高中数学2.2 直线的方程一课一练

2.2.3　直线的一般式方程

A级 必备知识基础练

1.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图象只能是(　　)

2.点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　　)

A.A(x-x0)+B(y-y0)=0

B.A(x-x0)-B(y-y0)=0

C.B(x-x0)+A(y-y0)=0

D.B(x-x0)-A(y-y0)=0

3.若方程Ax+By+C=0表示的直线是x轴,则A,B,C满足(　　)

A.A·C=0 

B.B≠0

C.B≠0且A=C=0 

D.A·C=0且B≠0

4.已知直线l经过点(0,1),其倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,则直线l的方程为(　　)

A.x+4y-4=0 

B.4x+y-1=0

C.x+4y+4=0 

D.4x+y+1=0

5.(多选题)关于直线l:x-y-1=0,下列说法正确的有(　　)

A.过点(,-2) 

B.斜率为

C.倾斜角为 

D.在y轴上的截距为1

6.(多选题)对于直线l:x-my-1=0,下列说法错误的是(　　)

A.直线l恒过定点(1,0)

B.直线l斜率必定存在

C.当m=时,直线l的倾斜角为

D.当m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为

7.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　　　　　. 

8.在三角形ABC中,已知点A(4,0),B(-3,4),C(1,2).

(1)求BC边上中线的方程;

(2)若某一直线过点B,且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍,求该直线的一般式方程.

B级 关键能力提升练

9.若点P(a+b,ab)在第二象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

10.把直线2x-3y+1=0向左平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,所得的直线方程为(　　)

A.2x-3y+4=0

B.2x-3y-12=0

C.2x-3y-4=0

D.2x-3y+6=0

11.已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则(　　)

A.b>0,d<0,a<c

B.b>0,d<0,a>c

C.b<0,d>0,a>c

D.b<0,d>0,a<c

12.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为(　　)

A.15x-3y-7=0

B.15x+3y-7=0

C.3x-15y-7=0

D.3x+15y-7=0

13.(多选题)已知直线l的方程为ax+by-2=0,则下列判断正确的是(　　)

A.若ab>0,则直线l的斜率小于0

B.若b=0,a≠0,则直线l的倾斜角为90°

C.直线l可能经过坐标原点

D.若a=0,b≠0,则直线l的倾斜角为0°

14.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=,∠B=,则直线AC的一般式方程为　　　　　,BC的一般式方程为　　　　　　　　　　. 

15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;

(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

C级 学科素养创新练

16.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是(　　)

A.3x+2y-1=0 B.2x+3y+1=0

C.3x-2y+1=0 D.3x+2y+1=0

17.若kxy-x+6y-3=0表示两条直线,则实数k的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

2.2.3　直线的一般式方程

1.C　由ac<0,bc<0,得abc2>0,所以ab>0,则该直线的斜率k=-<0,故排除B,D;又与y轴的截距为->0,故排除A.故选C.

2.A　由点M(x0,y0)在直线上得Ax0+By0+C=0,得C=-Ax0-By0,将C代入直线方程Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.故选A.

3.C　方程Ax+By+C=0表示的直线是x轴,即方程可化为y=0,则系数A,B,C满足的条件是B≠0且A=C=0.故选C.

4.A　因为直线l的倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,且直线x-4y+1=0的斜率为,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.故选A.

5.BC　当x=时,-y-1=0,解得y=2,所以直线l不经过点(,-2),故选项A错误;

由题得y=x-1,所以直线l的斜率为,故选项B正确;

由B知直线l的斜率为,又倾斜角的取值范围是[0,π),所以直线l的倾斜角为,故选项C正确;

当x=0时,得y=-1,所以直线l在y轴上的截距为-1,故选项D错误.故选BC.

6.BC　由直线方程可化为x-1=my,因此直线l恒过定点(1,0),故A正确;

当m=0时,直线l斜率不存在,故B错误;

当m=时,有y=(x-1),即直线l的斜率为,则直线l的倾斜角为,故C错误;

当m=2时,直线l:x=2y+1,则直线l与x轴,y轴的交点坐标分别为(1,0),(0,-),所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为,故D正确.故选BC.

7.x-3y+24=0　由2x-3y+12=0知,该直线斜率为,在y轴上截距为4,则直线l的斜率为,在y轴上截距为8,所以直线l的方程为y=x+8,整理得x-3y+24=0.

8.解(1)线段BC中点为M(-1,3),所以直线AM的方程为,整理得3x+5y-12=0.

故BC边上中线的方程为3x+5y-12=0.

(2)当直线过坐标原点时,设所求直线方程为y=kx,将点B的坐标代入直线方程可得-3k=4,解得k=-,故所求直线方程为y=-x,即4x+3y=0;

当直线不过坐标原点时,设直线方程为=1(b≠0),将点B的坐标代入直线方程得-=1,即=1,解得b=.

此时,所求直线方程为=1,即x+2y-5=0.

综上所述,所求直线方程为4x+3y=0或x+2y-5=0.

9.A　由题意可得a+b<0,ab>0,因此,a,b均为负数.由直线的方程bx+ay-ab=0可得直线的斜率k=-<0,在y轴上的截距为-=b<0,故直线不经过第一象限.故选A.

10.C　将直线向左平移2个单位长度,可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,再向下平移3个单位长度,可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,因此所求直线方程为2x-3y-4=0.故选C.

11.C　由题图,可知直线l1的斜率大于0,其在y轴上的截距小于0,所以解得直线l2的斜率大于0,其在y轴上的截距大于0,所以解得又直线l1的斜率大于直线l2的斜率,即->->0,所以a>c.故选C.

12.A　∵直线Ax+By+C=0的斜率为5,∴-=5,即A=-5B.

又A-2B+3C=0,∴-5B-2B+3C=0,∴C=,则Ax+By+C=0可化为-5Bx+By+=0,即5x-y-=0,整理得15x-3y-7=0.故选A.

13.ABD　对于A选项,若ab>0,则直线l的斜率-<0,故A正确;

对于B选项,若b=0,a≠0,则直线l的方程为x=,其倾斜角为90°,故B正确;

对于C选项,将(0,0)代入ax+by-2=0中,显然不成立,故C错误;

对于D选项,若a=0,b≠0,则直线l的方程为y=,其倾斜角为0°,故D正确.

故选ABD.

14.x-y=0　x+y-6=0　由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=,所以kAC=tan=1.

又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),整理得x-y=0.同理可知,直线BC的倾斜角为π-∠B=,所以kBC=tan=-1.

又直线BC过点B(5,1),

所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),整理得x+y-6=0.

15.解(1)若直线l在两坐标轴上的截距都为零,则解得a=2,因此直线l的方程为3x+y=0.

若a+1=0,解得a=-1,整理得y+3=0,不符合题意,舍去.

若a≠-1且a≠2,原方程化为=1,令=a-2,即为a+1=1,解得a=0,可得直线l的方程为x+y+2=0.

综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.

(2)将直线的一般式方程化为斜截式,得y=-(a+1)x+a-2.

∵直线l不经过第二象限,∴解得a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1].

16.D　(方法1)∵直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),∴3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0.

∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0,故选D.

(方法2)3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0两式相减可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0,

由题意a1≠a2,因此k==-,所以直线的方程为y-b1=-(x-a1),即2y+3x-(3a1+2b1)=0,结合3a1+2b1+1=0可知过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0.故选D.

17.B　∵kxy-x+6y-3=0表示两条直线,

∴令kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd,其中,abcd≠0,

∴k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3,

∴b=,c==-2d,a=-,

∴k=ac=×(-2d)=2.故选B.