AD，DC⊥AB．
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴10CD=6×8．
∴CD=4.8．
在Rt△ADC中，AD= ．
∴EA=3.6×2=7.2．
∴BE=10-7.2=2.8．
【点睛】本题主要考查是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得CD的长度是解题的关键．
21. 我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：
例如：．
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，，那么便有：，
问题解决：化简，
解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，，
即（，，
∴
模型应用1：
利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）；（2）；
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）按照题目做法，令，即可求出结果；
（2）先将化为，再按照（1）的做法计算即可.
（3）利用勾股定理算出BC再化简即可.
【详解】（1）这里，由于，
即，
所以；
（2）首先把化为，这里，，由于，，
即，，
所以
（3）在中，由勾股定理得，

所以，
所以，
【点睛】本题考查双重二次根式的化简，理解题干的做法是关键.
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝-x+3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y＝-x+3与y轴的交点．
（1）求点B、C、D的坐标；
（2）设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；来探究当点M运动到什么位置时，△BCM的面积为10，并说明理由．
（3）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2），当点M运动到或时，△BCM的面积为10；（3）存在，P点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）把y=0代入直线y＝x+1和直线y＝-x+3求解点B、C的坐标，把x=0代入直线y＝-x+3求解点D的坐标即可；
（2）由（1）及题意可得，然后分当时和当时求解S与x的函数关系式即可，最后再把S=10代入以上关系式求解即可；
（3）由两点距离公式可得，然后分当CB=CP=5时，当BP=PC时，当BC=BP时，进而结合等腰三角形的性质及两点距离公式可进行求解．
详解】解：（1）把y=0代入直线y＝x+1得：0＝x+1，
∴x=-1，
∴，
把x=0代入直线y＝-x+3得：，
∴，
把y=0代入直线y＝-x+3得：，
∴，
∴；
（2）由（1）可得：，
∵设M（x，y）是直线y＝x+1上一点，
∴，
①当点M在x轴的上方，即，则有点M到x轴的距离为x+1，
∴，
②当点M在x轴的下方，即，则有点M到x轴的距离为-x-1，
∴；
综上所述：S与x的函数关系式为；
把代入可得：，解得：，
∴点；
把代入可得：，解得：，
∴点；
∴综上所述：当点M运动到或时，△BCM的面积为10；
（3）存在，理由如下：由（1）及两点距离公式可得：，
由题意可设点，且，则可分：
①当CB=CP=5时，此时点P与D重合，则点P的坐标为；
②当BP=PC时，此时点P在BC的垂直平分线上，
∴由中点坐标公式可知：，代入得：，
∴；
③当BC=BP时，根据两点距离公式可得：
，
解得：，
∵，
∴此种情况不存在；
综上所述：存在点P，使△CBP为等腰三角形，则P点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合、一元二次方程的解法及等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合、一元二次方程的解法及等腰三角形的性质是解题的关键．