高考数学三轮冲刺卷：零点的存在性定理（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：零点的存在性定理（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 实数 ，， 是图象连续不断的函数 定义域中的三个数，且满足 ，，，则函数 在 上的零点个数为
A. B. 奇数C. 偶数D. 至少是

2. 若 在区间 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是
A. 若 ，则不存在实数 ，使得
B. 若 ，则存在且只存在一个实数 ，使得
C. 若 ，则不存在实数 ，使得
D. 若 ，则有可能存在实数 ，使得

3. 已知函数 有唯一零点，则
A. B. C. D.

4. 对于函数 ，若 ，，则函数 在 内
A. 一定有零点B. 一定没有零点
C. 可能有两个零点D. 至多有一个零点

5. 二次函数 的部分对应值如下表：

不求 、 、 的值，可以判断方程 的两根所在的区间是
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

6. 若函数 在 上连续不断，且同时满足 ，．则
A. 在 上有零点B. 在 上有零点
C. 在 上无零点D. 在 上无零点

7. 在区间 上连续不断且单调，且 ，则方程 在区间 上
A. 至少有一个根B. 至多有一个根
C. 无实根D. 必有唯一的实根

8. 函数 的零点所在的区间是
A. B. C. D.

9. 若函数 与函数 的零点分别为 ，，则 所在区间为
A. B. C. D.

10. 函数 的零点所在的区间是
A. B. C. D.

11. 已知函数 ，若 是函数 的零点，且 ，则 的值
A. 恒为正B. 等于 C. 恒为负D. 不大于

12. 若函数 有且只有一个零点，则 的取值范围是
A. B.
C. D.

13. 设函数 与 的图象交点为 ，则 所在的区间是
A. B. C. D.

14. 已知 是函数 的一个零点．若 ，，则
A. ，B. ，
C. ，D. ，

15. 设函数 的图象与 轴的交点为 ，则 所在的区间为
A. B. C. D.

16. 函数 的零点所在的大致区间为
A. B. C. D.

17. 函数 的一个零点所在的区间是
A. B. C. D.

18. 方程 的解的个数为
A. B. C. D.

19. 若函数 在区间 上存在零点，则常数 的取值范围为
A. B. C. D.

20. 在下列区间中，方程 的解所在的区间为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若函数 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如图表，那么方程 的一个近似根（精确到 ）为 ．


22. 根据表格中的数据，可以判定方程 的一个根所在的区间为 ．

23. 若关于 的不等式 至少有一个负数解，则实数 的取值范围是 ．

24. 若关于 的不等式 在 上有解．则实数 的取值范围是 ．

25. 函数 的零点所在的区间为 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．

三、解答题（共5小题；）
26. 图（）（）（）分别为函数 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断?为什么?

27. 已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
函数 在哪几个区间内一定有零点?为什么?

28. 与 分别是实系数一元二次方程 和 的一个根，且 ，，．
（1）求证：方程 有且仅有一根介于 与 之间．

29. 已知函数 ，求证：方程 在 内至少有两个实数解．

30. 已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）是否存在实数 ，使 的极大值为 ?若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
答案
1. D【解析】因为函数 为连续函数，且 ，所以在 内，函数 至少存在 个零点，同理由 得在 内，函数 至少存在 个零点，所以在 内函数 的零点个数至少是 ．
2. D【解析】由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在三个零点：，，”推翻；
选项C可通过反例“ 在区间 上满足 ，但其存在两个零点：，”推翻，故选D．
3. C【解析】因为 ，
所以函数 有唯一零点等价于方程 有唯一解，
等价于函数 的图象与 的图象只有一个交点．
①当 时，，此时有两个零点，矛盾；
②当 时，由于 在 上递增，在 上递减，且 在 上递增，在 上递减，
所以函数 的图象的最高点为 ， 的图象的最高点为 ，
由于 ，此时函数 的图象与 的图象有两个交点，矛盾；
③当 时，由于 在 上递增，在 上递减，且 在 上递减，在 上递增，
所以函数 的图象的最高点为 ， 的图象的最低点为 ，
由题可知点 与点 重合时满足条件，即 ，即 ，符合条件；
综上所述，．
4. C【解析】由二次函数图象可得正确答案为C．
5. A
【解析】因为 ，
6. B【解析】由已知，易得 ，因此 在 上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．
7. D【解析】因为 在 上单调，且 ，所以 ① 当 在 上单调递增，则 ，② 当 在 上单调递减，则 ，由 ①② 知 在区间 上必有 使 且 是唯一的．
8. B【解析】易知函数 在定义域上连续，且 ，，，，
根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为 ．
9. A【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数 ，， 的图象，如图所示．
可以发现，，．
因为 ，，
所以 ，即 ．
因而 ．
故选A．
10. B
【解析】因为 ，
，则 ，
所以函数 的零点所在区间是 ，
当 ，且 时，，
，
，
，
ACD中函数在区间端点的函数值均同号，
根据零点存在性定理，B为正确答案．
11. A
12. B【解析】当 时，因为 ，所以有一个零点，
所以要使函数 有且只有一个零点，
则当 时，函数 没有零点即可．
当 时，，所以 ，
所以 ，所以 或 ，即 或 ．
13. B【解析】构造函数 ，则 即为函数 的零点．
因为 ，，所以
且 在 上的图象是一条连续不断的曲线，
所以零点所在的区间为 ．
14. B【解析】设 ，
由于函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上只有唯一的零点 ，
且在 上 ，在 上 ，
又因为 ，，
所以 ，．
15. C
【解析】因为函数 为单调增函数且其图象为连续的曲线，且 ，，所以 ．
16. B【解析】，，
，所以在 有零点．
17. B【解析】因为 在 上为增函数，且 ，，
所以 的零点所在区间为 ．
18. C
19. C【解析】因为函数 在区间 上单调递增，又在区间 上存在零点，
所以函数 在区间 上存在唯一零点．
所以
即
解得 ．
所以常数 的取值为 ．
20. B
【解析】因为 为增函数， 为增函数，
所以 为增函数，
设 ，
，
，
所以 ，
所以零点所在区间为 ．
21.
22.
23.
24.
【解析】不等式 在 上有解．
令 在 上有解．
则 即可，解得：．
25. ③
【解析】因为 ，，所以 ．又因为 是单调增函数， 也是单调增函数，所以 是单调增函数，所以 的零点在区间 内．
26. 不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（）观察到它与 轴有 个交点，从图（）观察到它与 轴有 个交点，从图（）观察到它与 轴有 个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．
27. ，（或 ，）；
，；，（或 ，）．
28. 令 ．因为 ， 分别是方程 和 的一个根，
所以 ，，
故 ，，
于是 ，
，
因为 ，，，
所以 ，
故方程 有且仅有一根介于 与 之间．
29. 设函数 ，作出函数 的图象（略），它分别在 和 内与 轴有交点．因为 ，，则 ，函数 在 内至少有一个零点；又因为 ，，则 ，函数 在 内至少有一个零点．所以，方程 在 内至少有两个实数解．
30. （1） 当 时，，
，
当 时，解得 或 ，
当 ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ，；单调递减区间为 ．
（2） 存在．令

得 或 ．
当 时， 恒成立，函数无极值，故舍去．
当 时，，
当 变化时，， 的变化情况如表所示：
由表可知，，解得 ，满足题意．
综上，存在实数 ，使 的极大值为 ．